Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt

Transkript

1 Fysikaliska modeller Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment Peter Andersson IFM fysik, adjunkt

2 På denna föreläsning Vad är en fysikalisk modell? Linjärisering med hjälp av logaritmer Dimensionsanalys Bestämning av konstanter

3 Fysikaliska modeller En fysikalisk modell är en beskrivning av verkligheten som kan användas för att göra förutsägelser. En fysikalisk modell är ofta i form av matematiska formler som kan användas för att göra beräkningar. Det finns ofta olika modeller för samma fysikaliska verklighet.

4 Experiment och teori De fysikaliska modellerna vi har funnit har hittats genom experiment. Härledningar kan göras för att ta fram samband utifrån lagar som anses vara verifierade. Våra modeller används för att göra förutsägelser, men säger egentligen inget annat om verkligheten.

5 Olika modeller Observera att det ofta finns olika modeller av samma fenomen! Exempel, bollkast En boll kastas och landar sträckan L från kastarens fötter. Kvalitativ modell: L beror av utgångshastigheten och utgångsvinkeln. Mycket enkel matematisk modell: L 0 Utan luftmotstånd: L = v 0 sin2a g Med luftmotstånd: datorberäkning

6 Förenklingar Mycket ofta behöver förenklingar och restriktioner göras för under vilka förutsättningar en modell gäller med god precision. L = v 0 sin2a g Denna modell har bland annat ej tagit hänsyn till: bollens höjd när den släpps, luftmotstånd, eventuell bollskruv etc. Vi kanske skulle vilja generalisera situationen för att täcka in mycket höga hastigheter så gravitation varierar, vilket skulle kräva en annan modell för att göra bra förutsägelser.

7 Modellbygge För att skapa en matematisk modell behöver vi definiera de variabler som ingår. Vi behöver även fundera på avgränsningar och idealiseringar. Om vi skall bygga en modell genom experiment är det lämpligt att studera en variabel åt gången och hålla allt annat konstant. Vi skapar en hypotes och prövar den.

8 Arbetsexempel Vi skall skapa en modell över hur hastigheten varierar hos en kropp vid fritt fall med hjälp av mätningar. h (m) v (m/s)

9 Variabler Tänkbara variabler: v (m/s) sluthastigheten h (m) fallhöjd (uppenbart) M(kg) massa Luftmotstånd? Övrigt?

10 Mätningar Vi gör mätningar där endast en variabel varierar Hastightens beroende av fallhöjden Hastighetens beroende av massan 4,50 6 v (m/s) 4,00 3,50 v (m/s) 5 3,00 4 2,50 2,00 3 1,50 2 1,00 0,50 1 0,00 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 h (m) 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 h (m) Massan tycks inte påverka hastigheten så mycket!

11 En enkel kvalitativ modell Hastigheten ökar med fallhöjden.

12 En första matematisk modell Vi kan bygga en enkel matematisk modell med en linjär funktion. v (m/s) 5,00 4,50 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 Modell med linjär funktion 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 h (m) Modell: v = C h, C konstant Rimligt att kräva att v = 0 då h = 0

13 Modell med potensfunktion v (m/s) 4,50 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 Hastightens beroende av fallhöjden 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 h (m) Potensfunktioner är vanliga i fysikaliska sammanhang. Hypotes: V = C h k, C konstant Hur kan vi bestämma k?

14 Linjärisering med logaritmer Vi skall kombinera: Räta linjens ekvation: y = kx + m Logaritmlagarna: lg (ab) = lg (a) + lg (b) lg (a k ) = k lg (a)

15 Linjärisering med logaritmer Hypotes: V = C h k Logaritmera båda leden: lg (v) = lg (C h k ) lg (v) = lg (C) + lg (h k ) lg (v) = lg (C) + k lg (h) lg (v) = k lg (h) + lg (C)

16 Linjärisering med logaritmer Hypotes: V = C h k lg (v) = k lg (h) + lg (C) samma form som en rät linje! y = k x + m Rita en graf med: lg (v) på y-axeln lg (h) på x-axeln Då är lutningen k den sökta exponenten!

17 Linjärisering med logaritmer lg (v) 0,7 logaritmerade mätvärden 0,6 0,5 0,4 Δy = 0,45 0,3 0,2 0,1-1 -0,8-0,6-0,4-0,2 0 lg (h) Δx = 0,95 k = Dy Dx = 0, 45 0,95» 0, 47» 1 2

18 Linjärisering med logaritmer Hypotes: V = C h k k = 1/2 ger modellen: v= Ch 1/2 = C h C är en konstant som ännu inte är bestämd.

19 Generalisering Kan vi generalisera vår modell? Fallhastigheten skulle säkert vara annorlunda om vi hade en annan tyngdacceleration (exempelvis på månen)! Kan vi få in även detta i vår modell? Men vi kan ju inte göra ett experiment här på jorden där vi varierar g. Hur gå vidare?

20 Dimensionsanalys Vi mäter i SI- systemets enheter. Det använder sju fysikaliska grundenheter. Storhet Beteckning Enhet Längd l m Massa m kg Tid t s Elektrisk ström I A Temperatur T K Ljusstyrka L cd Substansmängd n mol

21 SI-grundenheter Storhet (enhet) Definition Längd (m) Massa (kg) Sträckan som ljuset färdas under 1/ s i vacuum. Massan av massprototypen som finns i ett valv utanför Paris. Tid (s) perioder av strålning från en viss övergång hos Cs 133 Elektrisk ström (A) Temperatur (K) Ljusstyrka (cd) Materiemängd (mol) Strömmen som genererar en kraft på 2*10-7 newton för varje meter ledare strömmen flyter igenom. Ledarna är parallella, raka och placerade en m från varandra i vacuum. 1/273,16 av den termodynamiska temperaturen vid vattnets trippelpunkt. Ljusstyrkan i en given riktning från en källa som sänder ut monokromatisk strålning på 540*10 12 Hz och som har en strålningsstyrka på 1/683 W per steradian i denna riktning. Materiamängden i ett system med samma antal systemelement som antalet atomer i 0,012 kilogram C 12.

22 Härledda storheter Från de grundläggande sju storheterna definieras övriga enheter utifrån fysikaliska eller matematiska samband. Vissa har fått egna namn, men alla kan uttryckas i de sju grundenheterna i SI-systemet. Exempel på härledda enheter Storhet Beteckning Enhet Hastighet v m s -1 Acceleration a m s -2 Kraft F N (kg m s -2 ) Tryck P Pa (kg m -1 s -2 ) Frekvens f Hz (s -1 ) Energi E J (m 2 kg s -2 )

23 Dimensionsanalys I ett fysikaliskt samband måste alltid enheterna vara samma i alla led om vi uttrycker enheterna i de sju grundenheterna. Exempel: s = vt s (m) v (m s -1 ) t (s) Enhet i vänster led: m Enhet i höger led: m s -1 s = m VL = HL Detta kan utnyttjas för att hitta de samband som är fysikaliskt möjliga!

24 Dimensionsanalys Vi antar att g ingår som en potensfunktion i sambandet: v = C h 1/2 g a vi söker a.

25 Dimensionsanalys v = C h 1/2 g a Om C är enhetslös gäller för enheterna: v h 1/2 g a Variabel Enhet v m s -1 h m g m s -2 m s -1 = (m) 1/2 (m s -2 ) a m s -1 = m 1/2 m a s -2a m s -1 = m 1/2+a s -2a Stämmer om a = 1/2 Generaliserad modell: v = C hg v = C h 1/2 g 1/2

26 Konstanten C För att kunna göra beräkningar med modellen behövs ett numeriskt värde på konstanten C. v = C hg C = v hg v h g C 1,41 0,1 9,82 1,42 2,07 0,2 9,82 1,48 2,33 0,3 9,82 1,36 2,86 0,4 9,82 1,44 3,14 0,5 9,82 1,42 3,35 0,6 9,82 1,38 3,52 0,7 9,82 1,34 3,84 0,8 9,82 1,37 3,94 0,9 9,82 1,33 Medelvärde 1,42 1,48 1,36 1,44 1,42 1,38 1,34 1,37 1,33 C 9 1,4

27 Prövning av modell Modell v 1, 4 hg v (m/s) 4,50 Jämförelse av modell och mätningar 4,00 3,50 3,00 2,50 Mätdata Modell 2,00 1,50 1,00 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 h (m)

28 Prövning av modell v (m/s) 4,50 4,00 Oberoende mätningar 3,50 3,00 2,50 Mätserie 2 Modell 2,00 1,50 1,00 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 h (m) Modellen skall kunna verifieras av nya oberoende mätningar!

29 I laboratoriet Nu är det er tur att bygga en modell i laboratoriet. Ha kul och fråga när ni behöver hjälp. Lycka till!