Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)

Transkript

1 Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 3/ SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M. Tid: sekund (s), dimensionssymbol T. Elektrisk ström: ampère (A), dimensionssymbol I. Termodynamisk (absolut) temperatur: kelvin (K), dimensionssymbol Θ. Substansmängd: mol, dimensionssymbol N. Ljusintensitet: candela (cd), dimensionssymbol J. Kraft: Newton (N) Energi: Joule (J) Laddning: Coulomb (C) etc. Kan uttryckas i grundenheterna. Härledda SI-enheter Fördelar med att använda SI-enheter: 1) Uttrycker man alla storheter i SI-enheter vet man att svaret blir uttryckt i en SI-enhet. 2) Ofta har man fått fram den sökta storheten (vänsterledet) uttryckt i en kombination av andra storheter (högerledet). Man kan då lätt kontrollera om enheten hos vänsterledet överensstämmer med den resulterande enheten för högerledet. Om så inte är fallet har man gjort ett allvarligt fel. På tentamina m.m. brukar det bedömas strängt om man lätt hade kunnat konstatera att svaret är orimligt. 3) Med hjälp av enheterna kan vi på ett enkelt sätt uppskatta relationer mellan olika storheter. Det illustreras i problemen mot slutet. Några exempel 1) (Jfr. sid. 14 i kursboken av Grimvall). Watt (W) enhet för eekt P. Hur uttrycker vi W i grundenheter? Vi använder kända samband. Eekt = energi/tidsenhet, enhet W = J/s Energi (arbete) = kraft väg, enhet J = Nm Kraft = massa acceleration, enhet N = kg m/s 2 Metod 1 med användning av dimensionssymboler (Se kap. 6 i kursboken). dim(f ) = MLT 2 dim(e) = ML 2 T 2 dim(p ) = ML 2 T 3 Enhet: W = kg m 2 s 3 Metod 2 med användning av enheter (Jfr. avsnitt 1.3). W = J/s = Nm/s = (kg m/s2 ) m s = kg m2 s 3 1

2 Anm. Metoden med dimensionssymboler har nackdelen att vi först måste uttrycka alla storheter i grundenheter. Om vi räknar i enheter kan vi starta med härledda storheter som W, J och N och successivt byta ut dem mot grundenheter. 2) Farad (F) enhet för kapacitans C. Kapacitans denieras som laddning dividerat med spänningen över kondensatorn F = C/V Ström = laddning / tidsenhet, enhet för laddning: C = As Eekt = spänning strömstyrka, enhet för spänning: V = W/A Fann nyss att W = kg m 2 /s 3 Metod 1: dim (P ) = ML 2 T 3 enligt föregående uppgift dim (V ) = ML 2 I 1 T 3 dim (q) = IT dim (C ) = dim(q/v ) = IT (ML 2 I 1 T 3 ) 1 = IT M 1 L 2 IT 3 = I 2 T 4 M 1 L 2 F = C/V = As/V = As W/A = A2 s kg m 2 /s 3 = A2 s 4 kg m 2 3) Tesla (T) enhet för magnetisk fältstyrka B. Viktigt samband: Lorentzkraften: F = q v B Magnetfältets belopp ges alltså av B = F/(qv) Metod 1: dim (B) = dim (F/qv) = MLT 2 (IT ) 1 (LT 1 ) 1 = MLT 2 I 1 T 1 L 1 T = MT 2 I 1 N = kg m/s 2 C = As (båda sambanden visade tidigare) T = 4) Uppgift 2, sid. 24 i kursboken. Volt (V) enhet för spänning U eller potential V. kg m/s2 (As) (m/s) = kg m s As m s 2 = kg A s 2 Eekt = spänning strömstyrka, enhet för spänning V = W/A, där A är en grundenhet Fann i exempel 1 att W = kg m 2 /s 3 Metod 1: dim (P ) = ML 2 T 3 dim (V ) = ML 2 T 3 I 1 V = W/A = kg m 2 s 3 A 1 5) Uppgift 5, sid. 26. Här är det givet att specik värmekapacitet (även kallad värmekapacitivitet) uttryckt i grundenheter har enheten m 2 K 1 s 2 2

3 Vi vill dock uttrycka detta med hjälp av den härledda SI-enheten J. Från uppgift 1 eller tabell 1.2, sid. 13, nner vi att 1 J 1 kg m 2 s 2 = 1 (Jfr. sista exemplet på sid. 20). Detta skrivsätt är ofta praktiskt vid enhetsbyten: vi ställer upp en kvot som är ett och multiplicerar uttrycket med den. Vi kan nu skriva att specik värmekapacitet mäts i m 2 Ks 2 J kg m 2 s 2 = J K kg Värmekapaciteten anger hur mycket energi som måste tillföras för att ett föremål ska öka temperaturen med en grad, så dess enhet är J/K. Den specika värmekapaciteten är värmekapaciteten per kg, så dess enhet bör vara J/(kg K), vilket är just det vi fann. Dimensionsanalys Exempel 1 Det nns pulserande stjärnor vars ljusstyrka och radiella hastighet oscillerar med en period t. En hypotes är att t beror på stjärnans radie r, massa m och gravitationskonstanten G. Uttryck t i dessa storheter så att dimensionerna hänger ihop. Vi ansätter sambandet t = km a r b G c, där k är en dimensionslös konstant och exponenterna a, b och c ska bestämmas. Allmänt gäller (Newtons gravitationslag) att kraften mellan två partiklar med massorna m 1 och m 2 på avståndet r är F = Gm 1m 2 r 2 (Notera att Coulombs lag för kraften mellan två laddningar är på precis samma form). Kraft mäts i N = kg m/s 2. Om vi uttrycker G i de övriga storheterna får vi och enheten blir Ekvationen för t ger att F r2 G = m 1 m 2 (kg m)m 2 s 2 kg 2 = m3 kg s 2 kg a m b (m 3 kg 1 s 2 ) c ska ha enheten s. Därmed ska exponenten för s vara ett, d.v.s. 2c = 1, och exponenterna för kg och m ska vara noll, vilket ger a c = 0 och b + 3c = 0. Detta ger i tur och ordning c = 1 2, a = 1 2 och b = 3 2. Slutsats: Det sökta sambandet är t = k m 1/2 r 3/2 G 1/2 Anm. Verkar detta rimligt fysikaliskt? Uttrycket anger att perioden t minskar om m och/eller G ökar. Båda faktorerna innebär att kraften bakom oscillationen ökar och då verkar det rimligt att oscillationen sker snabbare, d.v.s. att perioden minskar. När radien r ökar verkar det också rimligt att oscillationen får större amplitud och sker långsammare. Även om detta resonemang inte ger de exakta värdena för exponenterna kan det vara skäl att tänka efter om trenderna verkar fysikaliskt rimliga. Exempel 2 Det hydrostatiska blodtrycket p kan antas bero på blodets densitet ρ, höjdskillnaden h mellan hjärtat och en lägre mätpunkt i kroppen och gravitationen g. Ange ett rimligt uttryck för p så att dimensionerna stämmer. Kan man tänka sig ett mera allmänt uttryck där dimensionerna också stämmer men där den fysikaliska situationen beskrivs bättre? 3

4 Vi ansätter p = kρ a h b g c, där k är en dimensionslös konstant. Tryck är kraft per ytenhet och mäts i pascal (Pa) = N/m 2 = (kg m/s 2 ) /m 2 = kg m 1 s 2. Vidare mäts ρ i kg/m 3 och tyngdaccelerationen g i m/s 2. Enheten hos högerledet blir därmed (kg m 3 ) a m b (m s 2 ) c = kg a m b+c 3a s 2c Jämförelse med enheten för p ger ekvationssystemet a = 1, -2c = -2, b + c - 3a = -1. Detta ger a = b = c = 1, d.v.s. sambandet blir p = kρhg Anm. Detta uttryck gäller för mätpunkter lägre än hjärtat men skulle ge det ofysikaliska resultatet att trycket blir negativt i hjärnan. Man skulle kunna skriva p = p 0 + kρhg där p 0 är ett slags grundblodtryck och den andra termen ger avvikelsen från detta i olika delar av kroppen. Även detta uttryck är dimensionsenligt. Uppgift 2, sid. 132: Luftmotstånd. Den bromsande kraften F på ett föremål antas bero på föremålets tvärsnittsarea A, dess hastighet v och luftens densitet ρ. Vi ansätter F = ka x v y ρ z, där k är en dimensionslös konstant och x, y och z är exponenter, som vi vill bestämma. För vänsterledet har vi dim(f ) = MLT 2 Vidare har vi dim(a) = L 2 dim(v) = LT 1 dim(ρ) = ML 3 Högerledet får därmed dimensionen (L 2 ) x (LT 1 ) y (ML 3 ) z = L 2x+y 3z T y M z Detta ska överensstämma med dimensionen för kraften F. Exponenterna för var och en av grundenheterna måste därför vara lika för vänsterled och högerled. Detta ger ekvationssystemet: M : 1 = z L : 1 = 2x + y 3z T : 2 = y Den första ekvationen ger direkt att z = 1 och den tredje ekvationen ger y = 2. Insättning av detta i den andra ekvationen ger sedan x = 1. Med ansatsen ovan får vi därmed F = kav 2 ρ Anm. I lösningen i kursboken på sid. 137 används i stället för A en variabel d med dimensionen längd. Det kan t.ex vara diametern hos ett klot. Detta ger svaret F = kd 2 v 2 ρ Problemet diskuteras närmare på sid Uppgift 4, sid. 133: Diusionsekvationen. En ofta förekommande ekvation i fysiken är diusionsekvationen c t = D 2 c x 2, där D kallas diusionskonstanten och c är koncentrationen (antal partiklar per m 3 ) som har dimensionen L 3. Här efterfrågas dim (D). 4

5 Som diskuteras på sid. 118 kan man behandla en derivata som en kvot när man betraktar dimensioner. Vi får därmed ( ) c dim = L 3 /T = L 3 T 1 t ( 2 ) c dim x 2 = L 3 /L 2 = L 5 Detta ger L 3 T 1 = dim (D) L 5 dim (D) = L 2 T 1 Uppgift 7, sid. 134: Släggkastning. Vi vill här ha ett dimensionsenligt uttryck för kastlängden s, som antas bero på utgångsfarten v, utgångsvinkeln α mot kastplanen, tyngdaccelerationen g och släggans massa m. Vi ansätter här s = k(α) v x g y m z (Vi bortser från luftmotståndet). Här har vi infört k(α) som en dimensionslös funktion av vinkeln α, som är dimensionslös. Denna funktion kan inte bestämmas med enbart dimensionsanalys. Vi har dim (v) = L T 1 dim (g) = L T 2 dim (m) = M Vänsterledet har dimensionen L. För högerledet får vi (L T 1 ) x (L T 2 ) y M z = L x+y T x 2y M z För att dimensionen för vänsterledet och högerledet ska vara samma måste vi ha L : 1 = x + y T : 0 = x 2y M : 0 = z Den sista ekvationen ger direkt att z = 0, dvs att kastlängden inte beror på släggans massa. Den andra ekvationen ger x = 2y. Insättning av detta i den första ekvationen ger 1 = 2y + y = y, dvs y = 1. Den andra ekvationen ger sedan x = 2. Vår dimensionsanalys ger därmed Anm. En striktare lösning av problemet ger s = k(α) v 2 g 1 = k(α)v2 g s = sin(2α) v2 g Här är sin(2α) av storleksordningen ett, så vår dimensionsanalys ger ett ungefärligt värde på kastlängden. Den maximala längden fås för α = π/4 och blir v 2 /g. 5