p + ρv ρgz = konst. [z uppåt] Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt):

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "p + ρv ρgz = konst. [z uppåt] Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt):"

Emil Samuelsson
för 8 år sedan
Visningar:

1 BERNOULLIS EKVATION Vid inkompressibel, stationär strömning längs strömlinjer samt längs röravsnitt med homogena förhållanden över tvärsnitt, vid försumbara effekter av friktion, gäller Bernoullis ekvation: 1 p + ρv + ρgz = konst. [z uppåt] Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt): p + ρv = konst. Om hastigheten ökar minskar trycket, och vice versa. Vätskeströmning, förträngning Volymflöde, V = V A = konst. Arean minskar Hastigheten ökar Bernoullis ekvation Trycket minskar Strömning kring vingprofil (NACA 441), anfallsvinkel 5 Tätare strömlinjer på ovan-/framsidan högre hastighet, lägre tryck (lyftkraft) 1 Daniel Bernoulli, , Holland/Schweiz. Kap. 4.1 (Ch. 1-) Strömningslära C. Norberg, LTH

Om hastigheten ökar minskar trycket, och vice versa. Vätskeströmning, förträngning Volymflöde, V = V A = konst.

2 HASTIGHETSMÄTNING Förutsättningar: friktionsfri, inkompressibel, stationär strömning. Horisontell strömlinje summan av statiskt och dynamiskt tryck konstant, p+ρv / = konst. kan utnyttjas till hastighetsmätning. Om strömningen bromsas upp till hastigheten noll längs strömlinjen blir det statiska trycket i denna s.k. stagnationspunkt, p 0 = p+ρv /. Känd densitet ρ, uppmätt tryckdifferens p 0 p ger V = (p 0 p)/ρ Pitotrör (eng. Pitot tube), Henri de Pitot (173) Ett 90 böjt rör med öppningen (O) riktad mot strömningen. I fall (a) och (b) strömmar vätska. I fall (b) och (c) antas strömningen rätlinjig, d.v.s. försumbar krökning av strömlinjer, statiskt tryckuttag vid (A); i fall (c) är (A) och (O) ihopkopplade som en U-rörsmanometer, manometervätskans densitet = ρ m ; godtycklig fluid med ρ < ρ m ; avläst höjdskillnad h. (a, b) : V = gh, (c) : V = (ρ m /ρ 1)gh Prandtlrör (eng. Pitot-static tube) Tryckuttagen A och O kombineras till en enda mätsond (Ludwig Prandtl, ca. 1910); mycket tillförlitlig; används mycket vid noggranna mätningar samt vid kalibrering, se Fig Kap (Ch. 1-) Strömningslära C. Norberg, LTH

Känd densitet ρ, uppmätt tryckdifferens p 0 p ger V = (p 0 p)/ρ Pitotrör (eng. Pitot tube), Henri de Pitot (173) Ett 90 böjt rör med öppningen (O) riktad mot strömningen.

3 TORRICELLIS TEOREM Betrakta utströmning av vätska ur ett litet hål i botten på en stor öppen behållare. En strömlinje kan identifieras från ytan (1) och ut genom hålet () och vidare ned en sträcka H vid (3). Stor behållare, litet hål (area A h ) vätskehöjden h konstant och ytans hastighet försumbar, V 1 = 0. Försumma tryckskillnaden i omgivande luft (ρ ρ air ). Förutsätt stationär, inkompressibel och friktionsfri strömning längs strömlinjen. Om z är uppåt gäller enligt Bernoullis ekvation: p 1 + ρgz 1 = p + ρv + ρgz = p 3 + ρv 3 + ρgz 3 z 1 = h; p 1 = p = p 3 = p atm ; z = 0; z 3 = H. Första likheten ger V = gh (Evangelista Torricelli 1643) Andra likheten ger V 3 = g(h + H) > V. Observera att hastigheterna är lika med de vid fritt fall för en fri kropp i vakuum. Om inte hålet är speciellt utformat kommer strålen att kontraheras vid utloppet (vena contracta). Om strålens utloppsarea är A j gäller för skarpkantade hål: A j /A h = C c 0.61, där C c 1 är den s.k. kontraktionskoefficienten, se Fig Massflöde: ṁ = ρa j V = ρc c A h V = ρc c A h gh Strålens area efter utloppet kommer att minska, A 3 = A j / 1 + H/h, när strålen blir tillräckligt smal bildas droppar. Kap. 4.. (Ch. 1-) Strömningslära C. Norberg, LTH

Stor behållare, litet hål (area A h ) vätskehöjden h konstant och ytans hastighet försumbar, V 1 = 0. Försumma tryckskillnaden i omgivande luft (ρ ρ air ).

4 BERNOULLIS EKVATION RÖRSTRÖMNING Stationär, inkompressibel rörströmning. Volymflödet konstant, d.v.s. V 1 A 1 = V A = konst. V = medelhastighet; A = tvärsnittsarea. Hastighetsvariation över tvärsnitt oftast ganska liten (turbulent rörströmning, se Kap. 8). Över rörtvärsnitt med liten eller måttlig krökning är tryckvariationen hydrostatisk, p + ρ gz = konst. Om effekter av hastighetsvariation över tvärsnitt, krökning och friktion kan försummas gäller: p 1 + ρv 1 + ρgz 1 = p + ρv + ρgz p och z är tryck och lodrät höjd vid rörets mitt. Med friktion tillkommer en positiv term i högerledet, d.v.s. totala trycket (p + ρv / + ρgz) sjunker i strömningsriktningen, se Kap. 8. Om även tekniskt arbetsutbyte (w t ) inkluderas fås Bernoullis utvidgade ekvation: p 1 + ρv 1 + ρgz 1 = p + ρv + ρgz + p f + ρw t där p f > 0, pumpar/fläktar: w t < 0; turbiner: w t > 0. Kap (Ch. 1-4) Strömningslära C. Norberg, LTH

Om effekter av hastighetsvariation över tvärsnitt, krökning och friktion kan försummas gäller: p 1 + ρv 1 + ρgz 1 = p + ρv + ρgz p och z är tryck och lodrät höjd vid rörets mitt.

5 VENTURIMETER Tryckuttag strax innan den konvergenta delen, vid sektion 1 (diameter D). Ett andra tryckuttag i den trängre passagen (sektion, diameter d). Uppmätt: tryckskillnaden p 1 p. Sökt: massflöde ṁ. Stationär, inkompressibel strömning; fluidens densitet ρ. Hastighetsvariationer över tvärsnitt försummas, liksom effekter av friktion och gravitation (mellan 1 och ). Massbalans ṁ = ρav = konst. Konstant densitet, ρ = konst. V 1 A 1 = V A. A 1 = πd /4; A = πd /4 V 1 /V = A /A 1 = (d/d). Omskrivning: Bernoullis ekvation: p 1 + ρv 1 (p 1 p ) ρ = p + ρv = V V 1 = V [ 1 (d/d) 4 ] Teoretiskt massflöde: ṁ = πd 4 ρ(p 1 p ) 1 (d/d) 4 Verkligt massflöde: ṁ = c d πd 4 ρ(p 1 p ) 1 (d/d) 4 där c d är en korrektionsfaktor (utströmningskoefficient). För en väl utformad venturimeter och höga Reynolds tal är c d Kap (Ch. 1) Strömningslära C. Norberg, LTH

Massbalans ṁ = ρav = konst. Konstant densitet, ρ = konst. V 1 A 1 = V A. A 1 = πd /4; A = πd /4 V 1 /V = A /A 1 = (d/d).

Relevanta dokument

p + ρv ρgz = konst. Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt): Om hastigheten ökar minskar trycket, och vice versa.

p + ρv ρgz = konst. Speciellt försumbara effekter av gravitation (alt. horisontellt): Om hastigheten ökar minskar trycket, och vice versa. BERNOULLIS EKVATION Vid inkompressibel, stationär strömning längs strömlinjer samt längs röravsnitt med homogena förhållanden över tvärsnitt, vid försumbara effekter av friktion, gäller Bernoullis ekvation: