Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete

Transkript

1 Mekanik FK2002m Föreläsning 6 Kinetisk energi och arbete Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 6

2 Introduktion Idag ska vi börja prata om energi. - Kinetisk energi - Arbete Nästa gång blir det potentiell energi och energins bevarande. SARA STRANDBERG P. 2 FÖRELÄSNING 6

3 Energi Energi är inte helt lätt att definiera. En siffra som är relaterad till tillståndet hos ett objekt eller system. Energi kan inte skapas eller förstöras, bara omvandlas till olika former. Lite som med pengar - man kan flytta dem mellan olika banker och omvandla dem till olika valutor, men mändgen pengar i systemet är alltid konstant (i värld där det är förbjudet att trycka nya pengar vill säga). SARA STRANDBERG P. 3 FÖRELÄSNING 6

4 Kinetisk energi Kinetisk energi kallas även rörelseenergi. Är kopplat till ett föremåls rörelse - ju snabbare något rör sig desto större är den kinetiska energin. För ett föremål med massan m och farten v har vi: K = 1 2 mv2 Energi har enheten kg m 2 /s 2 = Nm = J (Joule) SARA STRANDBERG P. 4 FÖRELÄSNING 6

5 Arbete Om du accelererar ett föremål till högre fart eller deccelererar det till lägre fart ändras föremålets kinetiska energi. Kraften som accelerationen eller deccelerationen härstammar från utför ett arbete på föremålet. Arbetet W svarar mot energi som överförs till eller från ett föremål genom en kraft som verkar på föremålet. Om energi överförs till föremålet är arbetet positivt, och om energi överförs från föremålet är arbetet negativt. Arbete = överförd energi. Utföra arbete = att överföra energi. Arbete har samma enhet som energi (J) och är en skalär. Det bara är en kraft i förflyttningens riktning som ger ett arbete. SARA STRANDBERG P. 5 FÖRELÄSNING 6

6 Att beräkna arbete Pärla som har trätts på, och kan glida längs, en friktionsfri tråd. Tråden uppspänd längs -aeln. En konstant kraft F, riktad med en vinkel φ mot -aeln, accelererar pärlan längs tråden. F Den här komponenten utför inget arbete φ Den här komponenten utför ett arbete wire Relation mellan kraften och accelerationen från Newtons 2a lag: F = ma (m = massan) (1) SARA STRANDBERG P. 6 FÖRELÄSNING 6

7 Att beräkna arbete Ändringen i pärlans hastighet (från v 0 till v) under en förflyttning d ges av: v 2 = v a d (2) Löser vi ut a från Eq. (2) och stoppar in i Eq. (1) får vi: 1 2 mv2 1 2 mv2 0 = F d (3) Den första termen är slutvärdet för den kinetiska energin, K f, medan den andra termen är startvärdet, K i. Högerledet är således ett uttryck för arbetet: W = F d (4) W = Fdcosφ (5) W = F d (6) SARA STRANDBERG P. 7 FÖRELÄSNING 6

8 Att beräkna arbete Arbetet är positivt om 0 < cosφ < 90. Arbetet är negativt om 90 < cosφ < 180. Arbetet är noll om cosφ = 90. En kraft utför ett positivt arbete om den har en komponent i samma riktning som förflyttningen, och utför ett negativt arbete om den har en komponent i motsatt riktning. Den utför inget arbete om den inte har någon sådan komponent. Ekvationerna på föregående sida är bara giltiga om: - Kraften F är konstant. - Föremålet måste vara styvt (alla delar måste röra sig tillsammans åt samma håll). SARA STRANDBERG P. 8 FÖRELÄSNING 6

9 Mer om relationen mellan kinetisk energi och arbete Låt K vara ändringen i ett föremåls kinetiska energi. Låt W vara det arbete som utförs på föremålet. Då får vi: eller K = K f K i = W (7) K f = K i +W (8) Kallas arbete-rörelseenergi-teoremet (work-kinetic energy theorem). Dessa relationer är giltiga både för positivt och negativt arbete. SARA STRANDBERG P. 9 FÖRELÄSNING 6

10 Arbete utfört av gravitationen d F g F g F g v v 0 Föremål med massa m kastas uppåt med hastighet v 0, dvs K i = 1 2 mv2 0. Saktas ned under uppfärden av gravitationskraften Fg, dvs föremålets kinetiska energi minskar eftersom F g utför ett arbete W g på föremålet: W g = mgdcosφ = mgdcos180 = mgd( 1) = mgd Under nerfärden ökar istället föremålets fart, och arbetet är nu: W g = mgdcosφ = mgdcos0 = mgd(+1) = +mgd SARA STRANDBERG P. 10 FÖRELÄSNING 6

11 Arbete vid lyft och sänkning av föremål Lyfter ett föremål uppåt genom att applicera en kraft F. under lyftet utför vår kraft ett positivt arbete W a på föremålet. Gravitationen utför ett negativt arbete W g. Vi får: K = K f K i = W a +W g (9) Eq. (9) också giltigt då vi sänker ner föremålet, men då utför gravitationen ett positivt arbete medan F utför ett negativt. Specialfall: föremålet är stillastående före och efter lyftet. Då är K f = K i och vi får W a +W g = 0 eller W a = W g. Samma relation mellan W a och W g gäller om K f = K i 0. Mer generellt har vi: W a = mgdcosφ (10) SARA STRANDBERG P. 11 FÖRELÄSNING 6

12 Arbete utfört av en fjäder Eempel på arbete som utförs av en variabel kraft. = 0 = 0 F Fjäder fäst i ett block. - Överst: fjädern i osträckt läge (inga krafter). - Mitten: fjädern sträcks ut. Fjädern drar blocket år vänster (motkraft). - Nederst: fjädern trycks ihop. Fjädern trycker positive negative F F s 0 d blocket är höger. Kraften F s är proportionell mot förflyttningen d (Hookes lag): d 0 F s = k d, F = k (11) F s negative positive F där k är fjäderkonstanten (mått på fjäderns styvhet). 0 SARA STRANDBERG P. 12 FÖRELÄSNING 6

13 Arbete utfört av en fjäder För att beräkna arbetet som fjäderkraften utför på blocket antar vi att: - fjädern är masslös (mkt lättare än blocket). - fjädern är ideal (Hookes lag gäller eakt). - vi har ingen friktion mellan blocket och golvet. - blocket är styvt. Anta att är blockets startposition och f är blockets slutposition. Delar in denna sträcka i många små bitar av längd. Anta att fjäderkraften är konstant i varje ntervall. För en fjäder som dras ut åt höger får vi: W s = ( F j ) SARA STRANDBERG P. 13 FÖRELÄSNING 6

14 Arbete utfört av en fjäder Från förra sidan: W s = ( F j ) Då 0 får vi: W s = f F d Ersätter vi F med k får vi: W s = f kd = k f d = ( 1 2 k)[2 ] f = ( 1 2 k)(2 f 2 i) = 1 2 k2 i 1 2 k2 f SARA STRANDBERG P. 14 FÖRELÄSNING 6

15 Arbete utfört av en fjäder Om vi drar blocket åt sidan och fortsätter att applicera en kraft F a. Vår applicerade kraft utför ett arbete W a på blocket medan fjäderkraften utför ett arbete W s. Ändringen i den kinetiska energin ges då av: K = K f K i = W a +W s Om blocket är i vila innan och efter förflyttningen så är K i = K f = 0 och vi får: W a = W s SARA STRANDBERG P. 15 FÖRELÄSNING 6

16 Arbete utfört av en godtycklig variabel kraft (en dimension) Låt oss återgå till pärlan på den friktionsfria tråden, men anta att kraften F är en funktion av positionen, dvs F(). Kan inte använda W = Fdcosφ eftersom kraften inte är konstant. Delar istället in förflyttningen i många små intervall. Om stegen är små kan vi under varje steg anta att F är konstant. Låt F j,avg vara medelvärdet av F() i det jte intervallet. F j,avg höjden av den jte rektangeln. är bredden. F() f F() W j f F j,avg SARA STRANDBERG P. 16 FÖRELÄSNING 6

17 Arbete utfört av en godtycklig variabel kraft (en dimension) F() f F() W j f F j,avg Arean av varje rektangel ges av: W j = F j,avg Summerar vi ihop alla rektanglar får vi det totala arbetet: W = W j = F j,avg vilket alltså motsvarar arean under kurvan mellan och f. Ju mindre vi gör, desto närmare den sanna arean kommer vi. SARA STRANDBERG P. 17 FÖRELÄSNING 6

18 Arbete utfört av en godtycklig variabel kraft (en dimension) F() f F() f Låter vi bredden på varje intervall gå mot noll kommer antal intervall att gå mot oändligheten. W = lim Fj,avg t 0 Vi får integralen av funktionen F(). W = f F()d SARA STRANDBERG P. 18 FÖRELÄSNING 6

19 Anta att vi istället har en tre-dimensionell kraft: F = F î+f y ĵ +F zˆk I tre dimensioner Begränsar oss till krafter där F bara beror på, F y bara beror på y och F z bara beror på z. Låter nu en partikels förflyttning vara: d r = dî+dyĵ +dzˆk Arbetet som kraften utför på partikeln under ett kort tidsintervall: dw = F d r = F d+f y dy +F z dz Totala arbetet som F utför då partikeln rör sig från till f är då: W = rf r i dw = f F d+ yf y i F y dy + zf z i F z dz SARA STRANDBERG P. 19 FÖRELÄSNING 6

20 Arbete-rörelseenergi-teoremet Ta en partikel med massan m som rör sig längs -aeln och påverkas av en resulterande kraft F(). Arbetet utfört av kraften på partikeln är: W = f F() d = f ma d (12) Vi kan skriva ma d som: Från kedjeregeln har vi: ma d = m dv dt d (13) dv dt = dv d Kombinerar vi Eq. (13) och Eq. (14) får vi då: d dt = dv d v (14) ma d = m dv v d = mv dv (15) d SARA STRANDBERG P. 20 FÖRELÄSNING 6

21 Arbete-rörelseenergi-teoremet Stoppar vi in Eq. (15) i Eq. (12) får vi: W = vf v i mv dv = m vf v i v dv = 1 2 mv2 f 1 2 mv2 i (16) Termerna i högerled är uttryck för kinetisk energi. Alltså har vi: W = K f K i = K (17) Denna relation mellan arbetet och den kinetiska energin är arbete-rörelseenergi-teoremet (work-kinetic energy theorem) för en godtycklig kraft F(). SARA STRANDBERG P. 21 FÖRELÄSNING 6

22 Effekt Det utförda arbetet per tidsenhet kallas effekt. Om en kraft utför ett arbete W under en tid är medeleffekten P avg under den tiden: P avg = W t Den momentana effekten P ges av: P = dw dt SI-enheten för effekt är J/s=W (watt). Kan också uttrycka P i termer av kraften som utför arbetet: P = dw = F cosφd ( ) d = F cosφ = Fvcosφ dt dt dt Detta är uttrycket för en skalärprodukt, nämligen P = F v SARA STRANDBERG P. 22 FÖRELÄSNING 6

23 Idag har vi definerat kinetisk energi som K = 1 2 mv2. Sammanfattning Vi har definierat arbete som den energi som överförs till (positivt arbete) eller från (negativt arbete) ett föremål genom en kraft som verkar på föremålet. Kom fram till följande relation mellan kinetisk energi och arbete: W = K f K i. För en konstant kraft har vi W = F d. Ett eempel var arbetet utfört av gravitationen. För en icke-konstant kraft har vi istället W = f F()d. Ett eempel var arbetet utfört av en fjäder. Definierade också effekt som arbete per tidsenhet, dvs P = dw dt. Uttryckt i termer av kraften som utför arbetet har vi P = F v. SARA STRANDBERG P. 23 FÖRELÄSNING 6