(14 januari 2010) 1.2 Ge en praktisk definition av en fluids densitet. Illustrera med figur.

Transkript

1 Kapitel 1 Inledning MMV211 Strömningslära Repetitionsfrågor (14 januari 2010) 1.1 Vad är den principiella skillnaden mellan en fluid och en fast kropp (solid)? 1.2 Ge en praktisk definition av en fluids densitet. Illustrera med figur. 1.3 (a) För Newtonska fluider gäller att skjuvspänningar är proportionella mot skjuvhastigheter (skjuvvinklars tidsderivator) i olika plan. Om skjuvningen sker i ett enda plan visa då att skjuvspänningen τ är proportionell mot hastighetsgradienten vinkelrätt detta plan. (b) Diskutera och illustrera med diagram några tänkbara uppträdanden för icke-newtonska vätskor. 1.4 Ange dimensionen för dynamisk resp. kinematisk viskositet i SI-enheter. Ange dessutom, för vatten och luft, värden på dessa (med två värdesiffror) vid rumstemperatur och normaltryck (20 C, 1 atm). Hur inverkar tryck och temperatur? 1.5 Definiera alt. beskriv kortfattat (a) strömlinje, (b) partikelbana, (c) stråklinje. Kapitel 2 Hydrostatik 2.1 Härled den hydrostatiska jämviktsrelationen p = ρ g för en fluid i vila. 2.2 Härled manometerformeln p = (ρ m ρ)g h, där h är avläst höjdskillnad, ρ m manometervätskans densitet och p tryckskillnaden vid samma lodräta höjd (U-rörsmanometer). Kapitel 3 Integralanalys 3.1 (a) Definiera mass- och volymflöde genom en yta. Illustrera med figur. (b) Visa att medelhastigheten i ett rakt cirkulärt rör med fullt utvecklad laminär strömning är lika med halva hastigheten i rörets centrum (hastighetsprofilen är parabolisk). 3.2 Låt B vara en godtycklig massberoende storhet och b samma storhet uttryckt per massenhet. För en fix (stillastående) och stel kontrollvolym med ett homogent inlopp (1) och ett homogent utlopp (2) lyder Reynolds transportteorem, vid stationära förhållanden: d dt B sys = (b ρ V A) 2 (b ρ V A) 1 Ange Reynolds transportteorem för en godtyckligt rörlig men stel kontrollvolym vid instationära förhållanden. Illustrera det konvektiva bidraget med en figur. 3.3 Ange impulsekvationen tillämpad mellan två snitt i ett rör vid stationär, endimensionell och inkompressibel strömning. Definiera ingående termer och storheter. Hur kan denna ekvation korrigeras vid kända hastighetsprofiler vid in- och utlopp? Bestäm korrektionsfaktorns värde β vid fullt utbildad laminär strömning i ett rakt rör med cirkulärt tvärsnitt. 3.4 Ange Bernoullis utvidgade ekvation (energiekvationen) tillämpad mellan två snitt i ett rör vid stationär, endimensionell och inkompressibel strömning. Definiera ingående termer och storheter. Hur kan denna ekvation korrigeras vid kända hastighetsprofiler vid in- och utlopp? Bestäm korrektionsfaktorns värde α vid fullt utbildad laminär strömning i ett rakt rör med cirkulärt tvärsnitt. 3.5 Accelerationen för en fluidpartikel relativt ett icke-accelerande koordinatsystem (inertialsystem): a rel = d2 R dt 2 + dω r + 2Ω V + Ω (Ω r) dt Vad representerar de två sista termerna? Illustrera ingående storheter i figur. 1

2 Kapitel 4 Differentialanalys 4.1 Ett hastighetsfält är beskrivet i ett Cartesiskt koordinatsystem, (x,y,z). Använd kedjeregeln för att uttrycka den materiella (totala) accelerationen i en lokal och en konvektiv del. Förklara fysikaliskt vad de båda delarna betyder. 4.2 Härled den differentiella formen av kontinuitetsekvationen i ett Cartesiskt koordinatsystem. Specialisera sedan till inkompressibel strömning. 4.3 Visa att Ma 2 1 är ett nödvändigt villkor för approximationen inkompressibel strömning. Ange en ingenjörsmässig uppskattning för Ma då strömningen måste betraktas som kompressibel. 4.4 (a) Definiera spänningstensorn σ ij uttryckt i komponenter av den viskösa spänningstensorn τ ij samt trycket p i ett strömmande medium. Vilken symmetriegenskap har normalt σ ij? (b) Illustrera spänningsskomponenterna σ 11, σ 22, σ 12 och σ 21 i en figur (σ 12 = σ xy o.s.v.). (c) Definiera τ xy för en Newtonsk fluid (Cartesiska koordinater). 4.5 Skriv ut kontinuitetsekvationen samt x-komponenten av impulsekvationen i ett Cartesiskt koordinatsystem gällande inkompressibel strömning av en Newtonsk fluid med konstanta ämnesstorheter. 4.6 Skriv ut divergensen och rotationen av ett hastighetsfält V = (u, v, w) i Cartesiska koordinater. Vad beskriver dessa fysikaliskt? 4.7 Den instantana påverkan som ett hastighetsfält har på ett från början kubiskt litet fluidelement kan kinematiskt delas upp i fyra elementar-rörelser, vilka? Illustrera med figur. 4.8 (a) Ange den allmänna definitionen av vorticitetsvektorn i en punkt. Skriv ut vektorns komposanter i Cartesiska koordinater. Verifiera att vorticitetsvektorn endast har en komposant vid plan strömning. (b) Visa att vorticitetsvektorns enda komposant vid plan strömning motsvarar den dubbla instantana vinkelhastigheten (moturs) för diagonalen av ett från början kvadratiskt infinitesimalt litet fluidelement. (c) Hur kan ett strömningsfält som från början är rotationsfritt lokalt behäftas med rotation (vorticitet)? Ange minst två mekanismer. 4.9 Betrakta tvådimensionell inkompressibel strömning i ett plan, V = (u, v, 0), där u(x, y), v(x, y). (a) Definiera strömfunktionen ψ samt visa att ψ uppfyller Laplaces ekvation 2 ψ = 0 om strömningen är rotationsfri. (b) Visa att ψ = konst. motsvarar strömlinjer samt att skillnaden i strömfunktionens värden mellan två strömlinjer motsvarar volymflödet per breddenhet. Kapitel 5 Dimensionsanalys och likformighetslagar 5.1 (a) Vad innebär principen om dimensionshomogenitet (PDH)? (b) Ange dimensionen för dynamisk viskositet µ, värmekonduktivitet k samt effekt P (arbete per tidsenhet) i M LT Θ-systemet. (c) Formulera det s.k. Π-teoremet. 5.2 Definiera Strouhals tal (St) vid virvelbildning kring en lång cirkulär cylinder (diameter d) vid vinkelrät anströmning med konstant hastighet V. Ange ett approximativt värde på St över intervallet Re = V d/ν = vid inkompressibel strömning. 5.3 Förklara vad som menas med (a) homologa punkter resp. homologa tider. (b) geometrisk, kinematisk resp. dynamisk likformighet. 2

3 5.4 I praktiken måste de flesta modellförsök vid strömning med fri vätskeyta göra avkall på principen om dynamisk likformighet. Förklara varför. 5.5 Strömningsmotståndet D för en sfärisk slät kula beror vid inkompressibel strömning på diametern d, viskositeten µ, densiteten ρ och hastigheten U. (a) Definiera (den konventionella) motståndskoefficienten C D, samt visa via dimensionsanalys att C D endast beror av Reynolds tal. (b) Föreslå en alternativ motståndskoefficient som inte innehåller hastigheten och förklara varför denna ibland kan vara lämpligare att använda än den konventionella. 5.6 Visa att Reynolds tal, Froudes tal och Webers tal uttrycker mått på förhållanden mellan olika krafter lokalt i ett strömningsfält (acceleration = tröghetskraft per massenhet, [Υ] = N/m). 5.7 Vid roterande strömning är både Ekmans tal (Ek) och Rossbys tal (Ro) av betydelse. 1 Ekmans tal anger ett mått på förhållandet mellan friktions- och Corioliskrafter medan Rossbys tal anger förhållandet mellan tröghetskrafter och Corioliskrafter. Definiera Ek och Ro om Ω är ett mått på vinkelhastigheten för rotationen (typisk hastighet U; d:o längd L). Coriolisacceleration: 2 Ω V. Kapitel 6 Strömning i rör och kanaler 6.1 Skissera hur trycket och hastighetsprofilens utseende varierar med avståndet från inloppet vid strömning i ett horisontellt rör (strömningen kan antas ske in i ett rör med ett avrundat inlopp som är helt under ytan). Ange ett approximativt uttryck på inloppsträckans längd vid laminär strömning. 6.2 Definiera hydraulisk diameter d h vid rörströmning. Bestäm d h vid cirkulärt resp. kvadratiskt tvärsnitt. Ange ett ingenjörsmässigt värde på Reynolds tal, baserat på d h och medelhastighet, över vilket strömningen kan anses vara turbulent. 6.3 Härled Hagen-Poiseuilles lag, ett uttryck för volymflödet i ett rakt cirkulärt rör vid fullt utbildad laminär strömning. Lämplig utgångspunkt: kraftbalans för cylindriskt element, horisontellt. 6.4 Definiera Darcy-Weisbachs friktionsfaktor vid rörströmning. Hur bestäms tryckförlusten p.g.a. väggfriktion? Vad gäller allmänt för friktionsfaktorn vid fullt utbildad laminär strömning i rör med konstant, icke nödvändigtvis cirkulärt, tvärsnitt? 6.5 Beskriv hur Moodys diagram (eller likvärdig formel) kan användas för att på bästa sätt bestämma tryckförlusten p.g.a. friktion över en viss rörlängd, vid fullt utbildad turbulent strömning i (raka) rör med konstant icke-cirkulärt tvärsnitt. Det förutsätts att uttrycket för friktionsfaktorn vid laminär strömning är känt. 6.6 (a) Skissera hastighetsprofilernas utseende vid fullt utvecklad laminär resp. turbulent strömning i rör med cirkulärt tvärsnitt. Hur inverkar Reynolds tal? (b) Ange ett approximativt potensuttryck på hastighetsprofilen vid fullt utbildad turbulent strömning i ett cirkulärt rör. Bestäm ur detta uttryck förhållandet mellan medelhastighet och centrumhastighet. Hur inverkar Reynolds tal? 6.7 Skissera hastighetsprofilens utseende i ett semi-logaritmiskt diagram vid fullt utbildad turbulent gränsskikts- eller rörströmning. Använd s.k. väggvariabler (+) vid skalning av axlarna. Markera olika områden i diagrammet samt ange ev. samband för hastigheten i dessa. Hur inverkar den rådande tryckgradienten? Hur inverkar ytskrovlighet (ytråhet)? 6.8 Härled m.h.a. massbalans, impulssatsen och Bernoullis utvidgade ekvation ett uttryck för engångsförlustkoefficienten K vid en plötslig areaökning i ett rör (stationär, inkompressibel och turbulent strömning). K skall baseras på förhållandena innan areaökningen. Ledning: Trycket över snittet med areaökningen kan betraktas som konstant. 1 Både Ekman och Rossby var från Sverige; Ekman dessutom huvudsakligen verksam i Lund. 3

4 6.9 Förklara detaljerat hur ett s.k. Prandtlrör (Pitot-static tube) fungerar samt härled ett uttryck på hastigheten. Ange ett approximativt villkor för att uttrycket skall gälla samt diskutera föroch nackdelar med denna metod att mäta lokal strömningshastighet Illustrera och beskriv två metoder att mäta volymflöde vid rörströmning. Metoderna skall bygga på olika principer Beskriv kortfattat metoden för att mäta lokal strömningshastighet m.h.a. varmtrådsteknik (HWA). Ange några fördelar och ev. nackdelar med HWA jämfört med någon annan metod. Kapitel 7 Gränsskikt och omströmmade kroppar 7.1 (a) Ge en praktisk definition av gränsskiktstjocklek δ. (b) Hur varierar δ med avståndet från framkanten x vid strömning över en plan bred platta vid tangentiell anströmning? Potensberoenden i olika områden skall anges. Illustrera med figur. 7.2 Definiera förträngningstjocklek δ, impulsförlusttjocklek θ, samt formfaktorn H för ett gränsskikt vid inkompressibel, tvådimensionell strömning. Förklara varför δ kallas förträngningstjocklek. 7.3 Integralanalys av en plan platta i tangentiell anströmning med konstant hastighet U ger c f = 2τ w /(ρu 2 ) = 2 dθ dx, där θ är gränsskiktets impulsförlusttjocklek. För ett laminärt gränsskikt kan hastighetsprofilen grovt approximeras med en linjär funktion, u/u = f(η) = A+B η, där η = y/δ. Bestäm konstanterna A och B samt härled ett uttryck på c f som funktion av Re x = Ux/ν. Ledning: θ = δ/c, där C är en konstant och δ beror av x. 7.4 Redogör för hur hastighetsprofilens utseende nära en fast vägg vid två dimensionell inkompressibel gränsskiktsströmning beror på rådande tryckgradient. Förklara dessutom varför avlösning endast kan ske i områden med lokalt avtagande hastighet utanför gränsskiktet. 7.5 Definiera motståndskoefficient C D och Reynolds tal Re vid strömning kring en sfär. Beskriv detaljerat i kurvform hur C D för en slät sfär vid inkompressibel strömning beror av Reynolds tal. Med detaljerat menas att vissa värden på koordinataxlarna skall anges, lämpligast med logaritmisk skalning på bägge dessa axlar. Vilken asymptotisk funktion gäller då Re 1? Hur inverkar ytskrovlighet? 7.6 Hur förhåller sig motståndskoefficienten för en sfär resp. en halvsfär till varandra (halvsfären anströmmad mot sin runda sida)? Motivera svaret samt ange särskilt betydelsen av Reynolds tal. Strömningen som kropparna ger upphov till antas turbulent. 7.7 Härled integralvillkoret D(x) = ρ b U 2 θ(x) för ett plant gränsskikt utan tryckgradient (θ är impulsförlusttjockleken, x är avståndet från framkanten, b är plattans bredd och U är hastigheten utanför gränsskiktet). 7.8 För ett tvådimensionellt gränsskikt vid inkompressibel stationär strömning kan rörelseekvationerna förenklas kraftigt genom storleksuppskattningar. Genomför detta och visa särskilt vad som gäller för tryckfältet. Rörelseekvationer vid försumbara effekter av gravitation: u x + v y u u x + v u y u v x + v v y = 0 1 p = ρ x + ν 1 p = ρ y + ν ( 2 ) u x u y 2 ( 2 ) v x v y 2 Gränsskiktstjockleken δ är mycket mindre än karakteristisk kroppsdimension L och ev. krökningsradie på kroppsytan; karakteristisk hastighet på stora avstånd U o ; Reynolds tal Re = U o L/ν får antas mycket högt. 4

5 Introduktion till turbulens T.1 Beskriv kortfattat (minst) fyra karakteristiska egenskaper hos turbulens (fullt utvecklad turbulent strömning). T.2 Inför Reynolds dekomposition av hastighets- och tryckfältet samt genomför tidsmedelvärdering av kontinuitetsekvationen i Cartesiska koordinater (inkompressibel, stationär och turbulent strömning). T.3 Betrakta ett turbulent tvådimensionellt gränsskikt, med gränsskiktstjockleken δ, vid inkompressibel och stationär strömning över en slät yta. Antag att detta gränsskikt kan delas upp i två delvis överlappande områden: (1) det väggnära området med mycket stora medelhastighetsvariationer vinkelrätt mot väggen samt (2) det yttre området med små d:o. (a) Ange och definiera en karakteristisk hastighetsskala för turbulensrörelser genom hela gränsskiktet. (b) Ange relevanta längdskalor, d.v.s. karakteristiska storlekar för den energirika turbulensrörelsen, i de båda områdena. Ange dessutom ett villkor som motiverar antagandet med uppdelning i två områden enligt ovan. (c) I det yttre området kan viskösa effekter försummas. Visa att detta tillsammans med ovanstående leder till att medelhastigheten i överlappningsområdet borde variera logaritmiskt med avståndet från väggen (u = C 1 ln y + C 2 ). T.4 Definiera RMS-värdet av en storhet vars tidsmedelvärde är skild från noll (RMS = Root-Mean- Square). Skissa hur RMS-värdena av hastighetens fluktuationer i olika riktningar skalat med friktionshastigheten u varierar genom ett turbulent gränsskikt över en plan platta utan tryckgradient. Kapitel 8 Inkompressibel potentialströmning 8.1 Vid rotationsfri strömning ( V = 0) existerar den s.k. hastighetspotentialen φ. (a) Definiera φ samt härled en differentialekvation för densamma vid friktionsfri, rotationsfri och inkompressibel strömning. Vad kallas ekvationen? (b) Ange randvillkor för φ vid strömning kring en fast kropp utan inverkan av fria vätskeytor. (c) Hur bestäms tryckfältet p vid givet potentialfält φ? 8.2 (a) Definiera cirkulation Γ kring en sluten kurva C. (b) För en linjevirvel placerad i origo är v θ = K/r, övriga komposanter noll. Bestäm cirkulationen kring en kurva som omsluter denna virvel. 8.3 Härled en ekvation för strömlinjerna tillhörande en dubblett med styrkan λ = 2 am placerad i origo utefter x-axeln. Rita schematiskt ett par strömlinjer. Ledning: Strömfunktionen för en linjekälla med styrkan m i x = a, y = 0: ψ k = m tan 1 Dessutom gäller följande trigonometriska samband: tan(α β) = y x + a tan α tan β 1 + tan α tan β 8.4 Den tvådimensionella potentialströmningen kring en cirkulär cylinder ges utav en superposition av en dubblet (ψ 1 = λr 1 sin θ) samt en parallellströmning (ψ 2 = U r sin θ). Bestäm: (a) hastighetsfältet (v r = r 1 ψ θ samt v θ = ψ r ), (b) radien a, (c) tryckfördelningen längs cylinderytan uttryckt som en tryckkoefficient C p = p p 1 2 ρ U, där p 2 är trycket på stora avstånd längs stagnationslinjen. 5

6 8.5 (a) Härled utgående från villkoret om rotationsfrihet samt v r = 0 hastighetsfördelningen för en potentialvirvel (stationär, inkompressibel strömning i ett plan). Ledning: ζ z = 1 r r (rv θ) 1 v r r θ V = 1 r r (rv r) + 1 v θ r θ (b) Antag att hastighetsfältet för en tromb (tornado) i sina yttre (radiella) delar kan modelleras som en linjevirvel, i sina inre som en ren stelkroppsrotation (v θ = Cr, C = konst., v r = 0). Skissera hastighetsvariationen samt härled och illustrera hur trycket varierar med radiellt avstånd r från virvelns centrum med denna enkla modell. Ledning: Radiell impulsbalans ρ vθ 2 p /r = r 8.6 (a) Vid plan, inkompressibel potentialströmning kring en cylinder med centrum i origo och med cirkulation Γ är hastigheten längs kroppsytan (r = a) lika med v θ = 2 U sin θ + där U är den ostörda hastigheten på stora avstånd (polära koordinater r och θ). Visa via integrationer att strömningsmotståndet D är noll samt att lyftkraften per breddenhet L/b är lika med ρ U Γ. OBS! 2π 0 (sin θ)2 dθ = π. (b) Beskriv grafiskt m.h.a. strömlinjer hur hastighetsfältet förändras med β = K/(U a), där K virvelstyrkan. Hur är K relaterad till Γ? 8.7 Formulera Joukowskys (Zhukovskiis) lyftkraftsteorem vid plan, tvådimensionell, inkompressibel potentialströmning. Definiera ingående storheter. Illustrera schematiskt i figur. 8.8 En långsträckt (AR ), symmetrisk och tunn vinge bibringas plötsligt en hastighet. Anfallsvinkeln är liten men skild ifrån noll. Beskriv hur strömningsfältet utvecklas med särskild betoning på strömningen kring vingens bakkant samt uppkomsten av cirkulation och därmed lyftkraft. 8.9 (a) Ange det s.k. Kutta-villkoret vid strömning kring två dimensionella vingprofiler. Hur kan detta villkor motiveras fysikaliskt? (b) Betrakta en välvd tvådimensionell vingprofil (maximal tjocklek t C; maximal välvning h C, där C är kordan). Ange ett approximativt uttryck för hur lyftkraftskoefficienten C L varierar med anfallsvinkeln α då α 1. Ange även positionen för profilens aerodynamiska centrum (Center of Pressure, CP). Illustrera schematiskt i figur (a) Diskutera kortfattat och illustrera med figur hur lyftkraften på en ändlig vinge ger upphov till ett inducerat strömningsmotstånd. (b) Ange ett teoretiskt uttryck för lyftkraftskoefficienten C L vid små anfallsvinklar, elliptisk planform och givet vingspann/korda-förhållande AR (tunn vinge med liten välvning). Γ 2πa (c) Skissera hur AR inverkar på C D och C L som funktion av anfallsvinkeln α Beskriv vad som menas med konceptet adderad massa ( hydrodynamisk massa ). Hur kan denna uppskattas vid känd potentialströmning kring en viss kropp? Ange utan härledning den adderade massan vid potentialströmning kring en sfär. Kapitel 9 Kompressibel strömning 9.1 Härled, via impuls- och massbalans, ett uttryck för hastigheten C för en tryckpuls med ändlig styrka som rör sig i ett stillastående medium. Vågfrontens utsträckning i strömningsriktningen är så liten att strömningen kan betraktas som endimensionell. Specialisera till infinitesimalt liten amplitud och adiabatiska förhållanden. 6

7 9.2 (a) Definiera stagnationstemperatur och stagnationstryck. (b) Härled sambandet mellan stagnationstemperatur T o, (statisk) temperatur T, k = c p /c v och Machtal Ma vid kompressibel strömning av en perfekt gas. (c) Härled sambandet mellan stagnationstryck p o, statiskt tryck p, k = c p /c v och Machtal Ma vid kompressibel strömning av en perfekt gas. 9.3 (a) Ställ upp ett komplett ekvationssystem som beskriver det termodynamiska tillståndet alldeles nedströms en stillastående stöt i ett munstycke vid endimensionell adiabatisk strömning av en perfekt gas. (b) Hur förändras Machtal, tryck, temperatur, densitet, entropi och stagnationstryck över en rak stöt enligt (a)? 9.4 Ett Lavalmunstycke är ansluten till en stor behållare med konstant tryck p o. Trycket utanför behållaren är p b (< p o ), det strömmande mediet är en perfekt gas. Strömningen kan betraktas som endimensionell, adiabatisk och friktionsfri. (a) Skissera tryckvariationen genom munstycket (samt strax utanför densamma) vid olika tryckförhållanden p b /p o. Markera speciellt var stötar resp. expansionsvågor kan tänkas uppträda. (b) Hur varierar massflödet med tryckförhållandet? 9.5 Vid adiabatisk strömning med friktion av en perfekt gas i ett rakt rör strävar alltid strömningen mot soniska förhållanden, Ma = 1. Vid givet Machtal Ma 1 uppströms sker detta efter en viss kritisk längd L. Förklara i detalj vad som händer om rörets längd är större än den kritiska, L > L. Behandla separat fallen med under- resp. överljudshastighet uppströms. Observera att förhållanden vid sektion 1 kan ändras. Illustrera i figur. 9.6 (a) Beskriv geometriskt omlänkningen som sker vid en sned stöt. Markera speciellt stötvinkel β och omlänkningsvinkel θ. (b) Visa genom kontrollvolymsanalys att tangentialhastigheten inte förändras över en sned stöt. (c) Skissera sambandet mellan omlänkningsvinkel och stötvinkel i ett diagram med Machtalet Ma 1 som parameter (perfekt gas). Markera områden för rak stöt, svaga och starka stötar samt Machvågor. Hur påverkar Machtalet Ma 1 maximal omlänkningsvinkel? Markera även linjen där Ma 2 = (a) Beskriv strömningsbilden kring en tunn långsträckt (bred) vinge med spetsig framkant i supersonisk strömning vid liten anfallsvinkel. Vingens tvärsnitt är prismatiskt (plana ytor). (b) Vid tillräckligt små θ och supersonisk tvådimensionell strömning gäller: p 2 p 1 = kma2 1 p 1 Ma θ där index 1 svarar mot tillståndet innan omlänkningen (Ma 1 > 1). Härled härur approximativa uttryck på C L och C D för en plan platta vid små anfallsvinklar α och supersonisk strömning med Machtalet Ma. Plattans bredd b är mycket större än dess längd (korda) C. Kapitel 10 Strömning med fria vätskeytor 10.1 Härled ett uttryck på utbredningshastigheten c för en ytvåg med amplituden δy i en öppen rektangulär kanal med bredd b och ostört djup av y. Hastighetsvariationer över tvärsnitt kan försummas. Våglängden är mycket lång i förhållande till djupet (grunt vatten). Specialisera till δy/y 0. 7

8 10.2 Betrakta endimensionell vattenströmning i en öppen (grund) kanal med konstant tvärsnitt (area A, bredd vid ytan b 0, hastighet V ). (a) Ange utbredningshastigheten c 0 för små ytvågor i denna kanal. Definiera Froudes tal. (b) Ange c 0 samt specifik energi E för det rektangulära tvärsnittet (b 0 = b, A = by) Vatten strömmar med fri vätskeyta utefter en sluttande kanal med konstant tvärsnitt och djup. Kanalen är lagd med en viss lutning mot horisontalplanet, S o = tan θ (θ 1). Enligt Manning (1891) gäller 8g/f R 1/6 h /n, där hydrauliska radien R h är i meter och n är en konstant. Definiera R h samt redogör för hur flödet Q kan beräknas. Utgångspunkt: Bernoullis utvidgade ekvation. Hastighetsvariationer över tvärsnitt kan försummas Härled ett uttryck på det kritiska djupet y c vid givet volymflöde per breddenhet (q) i en öppen kanal med rektangulärt tvärsnitt. Visa att Froudes tal är ett vid detta djup (Fr c = 1) Vatten strömmar horisontellt i en rak öppen kanal med rektangulärt tvärsnitt. Vinkelrätt mot strömningsriktningen och på botten av kanalen finns en långsträckt kulle ( bump ) med vertikal höjd (amplitud) h. Strömningen över kullen kan betraktas som endimensionell och förlustfri. Kullens höjd h samt hastighet och vattendjup uppströms är givet. (a) Härled ett implicit samband för vattendjupet vid toppen av kullen. (b) Beskriv vattenytans form över kullen vid olika h < h max samt olika Froudes tal för strömningen uppströms (Fr 1 < 1 och Fr 1 > 1). Illustrera med diagram (djup y som funktion av specifik energi E). Christoffer Norberg, tel