5C1201 Strömningslära och termodynamik

Transkript

1 5C2 Strömningslära och termodynamik Föreläsning 7: Gränsskikt invid plana plattor. Målsättning: att diskutera uppkomsten av gränsskiktet invid plana plattor, att formulera en relation mellan hastighetsfördelningen i gränsskiktet och friktionen på plattan, att definiera några olika mått på gränsskiktets tjocklek och att ta fram relationer för dessa gränsskiktstjocklekar samt väggskjuvspänningen och friktionen då strömningen i gränsskiktet är antingen laminär eller turbulent. Det material som behandlas i denna föreläsning återfinns i M7 kapitel 8 fram t.o.m Introduktion Vidhäftningsvillkoret, som gäller invid alla fasta begränsningsytor till viskös strömning, medför att det utvecklas ett gränsskikt invid alla dessa väggar. För en plan platta motiveras detta i bild. Denna bild talar i övrigt för sig själv. Gränsskiktets ytterkant måste definieras pånågot sätt och en första definition av dess tjocklek ges i bild 2. Mer text om detta finns i början av M Den inledande diskussionen om uppkomsten av gränsskiktet avslutas i bild 3. Uppdelningen av strömningsfältet i en viskös del (gränsskiktet) och en friktionsfri del (ofta kallad ytterströmningen) var, när den först formulerades, ett mycket stort genombrott Strömning förbi en plan platta ^ Z" ] ffl Invid plattan mνaste det finnas ett omrνade där strömningen växer kontinuerligt frνan pνa plattan till V lνangt ut. ffl Detta omrνade kallas gränsskiktet. ffl Strömningen är viskös. Dνa gäller vidhäftningsvillkoret. ffl Lνangt ovanför plattan (stora y) pνaverkar plattan inte strömningen. Hastigheten är V. ^ K Z^ ] sl7s 298 ( cflak) Bild :

2 Gränsskiktstjockleken ^ ffl Hastigheten u(y) i gränsskiktet växer i realiteten assymptotiskt mot V dνa y!. Z^ K ffl Gränsskiktets ytterkant och dess tjocklek ffi är därför inte väldefinierade. ffl Vanligen sätter man gränsskiktstjockleken ffi till den höjd där u = 99V. sl72s 298 ( cflak) Bild 2: Gränsskiktet invid en plan platta ^ K] ] ffl Strömningen i gränsskiktet är viskös. ffl Friktionen mot plattan bromsar strömningen. Gränsskiktet är den del av strömningen som pνaverkas av uppbromsningen. ffl Dνa fluiden kommer allt längre in över plattan (större x) sprids denna allt längre ut (i y-led) frνan plattan. ffl Utanför gränsskiktet är strömningen friktionsfri. ^ IULNWLRQVIUL VWU PQLQJ YLVN V VWU PQLQJ ] ffl Gränsskiktets tjocklek ffi växer alltsνa med x. sl73s 299 ( cflak) Bild 3: inom forskningen i och förståelsen av strömningsmekanik. Denna uppdelning brukar kallas gränsskiktshypotesen. Detta är en approximation, eller fysikalisk modell, till strömningen. Inget strömningsfält är någonsin helt friktionsfritt. Men denna modell av verkligheten öppnade vägen för att ta fram metoder att t.ex. beräkna friktionskraftenmellanenfluidochenvägg. Se även M7 8. Strömningen i gränsskiktet är viskös och viskös strömning kan vara antingen laminär eller turbulent. För att kunna avgöra vilket som är fallet i ett specifikt problem måste man föra in Reynolds tal. Detta tal definieras i bild 4. Notera att det, speciellt i forskningssammanhang, förekommer att gränsskiktstjockleken δ eller andra längder 2

3 Reynolds tal för strömningen i gränsskiktet invid en plan platta ^ K] ] ffl Gränsskiktets tjocklek ffi växer monotont med x. ffl Välj x som karakteristisk längd! ffl Reynolds tal definieras alltsνa ffl Karakteristisk hastighet är V. ffl Karakteristiska längd är egentligen gränsskiktets tjocklek ffi. ffl Dennas storlek och variation med x är dock en del av den lösning som ska tas fram. Rex = ρv x μ där index x "flaggar" för vad som valts till karakterisktisk längd. sl74s 299 ( cflak) Bild 4: Laminär och turbulent strömning i plattgränsskikt Frνan Massey, B. & Ward-Smith, J., Mechanics of Fluids, 7th Ed., Fig. 8. ffl Reynolds tal växer ju längre fluiden kommer in över plattan. ffl Gränsskiktsströmningen är till att börja med laminär. ffl Om plattan är tillräckligt lνang fνar man ett omslag till turbulent strömning. ffl För plana plattor sätter man normalt att omslaget sker dνa Re t = ρv x t μ = 5 5 sl75s 299 ( cflak) Bild 5: som karakteriserar denna tjocklek väljs som karakteristisk längd i definitionen av Reynolds tal. Vad man valt som karakteristisk längd måste man då angepånågot sätt och ett lämpligt sådant är med ett index på Re som t.ex. Re x. I bild 5 diskuteras var man finner laminär respektive turbulent strömning i ett gränsskikt. Som indikeras i bilden har man i verkligheten en omslagszon med en utsträckning i x-led där alla delprocesser vid övergången från laminär till turbulent gränsskiktsströmning sker. I denna zon bildas lokala fläckar med turbulent strömning som dels växer och dels transporteras nedströms. I många beräkningssammanhang bortser man från den ändliga utsträckningen av denna omslagszon och antar 3

4 Förträngningstjockleken ffi Λ ffl Gränsskiktet bromsar upp strömningen och minskar volymflödet närmast plattan. ffl Strömlinjerna ovanför Λ plattan trängs därför utνat sträckan ffi (x). ffl Ställ upp volymflödet genom strömröret i figuren. Volymflödet vid plattans framkant är V [H Λ ffi (x)] och vid x Z H u(y)dy Dessa volymflöden mνaste vara lika. Det ger ffi Λ (x) = Z» u(y) dy V sl76s 299 ( cflak) Bild 6: att omslager sker momentant. För plattgränsskikt är tumregeln att omslaget sker vid det värde Re t på Reynolds tal som ges i bilden. Notera dock att storleken på Re t i en viss situation beror på störningsnivån i strömningen. Om man anstränger sig att minimera sådana störningar kan strömningen bibehållas laminär till högre värden på Reynolds tal, dvs. Re t är större. Det är dock svårt att destabilisera ett plattgränsskikt och få det att slå om till turbulent vid väsentligt lägre värden på Reynolds tal. x t i uttrycket för Re t är avståndet från plattans framkant till omslagspunkten. Ett par uppskattningar av storleken på x t genomförs i problem Ev III.. Gränsskiktets existens leder också till att volymflödet minskar närmast väggen. Detta kan kvantifieras med den s.k. förträngningstjockleken som presenteras i bild 6. Kontinuitetsekvationen för strömröret i figuren ger att V [H δ (x)] = V dy V δ (x) = u(y)dy som sedan ger att [ δ (x) = u(y) ] dy V För alla värden på y som är större än gränsskiktstjockleken δ är integranden =. Därför kan den övre gränsen H till integralen ersättas med vilket som hellst värde som är större än δ. Ettsådant möjligt val är att sätta den övre gränsen till. Förträngningstjockleken kallas även deplacementtjocklek (eng. displacement thickness). Notera att förträngningstjockleken δ, till skillnad från gränsskiktstjockleken δ, är matematiskt väldefinierad. I många sammanhang är den därför ett bättre mått på tjockleken än δ. En mycket viktig tolkning av förträngningstjockleken följer direkt av hur den introduceras. Det är ett mått på hur mycket den friktionsfria ytterströmningen trängs 4

5 Friktionskraften pνa en plan platta Rörelsemängdsflödet vid plattans framkant är ρv 2 [H ffiλ (x)] b ffl Kraftekvationen i integralform för en kontrollvolym» ο» x och mellan plattan och strömlinjen i figuren. Plattans bredd är b. ffl Friktionskraften pνa fluiden är Z F x b = F = fiw dο riktad i negativ x-led. och vid x Z H b ρ [u(y)] 2 dy Detta ger att friktionskraften per breddenhet är F = ρv 2 Z» u(y) u(y) dy V V sl77s 299 ( cflak) Bild 7: utåt p.g.a. existensen av ett gränsskikt. Det ytterströmningen ser är inte bara plattan i sig utan en förtjockad platta och denna förtjockning ges av just gränsskiktets förträngningstjocklek. Detta är bakgrunden till den definition av förträngningstjockleken som ges i M Friktionen mellan fluiden och plattan Friktionskraften mellan fluiden och en plan platta kan beräknas med hjälp av kraftekvationen i integralform. Utgångspunkten och slutresultatet i denna härledning presenteras i bild 7. Kraftekvationen ger då den positiva x-riktningen är projektionsriktning F = = = = ρ [u(y)] 2 dy ρv 2 [H δ (x)] = ρ [u(y)] 2 dy ρv 2 ρ [u(y)] 2 dy ρv 2 dy + ρv 2 δ (x) = dy + ρv 2 ρu(y)[u(y) V ]dy = ρv 2 dy ρv u(y)dy = [ ] u(y) u(y) dy V V Notera att integranden är = utanför gränsskiktet. Detta innebär att den övre gränsen i integralen kan vara vilken höjd H som hellst bara den är större än gränsskiktets tjocklek. Integralen i detta uttryck för friktionskraften har dimensionen längd och kan tolkas som ytterligare ett mått på gränsskiktets tjocklek. Denna tjocklek presenteras i bild 8 (eng. momentum thickness). Från härledningen framgår att detta mått är intimt sammankopplat med friktionen och väggskjuvspänningen mellan plattan och fluiden. 5

6 Rörelsemängdstjockleken Z u(y) F = ρv» u(y) 2 dy V V ffl Friktionskraften per breddenhet är Notera att integralen har dimensionen längd. ffl Sätt Z (x) = u(y) V» u(y) dy V ffl Detta är ett mνatt pνa gränsskiktets tjocklek som kallas ff rörelsemängds (förlust)tjockleken impuls sl78s 299 ( cflak) Bild 8: Friktionskraften, väggskjuvspänningen och rörelsemängdstjockleken ffl Friktionskraften per breddenhet kan uttryckas i rörelsemängdstjockleken och i väggskjuvspänningen fi w F b = F = ρv 2 (x) F = Z x fi w (ο)dο ffl Väggskjuvspänningen blir dνa fi w (x) = ρv 2 d dx sl79s 299 ( cflak) Bild 9: Notera också attdetförekommer fyra olika termer på svenskaför denna tjocklek. Dessa fyra namn är sammanfattade under sista punkten i bilden. Se även M Friktionskraften och väggskjuvspänningen på plattan kan nu uttryckas i gränsskiktets rörelsemängdstjocklek. Dessa uttryck presenteras i bild 9. Ekvationen för väggskjuvspänningen är en enkel form av en ekvation som brukar kallas rörelsemängdsintegralen för gränsskikt (eng. momentum integral equation). Observera att formenovanär giltig för plan strömning i gränsskikt där trycket är konstant, dvs. för gränsskikt på plana plattor. En form av denna ekvation som även gäller för gränsskikt med tryckgradient härleds i M

7 Den lokala och den genomsnittliga friktionskoefficienten ffl Den lokala friktionskoefficienten c f är en dimensionslös väggskjuvspänning. ffl Den totala eller genomsnittliga friktionskoefficienten C F är en dimensionslös friktionskraft. ffl Dessa definieras c f = fi w 2 ρv 2 F C F = 2 ρv 2 bl där plattans bredd är b och längd är l. c f = c f (Re x ) respektive C F = C F (Re l ) Bνada dessa beror av Reynolds tal, sl7s 299 ( cflak) Bild : Som ingenjör, och som forskare, föredrar man för det mesta att arbeta med dimensionslösa storheter. I detta fall en dimensionslös friktionskraft och en dimensionslös väggskjuvspänning. De i detta sammanhang relevanta definitionerna presenteras i bild. Här bör man notera att beteckningarna c f och C F inte på något sätt är de som används generellt. Flera andra beteckningar stöter man lätt på i litteraturen. Följande relation mellan c f och C F är lätt att ta fram för en platta med längden l F l b = τ w dξ C F = F = 2 ρv 2 bl b l τ w dξ = 2 ρv 2 bl l c f (ξ)dξ l I problem Ev III.2 finner du en övning i att beräkna δ /δ och θ/δ för några olika möjliga approximationer till hastighetsprofilen i ett plattgränsskikt. Notera att δ> δ >θvilket gäller för både laminära och turbulenta plattgränsskikt. 7.3 Laminära plattgränsskikt Gränsskiktsströmning kan analyseras med utgångspunkt från rörelsemängdsintegralen för gränsskikt i bild 9. Denna måste dock kompleteras med ytterligare relationer för att man ska fåettlösbart system. För laminära plattgränsskikt presenteras utgångspunkten samt det resulterande uttrycket för gränsskiktstjockleken i bild. Här kräver självlikformigheten en ytterligare kommentar. Självlikformighet innebär just det som visas i bilden om man plottar hastighetsprofilen u(y) normerad med hasigheten V igränsskiktets ytterkant som funktion av avståndet y till väggen normerat med gränsskiktets tjocklek δ ska alla mätpunkter kollapsa till en och samma kurva oberoende av storleken på V och δ och oberoende av fluid, dvs. oberoende av storleken på ReynoldstalRe x bara strömningen i gränsskiktet är laminär. Det går att bevisa matematiskt att detta måste gälla om gränsskiktet är tunnt men detta bevis ligger långt utanför ambitionen i denna kurs. Vi måste här stödja 7

8 Laminärt gränsskikt invid en plan platta Utgνa frνan: ffl Självlikformighet ρ u V = f ( )»» > där = y=ffi. ffl Rörelsemängdsintegralen för gränsskiktet fi w = ρv 2 d dx ffl Newton's skjuvspänningsansats du fi w = μ dy y= Sätt Z A = f ( )[ f ( )] d och df B = d = Detta ger ffi dffi = B A som integreras till μ ρv dx r 2B x ffi(x) = p / p x A Rex sl7s 299 ( cflak) Bild : oss på empirisk erfarenhet och ett sådant exempel visas i bild 3 nedan. Där har mätdata plottats just på denna form och dessa jämförs med en teoretiskt beräknad hastighetsprofil. Notera att A och B är konstanter vars värden kan beräknas om funktionen f är känd. Vanligen väljer man en enkel kurvanpassning för denna funktion. Vanliga exempel är polynom av lågt gradtal eller en sinus-funktion. Se tabell. Detaljerna i den härledning vars slutresultat visas i bild är som följer: Definitionen av rörelsemängdstjockleken ger tillsammans med självlikformigheten ( u θ = u ) dy = δ f(η)[ f(η)] dη = δa V V och Newton s skjuvspänningsansats ger ( ) du τ w = µ dy y= = µ V δ(x) För in detta i rörelsemängdsekvationen för gränsskiktet µ V δ(x) B = ρv 2 A dδ dx ( ) df = µ V dη η= δ(x) B som först ger uttrycket i bilden och efter integrering ger att 2 δ2 = B A µx ρv + C där C är en integrationskonstant. Om origo för x-axeln läggs vid plattans framkant, dvs. där gränsskiktet börjar utvecklas, blir denna δ() = C = 8

9 Väggfriktion och väggskjuvspänning i ett laminärt gränsskikt invid en plan platta Antag att hastighetsprofilen i gränsskiktet är självlikformig, dvs. ρ u V = f ( )»» > där = y=ffi, och sätt Z A = f ( )[ f ( )] d och B = df d = Den lokal friktionskoefficinten blir c f (x) = p 2AB p Rex / p x och den totala friktionskoefficinten blir C F = 2 p 2AB p Rel sl72s 299 ( cflak) Bild 2: A B sin ( π 2 η) 2 π 2 π 2 2η η η 39 η η 2η 3 + η Tabell : Approximativa hastighetsprofiler i laminära plattgränsskikt. Detta ger nu uttrycket i bilden för gränsskiktstjockleken. Om man utnyttjar att θ = Aδ och för in detta uttryck i rörelsemängdsintegralen får man ett uttryck för väggskjuvspänningen τ w. Från detta får man dels den lokala friktionskoefficinten, som den definieras i bild, och dels den totala friktionskoefficienten. Resultaten presenteras i bild 2. Detaljer finns i M I bild 3 visas en jämförelse mellan en teoretiskt beräknad hastighetsprofil i ett laminärt plattgränsskikt och mätningar samt en visualisering av strömningen. Överensstämmelsen är mycket god och en allmän erfarenhet är att så är fallet för laminär strömning, åtminstone så länge geometrin i problemet är enkel. Den teoretiska profilen som visas i bild 3 är en s.k. Blasius-profil och denna är framräknad med metoder som ligger utanför vad som tas upp i denna kurs. I de metoder som presenterats ovan måste man ansätta en form på hasighetsprofilen, dvs. på funktionen f(η), om man även vill ha fram kvantitativa resultat. I bild 4 visas till slut numeriska värden på de konstanter som ingår i de framtagna uttrycken för tjocklekar, väggskjuvspänning och friktionskraft. Konstanter finns dels för olika approximationer till hastighetsprofilen och dels för den s.k. Blasius-profilen. Notera vad som sägs i bilden att man alltid, om inget annat sägs uttryckligen, ska använda data för Blasius-profilen. 9

10 Hastighetsprofilen i ett laminärt plattgränsskikt Frνan van Dyke, M., An Album of Fluid Motion, fig. 3. Frνan Schlichting, H., Boundary Layer Theory, 6th Ed., Fig. 7.9 sl73s 299 ( cflak) Bild 3: Tjocklekar, väggskjuvspänning och friktionskraft i ett laminärt plattgränsskikt Hast.profil δ(x) Re x/x δ (x) Re x/x θ(x) Re x/x c f Rex C F Rel η 3,46,732,578,578,55 2η η 2 5,48,826,73,73, η 2 η3 4,64,74,646,646,292 2η 2η 3 + η 4 5,84,75,685,685,372 sin ( π 2 η) 4,8,743,655,655,3 Blasius,72,664,664,328 Använd alltid numeriska värden från tabellen ovan för Blasiusprofilen om inget annat uttrycks explicit. sl823s 3922 ( c AK) Bild 4: Bra övningsexempel till detta avsnitt är i första hand Ev III.4-6, 8, samt Turbulenta plattgränsskikt Turbulenta plattgränsskikt kan analyseras på samma sätt som vi gjorde med laminära ovan. Mer detaljer i denna analys finns i M Hastighetsprofilen är självlikformig och den kan approximeras med en s.k. potenslag. Däremot kan Newton s skjuvspänningsansats inte användas. Skjuvspänningen i fluiden i gränsskiktet beror ju enligt en diskussion under föreläsning 4 (bilderna

11 Turbulent gränsskikt invid en plan platta Utgνa frνan: ffl Självlikformighet potenslag ρ u V = =n»» > där = y=ffi. ffl Rörelsemängdsintegralen för gränsskiktet fi w = ρv 2 d dx ffl Röranalogin =4 fi w = 225ρu 2 μ ρuffi(x) Med n = 7 ger detta ffi =4 dffi = som kan integreras till =4 μ dx ρv x ffi(x) = 37 p / x 8 5 Rex sl75s 299 ( cflak) Bild 5: och 6 samt diskussionen i anslutning till dessa) på att man har en rörelsemängdstransport ortogonalt mot strömningsriktningen. Denna rörelsemängdstransport har orsaker på molekylnivå då strömningen är laminär men blir mycket effektivare, och större, då strömningen är turbulent. Newton s skjuvspänningsansats tar bara hänsyn till transporten på molekylnivå och inte till transport p.g.a. turbulent omblandning. Man måste därför ta fram ett annat samband för det turbulenta plattgränsskiktet. Detta kallas ibland röranalogin och kommer från de kunskaper vi har skaffat oss för turbulent rörströmnning. Härledningen kan betraktas som överkurs och har förvisats till ett appendix i slutet för den som är intresserad. Utgångspunkterna och det slutliga uttrycket för gränsskiktstjockleken finns nu i bild 5. Här ger definitionen av rörelsemängdstjockleken tillsammans med självlikformigheten att ( u θ = u ) dy = δ η [ /n η /n] n dη = δ u u (n +)(n +2) Exponenten n i potenslagen beror egentligen av storleken på ReynoldstalRe x. För det interval i Re x där röranalogin kan förväntas gälla kan man sätta n = 7 och detta ger att θ =(7/72)δ. För in detta och röranalogin i rörelsemängdsekvationen för gränsskiktet, 225ρu 2 ( ) /4 µ = ρu 2 ρu δ 7 72 dδ dx eller δ /4 dδ = 72 7 ( ) /4 µ, 225 dx ρu 4 5 δ5/4 = 72 ( ) /4 µ, 225 x + C = 72 7 ρu 7, 225 x 5/4 (Re x ) + C /4

12 Väggfriktion och väggskjuvspänning i ett turbulent gränsskikt invid en plan platta Antag att hastighetsprofilen i gränsskiktet ges av potenslagen ρ u V = =7»» > där = y=ffi. Om 5 5» Re x Re l» 7 blir den lokal friktionskoefficinten c f (x) = 592 p / x 2 5 Rex och den totala friktionskoefficinten C F = 74 5 p Rel Dνa 7» Re l» 9 gäller 455 C F = (log Re l ) 258 sl76s 299 ( cflak) Bild 6: Den totala friktionskoefficienten Frνan Schlichting, H., Boundary Layer Theory, 6th Ed., Fig. 2.2 sl77s 299 ( cflak) Bild 7: där C är en integrationskonstant. Randvillkoret δ() = ger att C = vilket till slut ger uttrycket för δ i bilden. Nu kan man ta fram en lokal och en total friktionskoefficient. Eftersom analysen baseras på röranalogin, dvs. mätdata från rörströmning, kan man inte förvänta sig att numeriska konstanter ska vara exakta. Däremot bör parameterberoendet stämma. En liten korrigering av de numeriska konstanterna ger uttrycken för c f och C F i bild 6. Dessa gäller dock bara i ett intervall i Reynolds tal. I bilden finns även med ett uttryck som är giltigt vid högre värden på Reynoldstal. Mätdata för C F finns samlade i diagrammet som visas i bild 7. Där är även inlagt 2

13 Visualisering av ett turbulent plattgränsskikt Frνan van Dyke, M., An Album of Fluid Motion, fig. 57. sl78s 299 ( cflak) Bild 8: teoretiska och empiriska relationer för denna friktionskoefficient. Notera att det som betecknas c f i detta diagram är samma sak som vi här betecknar C F!Kurvaär för ett laminärt gränsskikt. Kurva 3a avser ett gränsskikt med både en betydande laminär och en betydande turbulent del, dvs. plattans längd l är inte så stor jämförd med längden x t fram till omslagspunkten från laminär till turbulent strömning att någon av delarna kan försummas jämfört med den andra. Kurvorna 2, 3 och 4 är baserade på olika (semi)empiriska relationer för C F i turbulenta plattgränsskikt. Kurva 2 visar denrelationsomhärletts ovan från röranalogin och med potentslagen med n =7och kurva 3 visar den andra, semiempiriska, relationen för C F som presenteras i bild 6. Notera att kurvorna 2, 3 och 4 förutsätter att längden på, och inverkan från, den laminära delen av gränsskiktet är försumbar jämfört med den turbulenta delen. Till slut visar vi i bild 8 en ögonblicksbild av strömningen i ett turbulent gränsskikt invid en plan platta. Fluiden är luft och visualiseringen sker med rök. Notera den oregelbundna ytterkanten på gränsskiktet med omväxlande tydliga områden med turbulent respektive laminär strömning. Strömningen fluktuerar kraftigt men ett tidsmedelvärde av hastighetesprofilen är stationär. Bra övningsexempel på detta avsnitt är i första hand Ev III A Härledning av röranalogin Hela detta appendix kan betraktas som överkurs för den som är intresserad. Bild 9 visar utgångspunkterna och slutresultatet för röranalogin. Motiveringen till, eller försvaret för, denna analogi är att man vet att då strömningen är turbulent sker de för friktionen viktigaste processerna i ett tunnt skikt närmast väggen. Och detta gäller oberoende av geometri, alltså både i rör och i plattgränsskikt. Om detta skikt är tunnt relativt rörets radie är resonemanget att rörväggens krökning bör ha mindre betydelse för storleken på friktionen. Och därmed bör man ha en analogi mellan max.hastigheten i röret och ytterhastigheten i gränsskiktet samt mellan rörets 3

14 ffl Utnyttja kunskaper frνan fullt utbildad rörströmning till att uppskatta väggskjuvspänningen för ett turbulent plattgränsskikt. ffl Motiv - i de väggnära delarna sker det mesta av de processer som pνaverkar friktionen. ffl Analogi: u max ο u och R ο ffi. Röranalogin ffl Rörströmning Blasius formel för friktionsfaktorn eller f = fi w = 79 (Re) =4 2 ρμu2 =4 μ fi w = 79 ρμu2r 2 ρμu2 ffl Ger för plattgränsskiktet uppskattningen fi w (x) = 225ρu 2 μ ρuffi(x) =4 sl74s 299 ( cflak) Bild 9: radie och gränsskiktets tjocklek. Hastighetsprofilen i röret approximeras med en potenslag ( ) /n u(r) R r = u max R n väljs i allmänhet som ett heltal som är beroende av Reynolds tal Re iröret. Volymflödet i röret blir nu R R ( ) /n R r Q = u(r)2πr dr =2πu max rdr= R =2πR 2 u max t /n ( t) dt =2πR 2 n 2 u max (n +)(2n +) Det ger medelhastigheten ū = Q πr 2 = 2n 2 (n +)(2n +) u max För de Reynolds tal Blasius formel gäller bör man välja n =7. Detgerattu m = 98u max /2,82u max. Den vanligtvis använda approximationen är att sätta u m,8u max. Med detta värde blir väggskjuvspänningen i röret ( ) /4 µ τ w =,79 ρ,8u max 2R 2 ρ (,8u max) 2 = ( ) /4 µ =,225ρu 2 max ρu max R Med röranalogin ger detta för plattgränsskiktet ( µ τ w (x) =,225ρu 2 ρu δ ) /4 4