BFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Föreläsning 10 Relativitetsteori den 26 april 2012.

Transkript

1 Föreläsning 10 Relativa mätningar Allting är relativt är ett välbekant begrepp. I synnerhet gäller detta när vi gör mätningar av olika slag. Många mätningar består ju i att man jämför med någonting. Temperatur är en sådan storhet där man i Celsiusskalan jämför temperaturen hos något föremål/ material med de förhållanden som råder då vatten fryser (0 C) eller kokar (100 C). Om man skulle mäta temperaturen i Kelvinskalan skulle vatten istället frysa vid 273,15 K. Detsamma gäller erfarenhetsmässigt också för mätningar av hastigheter. För att ta två exempel; 1) Om man i en hastighet av 95 km/h blir omkörd av ett annat fordon som håller hastigheten 105 km/h så kommer det att uppfattas som att det andra fordonet passerar relativt långsamt, särskilt jämfört med om man istället skulle möta ett fordon som håller hastigheten 105 km/h. I det första fallet skulle ju den relativa hastigheten mellan fordonen bara vara 10 km/h medan i det andra fallet den skulle vara 200 km/h. I det här fallet jämför vi dels var och en av de båda hastigheterna med marken (vägen, träd eller hus omkring), som vi anser vara stilla, för att få 95 respektive 105 km/h, och dels de båda hastigheterna som uppmätts relativt marken med varandra. I ett andra exempel skulle man kunna vidga perspektivet lite och tänka sig att man tittar på fordonen från rymden; 2) Förutom att bilarna rör sig med en viss hastighet på vägen så har ju hela planeten jorden dels en rotation med en viss hastighet dels rör den sig i en bana runt solen, så om man skulle mäta bilarnas hastighet från solens position skulle denna vara summan av jordens omloppshastighet ( m/s), rotationshastighet (225 m/s) och bilarnas hastighet (c:a 30 m/s) med riktning, d.v.s. i medeltal c:a m/s. Sedan rör sig ju hela solsystemet runt vår galax Vintergatans centrum, som rör sig genom universum Vilken hastighet som mäts beror alltså på vilket referenssystem som används, om ett fordons hastighet mäts från ett annat fordon (detta andra fordon utgör referenssystemet), i jämförelse med marken (referenssystemet utgörs av marken) eller jämfört med solen (solen utgör referenssystemet). Låt oss se på ytterligare ett exempel:

2 Exempel I: Säg, helt hypotetiskt, att en boll kastas rakt upp med hastigheten v 1 av någon som ligger på en släpvagn som dras efter ett fordon som rör sig framåt med hastigheten v 2 (se Fig. 9.1). v 1 v h V 2 Fig. 9.1 Eftersom hela ekipaget har en hastighet v 2 framåt kommer dock bollen precis när den kastas förutom hastigheten v 1 att även ha en hastighet v 2 framåt, jämfört med marken. Den som kastar bollen (senare kallad deltagare, någon som är i vila i förhållande till händelsen/ förloppet) kommer också att färdas med hastigheten v 2 framåt och kommer hela tiden att befinna sig rakt under bollen. D.v.s. den som kastade bollen upplever det som att bollen bara rör sig rakt upp med utgångshastigheten v 1 och sedan rakt ned efter att den vänt, d.v.s. totala sträckan 2h (mätt med släpvagnen som referenssystem). För någon som står stilla på marken och ser fordonet och släpvagnen passera förbi (senare kallad observatör, någon som är i rörelse i förhållande till händelsen/ förloppet) kommer dock upplevelsen vara att bollen följer en kastparabel som är längre än 2h enligt streckad bana i figur 9.1, med utgångshastigheten v (= ), mätt med marken som referenssystem. Under den tid som bollen är i luften kommer alltså den som kastat bollen och någon som står stilla på marken att mäta att bollen färdats olika lång sträcka, men också att den haft olika utgångshastighet. Den som kastade mäter en kortare sträcka men också en lägre hastighet, vilket verkar rimligt med lägre hastighet borde bollen intuitivt färdas kortare sträcka på samma tid.

3 Ljushastighetens konstans Vad blir situationen om man istället mäter på en partikel som färdas i hög hastighet och samtidigt sänder ut en foton (ljus). Säg att partikeln färdas framåt med en hastighet som motsvarar halva ljushastigheten relativt marken när en foton sänds ut med ljusets hastighet relativt partikeln, också den framåt (se Fig. 9.2). Intuitivt skulle man då förvänta sig att fotonen skulle färdas med en hastighet på en och en halv gånger ljushastigheten (1,5c) relativt marken. Enligt både teoretiska resonemang och experimentella försök är så inte fallet dock. Fotonens hastighet relativt marken kommer fortfarande att vara bara ljushastigheten. Också för det fall att fotonen skulle sändas ut bakåt är fotonens hastighet relativt marken fortfarande exakt lika med ljushastigheten (och inte som man kanske skulle kunna förvänta sig 0,5c). v = 0,5c V 1 V 2 Fig. 9.2 v, v 1 och v 2 avser hastigheter relativt marken D.v.s. i Fig. 9.2 ovan gäller att v 1 = v 2 = c. Fotonens hastighet relativt partikeln kommer också att vara exakt lika med ljushastigheten. Oavsett referenssystem mäts fotonernas hastighet alltid upp till ljushastigheten. Detta fenomen brukar refereras till som ljushastighetens konstans.

4 Tidsdilatation Att ljusets hastighet alltid mäts upp till samma värde oavsett referenssystem får en del märkliga konsekvenser. Låt oss återvända till exemplet med någon som kastar en boll från ett släp i rörelse. Exempel II c c d (= c t) h (= c t 0 ) OBS! Ej skalenlig figur v tiden = 0 tiden = t x (= v t) Fig. 9.3 Istället för att kasta en boll låter vi personen tända en ficklampa istället. På samma sätt som för bollen kommer då deltagaren på släpet att se fotonerna åka rakt upp en sträcka h med hastigheten c. En observatör som ser ficklampan tändas då ekipaget passerar förbi kommer som i exemplet med bollen att uppfatta att fotonerna, förutom att sändas uppåt, också rör sig lite framåt då ekipaget rör sig framåt. Observatören kommer då att registrera att fotonerna förflyttar sig sträckan d för att nå höjden h (observera att figuren ej är skalenlig). Sträckan d ges via Pythagoras sats som: d = (x 2 + h 2 ) där x är den sträcka ekipaget förflyttat sig fram till dess att fotonerna nått höjden h. Vi ser att sträckan d är längre än sträckan h. D.v.s. deltagaren och observatören kommer att mäta upp olika långa sträckor för fotonernas färd upp till höjden h. I fallet med bollen var det inget märkligt med det eftersom de också registrerade olika hastighet hos bollen, men i fallet med fotonerna vet vi ju att man mäter upp precis samma hastighet c oavsett referenssystem. Både observatör och deltagare kommer alltså att mäta upp hastigheten c. Enligt det vanliga sambandet mellan sträcka s, hastighet v och tid t s = v t skulle detta vara orimligt. Den enda förklaringen skulle vara om observatör och deltagare skulle uppmäta olika tid för förloppet att fotonerna når höjden h över släpvagnen.

5 Låt oss anta att deltagaren skulle mäta upp tiden t 0 och observatören tiden t. Vi kan då uttrycka ovanstående samband mellan sträckorna enligt följande (se Fig. 9.3): c t = [(v t) 2 + (c t 0 ) 2 ] c 2 t 2 = v 2 t 2 + c 2 t 2 0 c 2 t 2 - v 2 t 2 = c 2 t 2 0 c 2 (t 2 v 2 t 2 /c 2 ) = c 2 t 2 0 (t 2 v 2 t 2 /c 2 2 ) = t 0 t 2 (1 v 2 /c 2 2 ) = t 0 t (1 v 2 /c 2 ) = t 0 t = t 0 / (1 v 2 /c 2 ) Sambandet mellan den tid t som observatören mäter upp och den tid t 0 som deltagaren mäter upp för samma förlopp (att fotonerna når höjden h) ges alltså av: t = t 0 / (1 v 2 /c 2 ) Om fordonet rör sig kommer den tid t 0 som deltagaren mäter upp för förloppet att vara kortare än den tid t som observatören mäter upp för samma händelse. Tiden t 0 kallas för egentiden och är den tid som skulle mätas upp av någon som är i vila jämfört med händelsen/ förloppet/ mätningen (den tid som mäts upp av någon som följer med händelsen). Fenomenet att observatören, som inte följer med händelsen (som är i rörelse jämfört med händelsen), mäter upp en längre tid för förloppet/ händelsen kallas för tidsdilatation. Detta fenomen har också kunnat observeras i verkligheten, bl.a. genom att jämföra tiden som två mycket exakta atomur mätt upp för förloppet att ett mycket snabbt flygplan genomfört en flygning ett varv runt jorden, där det ena uret befunnit sig på flygplatsen och det andra ombord på flygplanet. Vid återkomsten till flygplatsen kunde det konstateras att de två uren uppmätt olika tid.

6 Exempel III: Längdkontraktion Säg att ett väldigt snabbt flygplan förflyttar sig med hastigheten v från punkt A till punkt B över jordytan, enligt figur 9.4 nedan. Fig. 9.4 v t 0 A l 0 B Säg också att en person på marken observerar flygplanets förflyttning från A till B, en sträcka som personen på marken mätt upp till l 0. Enligt sambandet mellan sträcka hastighet och tid får personen på marken då följande för planets förflyttning: l 0 = v t Sedan tidigare vet vi dock att piloten i flygplanet inte kommer att mäta samma tid för förloppet att flygplanet förflyttar sig från A till B. Piloten följer ju med händelsen och är alltså deltagare när det gäller att mäta tiden för händelsen. Piloten kommer alltså att mäta egentiden t 0. För sträckan mellan A och b får då piloten: L = v t 0 Båda kommer dock att mäta samma hastighet v, eftersom det är den relativa hastigheten mellan dem. Om personen på marken och piloten inte mäter samma tid för händelsen måste det då innebära att de inte heller uppmäter samma längd på den sträcka flygplanet förflyttar sig från A till B. Sambandet mellan de uppmätta sträckorna kan fås från följande, genom att utnyttja sambandet mellan tiderna t och t 0 som personen på marken och piloten mäter upp:

7 l 0 = v t, t = t 0 / (1 v 2 /c 2 ) l 0 = v t 0 / (1 v 2 /c 2 ) [L = v t 0, enligt ovan] l 0 = L / (1 v 2 /c 2 ) L = l 0 (1 v 2 /c 2 ) Man kan se att den sträcka L piloten mäter upp för förflyttningen är kortare än den som personen på marken mätt upp. Fenomenet kallas för längdkontraktion. Observera att l 0 mäts av den som är i vila jämfört med sträckan som mäts. Personen på jorden rör sig ju inte relativt sträckan AB, så när det gäller sträckmätningen är personen på marken deltagare medan piloten är observatör (rör sig i förhållande till sträckan AB). Å andra sidan följer piloten med i förflyttningen för vilken tiden mäts. Piloten är alltså deltagare i händelsen att flygplanet färdas från A till B och mäter egentiden t 0, medan personen på marken är observatör och mäter tiden t. Relativistisk rörelsemängd Enligt den klassiska fysikens lagar gäller att rörelsemängden p hos ett föremål med massa m som färdas med hastigheten v ges av: p = m v = m x/ t Detta är dock ett uttryck som bygger på den av oss uppmätta hastigheten v, som en viss förflyttning Δx under en viss tid Δt. Rörelsemängden bör dock vara en egenskap som följer med föremålet. Vi har tidigare sett att den tid som mäts upp av någon som följer med ett föremål som rör sig i hög hastighet kommer att mäta en annan tid för förflyttningen än en som observerar förflyttningen utifrån. Sambandet mellan dessa tider ges av: t = t 0 / (1 v 2 /c 2 ) t 0 = t (1 v 2 /c 2 ) Rörelsemängden för ett föremål som rör sig med hastigheten v borde därför ges av förflyttningen som äger rum under den tid Δt 0 som någon följer med föremålet skulle mäta upp för förflyttningen Δx. p = m x/ t 0 = m x/[ t (1 v 2 /c 2 )] = m v/ (1 v 2 /c 2 ) p = m v/ (1 v 2 /c 2 )

8 Den relativistiskt korrekta rörelsemängden, som kan observeras för ett föremål som rör sig med en hastighet v som närmar sig ljushastigheten ges alltså av ovanstående uttryck. Viloenergi och rörelseenergi En annan konsekvens av ljushastighetens konstans är att den totala energin E hos ett föremål med massan m ges av (utan att gå djupare in på varför): E = m c 2 / (1 v 2 /c 2 ) Från detta uttryck kan man konstatera att: i) För ett föremål i vila (v = 0) finns en viss inneboende energimängd E 0, kallad föremålets viloenergi som ges av: E 0 = m c 2 Ovanstående ekvation ger alltså ett samband mellan ett föremåls vilomassa och dess inneboende energi. Denna energimängd kan frigöras om föremålet helt förintas. Hela föremålets massa omvandlas då till energi och omvandlingsfaktorn är ljushastigheten i kvadrat. ii) iii) Ett föremåls totala energi växer mot oändligheten då dess hastighet kommer allt närmare ljushastigheten. D.v.s. det är omöjligt att accelerera ett föremål med massa till ljusets hastighet eftersom föremålet då skulle få oändlig energi och det skulle gå åt oändligt mycket energi att accelerera föremålet. Skillnaden mellan föremålets totala energi och dess viloenergi måste vara lika med föremålets rörelseenergi E k enligt: E k = E E 0 = m c 2 / (1 v 2 /c 2 ) - m c 2