Givet: ṁ w = 4.50 kg/s; T 1 = 20.0 C; T 2 = 70.0 C; Voil = 10.0 dm 3 /s; T 3 = 170 C; Q out = 11.0 kw.

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Givet: ṁ w = 4.50 kg/s; T 1 = 20.0 C; T 2 = 70.0 C; Voil = 10.0 dm 3 /s; T 3 = 170 C; Q out = 11.0 kw."

Alexander Lundgren
för 6 år sedan
Visningar:

1 TENTAMEN I MMVA01 TERMODYNAMIK MED STRÖMNINGSLÄRA 21 oktober 2008; inkl. teorisvar/lösningar. T1. Definiera eller förklara kortfattat (a) kinematisk viskositet ν = µ/ρ, där µ är fluidens dynamiska viskositet och ρ dess densitet. (b) Reynolds tal Re = ρv L/µ = V L/ν, där ρ är fluidens densitet, µ dess dynamiska viskositet (ν kinematisk viskositet), L en karakteristisk längd (t.ex. diametern för en sfär) och V en karakteristisk hastighet. (c) dynamiskt tryck Kombinationen ρv 2 /2 kallas dynamiskt tryck (V hastighet, ρ densitet). (d) motståndskoefficient C D C D = 2F D /(ρv 2 A), där F D är strömningsmotstånd i anströmningsriktningen, längs V, ρ fluidens densitet, V anströmningshastighet och A en karakteristisk area för kroppen. T2. Beskriv hur en tryckskillnad kan mätas m.h.a. en U-rörsmanometer. Illustrera samt härled ett uttryck på tryckskillnaden som funktion av avläst höjdskillnad. (2p) En tryckskillnad p = p 1 p 2 mellan t.ex. två sektioner i ett horisontellt rör, där det strömmar en fluid med densitet ρ, kan mätas genom att till dessa sektioner ansluta ett U-format rör som innehåller en vätska med densitet ρ m, på följande sätt (se t.ex. Fig. E2-3): höjdskillnaden h mellan manometervätskans båda lodräta skänklar mäts upp; låt h 0 vara det lodräta avståndet från manometervätskans övre nivå till röranslutningarna; via principen att trycket på samma lodrätta höjd och för samma (stillastående) fluid i korresponderande kärl är lika gäller p 1 + ρgh 0 + ρgh = p 2 +ρgh 0 +ρ m gh, d.v.s. p 1 p 2 = (ρ m ρ)gh. (stillastående fluid, konstant densitet trycket ökar linjärt med djupet, dp/dz = ρg, z uppåt). T3. Ange impulsekvationen vid stationär strömning genom en kontrollvolym med ett inlopp och ett utlopp. Förutsätt endimensionella (homogena) förhållanden över tvärsnitt. Ingående storheter skall klarläggas. (2p) Skillnaden mellan utströmmad och inströmmad rörelsemängd (linjär impuls) per tidsenhet är lika med summan av de krafter som verkar på kontrollvolymen, ṁ(v out V in ) = F CV där ṁ är massflödet (konstant) och V betecknar vektoriell hastighet (relativt kontrollvolymen, som förutsätts stel och icke-accelererande).

2 P1. En cylinder med lättrörlig men tät kolv innehåller 0.80 kg kvävgas (N 2 ), initiellt vid 100 kpa och 300 K. Kvävgasen, som kan betraktas som en ideal gas, komprimeras långsamt och polytropiskt till halva sin utgångsvolym (polytropexponent, n = 1.30). Bestäm gasens arbets- och värmeutbyte. Givet: V 1 /V 2 = 2; m = 0.80 kg; P 1 = 100 kpa; T 1 = 300 K; n = Sökt: W och Q (slutet system = kvävgasen) (8p) W = W b (volymändringsarbete); långsam kompression, förutsätt kvasistatiskt, W b = 2 1 P dv; polytrop: P V n = konst.; ideal gas W b = mr(t 2 T 1 )/(1 n), se s Ideal gas, P V = mrt, d.v.s. T 2 = T 1 (P 2 /P 1 )(V 2 /V 1 ); P 2 /P 1 = (V 1 /V 2 ) n T 2 = T 1 (V 1 /V 2 ) n 1 = K. Med R = kj/(kg K) (A-1) fås W b = kj. Energibalans, enkelt kompressibelt system: Q W = U = m(u 2 u 1 ); ideal gas u 2 u 1 = c v,avg (T 2 T 1 ); medeltemperatur ca. 345 K ger c v,avg = kj/(kg K) (A-2b). Insättning ger Q = kj. Svar: W in = 55 kj; Q out = 14 kj.

3 P2. Olja (ρ avg = 910 kg/m 3, c avg = 2.30 kj kg 1 K 1 ) kyls i en värmeväxlare, se figur. Oljans inkommande temperatur är 170 C, oljeflödet 10.0 dm 3 /s. Det inkommande (rena och) kalla vattnet har temperaturen 20.0 C och massflödet 4.50 kg/s. Vattnets utgående temperatur är 70.0 C. Värmeväxlarens värmeförlust (per tidsenhet) till omgivningen, som håller samma temperatur som inkommande vatten, är 11.0 kw. Beräkna entropigenereringen per tidsenhet vid denna värmeväxling. (8p) Lägg en kontrollvolym runt hela värmeväxlaren, lite utvidgad så att kontrollytorna (utom vid in- och utlopp) hamnar vid omgivningens temperatur, T surr = 20.0 C = K. Givet: ṁ w = 4.50 kg/s; T 1 = 20.0 C; T 2 = 70.0 C; Voil = 10.0 dm 3 /s; T 3 = 170 C; Q out = 11.0 kw. Sökt: Ṡ gen Entropibudget, per tidsenhet: Ṡ in Ṡout + Ṡgen = ṠCV = 0, ty stationära förhållanden. Med Ṡout,heat = Q out /T surr fås Ṡgen = ṁ w (s 2 s 1 )+ ṁ oil (s 4 s 3 ) + Q out /T surr. Vätskor s 2 s 1 = c w,avg ln T 2 /T 1, s 4 s 3 = c oil,avg lnt 4 /T 3 ; Table A-3: c w,avg = 4.18 kj/(kgk); ṁ oil = (ρ avg V)oil = 9.10 kg/s. Temperaturen T 4 måste beräknas. Energibalans, stationära förhållanden: Ė in = Ėout. Försumma ev. variationer i potentiell och kinetisk energi. Ch. 6: ṁ w h 1 +ṁ oil h 3 = ṁ w h 2 +ṁ oil h 4 + Q out, eller då h = c avg T för vätskor, (ṁc avg ) oil (T 3 T 4 ) = (ṁc avg ) w (T 2 T 1 )+ Q out, vilket ger T 4 = T 3 [(ṁc avg ) w (T 2 T 1 )+ Q out ]/(ṁc avg ) oil = C = K. Med T 1 = K, T 2 = K, T 3 = K fås Ṡgen = ( ) kw/k = kw/k. Svar: Ṡ gen = 735 W/K.

4 P3. För att bestämma strömningsmotståndet på en tänkt ny typ av sonar utförs modellförsök i en vindtunnel (torr luft, 20 C, kpa). I fullskala (prototyp) har sonaren en karakteristisk tvärdimension 300 mm och är avsedd att släpas med hastigheten 2.60 m/s i havsvatten av 5.0 C på stort djup. Försöken utförs i skala 1:2, d.v.s. modellens karakteristiska tvärdimension vid motsvarande anströmningsriktning är 150 mm. Bestäm (a) erfordelig lufthastighet vid modellförsöket (4p) (b) strömningsmotstånd för prototypen om det vid lufthastighet enligt uppgift (a) uppmäts ett strömningsmotånd av 24.8 N (4p) Densitet för havsvatten vid 5.0 C kan sättas till 1025 kg/m 3, dynamisk viskositet samma som för rent vatten. Givet: modell (torr luft, kpa, 20 C): d m = m; prototyp (havsvatten, 5.0 C): d p = m, U p = 2.60 m/s, ρ p = 1025 kg/m 3. Sökt: (a) U m, (b) F D,p om F D,m = 24.8 N med U m enligt (a) Stort djup ingen inverkan av fria vätskeytor; inkompressibel strömning (vätska resp. gas vid tillräckligt låg hastighet, under ca. 100 m/s vid luftströmning); stationära förhållanden; geometrisk likformighet. (a) Förutsättningarna för Reynolds likformighetslag blir då uppfyllda om Re m = Re p ; Re = ρud/µ, d.v.s. U m = Re p µ m /(ρ m d m ). Tryckets inverkan på dynamisk viskositet kan anses försumbar, µ(t); Tabell A1: µ p = Pa s (5.0 C), vilket ger Re p = Tabell A1: µ m = Pa s; ideal gas, ρ m = p m /(R luft T m ). Med R luft = 287 J/(kg K) och T m = K fås ρ m = kg/m 3. Insättning ger U m = m/s (tillräckligt lågt). (b) Ch. 6/7: Re m = Re p [ F D /(ρu 2 d 2 ) ] p = [ F D /(ρu 2 d 2 ) ] m (fullständig likformighet), d.v.s. F D,p = (ρ p /ρ m )(d p /d m ) 2 (U p /U m ) 2 F D,m. Insättning ger F D,p = (1025/1.2302)2 2 (2.60/51.95) N = N. Svar: (a) U m = 52 m/s, (b) F D,p = 0.21 kn.

5 P4. En 25 m lång horisontell kvadratisk lufttrumma med ett antal krökar är ansluten till en fläkt. Vid trummans utlopp strömmar luften fritt ut i omgivningen. Trummans inre tvärsnittsarea är m 2, ekvivalent ytråhet ǫ = 0.20 mm. Volymflödet är 44 dm 3 /s. En differenstryckgivare, ansluten till ett hål i trummans vägg omedelbart efter fläkten, visar ett övertryck av 107 Pa i förhållande till ytterluften. Lufttemperaturen är 20 C och atmosfärstrycket 100 kpa. (a) Hur stor är summan av engångsförlustkoefficienter, K L, mellan fläkt och utlopp? (6p) (b) Vad blir övertrycket efter fläkten om flödet dubbleras? (2p) Lägg en kontrollvolym med inlopp direkt efter fläkten (sektion 1), utlopp (sektion 2) vid det fria utloppet. Givet: L = 25 m; A = m 2 ; ǫ = 0.20 mm; V = m 3 /s; p = p 1 p omg = 107 Pa; T = 20 C; p omg = 100 kpa. Sökt: (a) K L, (b) p om V = m 3 /s (a) Bernoullis utvidgade ekvation: p 1 + ρv 2 1 /2 + ρgz 1 = p 2 + ρv 2 2 /2 + ρgz 2 + p f ρw t,in z 2 = z 1 ty horisontellt; inget tekniskt arbete, w t = 0; inkompressibel strömning, samma tvärsnittsarea, V 2 = V 1 = V ; fritt utlopp, p 2 = p omg, d.v.s. p = p f = (fl/d h + K L )ρv 2 /2. Hydraulisk diameter, d h = 4A/P; A = a 2, P = 4a ger d h = a = A = 0.10 m. Friktionsfaktor, f = φ(re, ǫ/d h ), Re = ρv d h /µ, ǫ/d h = A1: ρ = kg/m 3, µ = Pa s; V = V/A = 4.4 m/s Re = Haalands formel ger f = , d.v.s. fl/d h = Med 2 p/(ρv 2 ) = fås K L = = (b) Re ökar till det dubbla, Re = Högt Re innebär att K L kan förutsättas konstant. Haalands formel ger f = , fl/d h = 6.490, d.v.s. p = ( ) /2 Pa = Pa. Svar: (a) K L = 2.3, (b) p = 0.40 kpa. Christoffer Norberg

Relevanta dokument

P1. I en cylinder med lättrörlig(friktionsfri) men tätslutande kolv finns(torr) luft vid trycket 105 kpa, temperaturen 300 K och volymen 1.40 m 3.

P1. I en cylinder med lättrörlig(friktionsfri) men tätslutande kolv finns(torr) luft vid trycket 105 kpa, temperaturen 300 K och volymen 1.40 m 3. Luften värms nu långsamt via en elektrisk resistansvärmare