Relativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 3 Lösningar

Transkript

1 Relativitetsteorins grunder, våren 2016 Räkneövning 3 Lösningar 1. Den ryska fysikern P.A. Čerenkov upptäckte att om en partikel rör sig snabbare än ljuset i ett medium, ger den ifrån sig ljus. Denna effekt är analog med den då ett överljudsplan överskridit ljudets hastighet. Vad är den minimala kinetiska energin en elektron måste ha för att producera denna effekt i glas (n = 1.62), då n = c v? Konstanterna: v = 0, 62c c = m/s n = 1, 62 m e = 9, kg. Lösning: Eftersom n = c v måste villkoret v > c n (1) gälla för att en partikel skall kunna röra sig fortare än ljuset i ett medium (glas i detta fall), vilket ger oss då vi insätter våra värden v 0, 62c. (2) Då den totala energin är E e = m e c 2 för elektronen, måste den kinetiska energin vara E k = m e c 2 m e c 2 = m e c 2 ( 1) 138 kev, (3) 1 då = 1, 27. Elektronen måste alltså ha en kinetisk energi E k 138keV 1 v2 c 2 för att kunna producera Čerenkov effekten i glas. 2. Beräkna den frigjorda energin i varje steg av deuteron-fusionsprocessen vilken består av processerna d + 3 H 4 He + n d + d 3 He + n d + d 3 H + H d + 3 He 4 He + H. 3d α + n + p,

2 Konstanterna: m d = 2, u m3 H = 3, u m4 He = 4, u m n = 1, kg m3 He = 3, u m H = 1, u c = m/s u = 1, kg. Lösning: Vi kan direkt beräkna de olika stegen som E 1 = (m d + m3 H m4 He m n )c 2 17, 6 MeV E 2 = (2m d m3 He m n )c 2 3, 3 MeV E 3 = (2m d m3 H m H )c 2 4, 0 MeV E 4 = (m d + m3 He m4 He m H )c 2 18, 3 MeV. Om vi adderar ihop dessa reaktioner får vi 6d + 3 H + 3 He 2 4 He + 2n + 2H + 3 He + 3 H + E 3d α + n + H + E 2, där E = E 2 = 21, 6 MeV, som sig bör. 3. Helan är lat och ligger i sin hängmatta och vilar. Halvan sticker iväg på en rymdfärd med hastigheten v = 5 6c. Efter 12 år i Helans koordinatsystem, kommer Halvan ihåg att han glömt sätta på tevattnet på jorden och svänger om. Han åker tillbaka med hastigheten v = 5 6c. Helan sänder en ljussignal åt Halvan 2 år efter hans avfärd. Då Halvan mottar denna signal, sänder han tillbaka en ljussignal som tecken på att han tagit emot Helans meddelande. När tar Halvan (enligt hans klocka) emot Helans signal och när tar Helan (enligt hans klocka) i sin tur emot Halvans svar? Svara på frågorna genom att rita ett rum-tidsdiagram för Helans och Halvans världslinjer och avläs från det de ungefärliga tidpunkterna. Det går givetvis inte att göra uppgiften lika exakt med rum-tidsdiagram som rent matematiskt, men en vacker och noggrann ritning är allt som krävs för ungefärliga svar. Lösning: Vi ser ur figur 1 hur ljussignalen möter Halvan i hans koordinatsystem då det gått 12 år i Helans koordinatsystem och att ljussignalen som Halvan skickar når Helan då det gått 22 år i hans koordinatsystem.

3 ct 30 ct > linje med konstant x > x ~3, > x Figur 1: De sträckade linjerna är linjerna för fotonerna. Såhär är diagrammet skapat. ct = βx definierar x -axelns plats i diagrammet och ct = 1 β x definerar ct -axelns plats. Alla fotoner är ritade i 45 vinkel till x-axeln, m.h.a. sträckade linjer. Då vi drar en linje parallelll med x -axeln genom punkten där fotonen korsar Halvans ct -axel, får vi reda på att denna sträcka uppmäts av Halvan som 3,7 då han uppmäter den i Helans koordinatsystem som är längdkontraherat i hans system. D.v.s. i Halvans koordinatsystem motsvarar detta längden 3, 7 = 6, 7, 1 då = 1 v2 = /6 2 c 2 1, 81. Detta betyder att vi från diagrammet kan avläsa att det gått 12 år i Helans koordinatsystem då Halvan tar emot hans meddelande, men i Halvans koordinatsystem har det endast gått 6,7 år. Ytterligare ser vi att det gått 22 år i Helans koordinatsystem då han tar emot Halvans svar och att Halvan är tillbaka då det gått 24 å för Helan sedan Halvans avfärd men endast 2 6, 7 = 13, 4 år för Halvan. 4. En fysiker gör följande experiment. Han befinner sig i punkten (ct, x) = ( 200 cm, 0 cm) varifrån han skickar iväg två partikelstrålar, båda med hastigheterna v = 0, 5c. Den

4 ena far åt den positiva x-axelns håll och den andra åker iväg åt den negativa x- axelns håll. Båda partikelstrålarna kommer till likadanna partikeldetektorer samtidigt som befinner sig i punkterna (0, 200 cm) och (0, 200 cm) och vilka, efter en tid ct = 50 cm, skickar tillbaka partikelstrålar med hastigheten v = 0, 75c, vilka når fysikern samtidigt i hans koordinatsystem i punkten x = 0 cm. a.) Rita ett rum-tidsdiagram sett ur fysikerns synvinkel som visar att partikelstrålarna verkligen når detektorer och fysikern samtidigt sett i fysikerns koordinatsystem. b.) En annan fysker som har brottom till lunchen susar förbi experimentet med hastigheten v = 0, 75c. Rita ut axlarna ct och x för henne i ditt rum-tids diagram och avläs punkterna när partiklarna når detektorerna och skickas iväg från dem. M.h.a. dessa kan du rita ett rätvinkligt rum-tids diagram för hela experimentet för ct - och x -axlarna och avläsa därifrån om fysikern på väg till lunch kommer att se partiklarna nå detektorerna samtidigt. Ifall hon inte observerar dessa händelser samtidigt som fysikern som gör experimentet, hur länge går det mellan dessa händelser i hennes koordinatsystem? c.) Beräkna intervallen s 2 = c 2 t 2 x 2 mellan händelserna då detektorerna skickar iväg sina signaler både i experimentatorns och lunchfysikerns koordinatsystem genom att avläsa dem från diagrammet du ritat. är de lika stora? TIPS: Rita en stor figur för att ha tillräckligt med plats för allt! Lösning: a.) Diagrammet finns utritat i figur 2. b.) Från figuren 2 kan vi avläsa var händelserna äger rum i lunchfysikerna koordinatsystem. Vi måste dock komma ihåg att alla längder (vi har ju längd som enhet på varje axel) kontraheras då lunchfysikerna ser experimentet susa förbi med hastigheten 0, 75c. Därför kommer lunchfysikern att avläsa varje längd enligt L = L 0 och hon 1 ser alla värden dividerade med gamma-faktorn som i detta fall är = = / , 51. Detta ger oss koordinaterna ( 455, 345) 1 ( 455, 345) = ( 301, 228) (120, 115) 1 (120, 115) = (79, 76) (235, 25) 1 (235, 25) = (155, 17) (825, 820) 1 (825, 820) = (546, 542) (945, 905) 1 (945, 905) = (625, 599) (1205, 905) 1 (1205, 905) = (797, 599), vilka ger oss följande koordinatsystem och rum-tids diagram 3.

5 ct 1205 ct 945 Skalan är 1 steg = 50 cm 825 x x -455 Figur 2: Vi ser det rum-tidsdiagram som experimentatorn ser. Koordinataxlarna för lunchfysikerns koordinatsystem är också utritade så, att vi kan avläsa punkterna för händelserna i expermentatorns koordinatsystem i lunchfyxikerns koordinatsystem. Kom ihåg att avläsa ct -värden med en linje parallell med x -axeln som korssar händelsen (punkten) i experimentatorns koordinatsystem. Följ sedan denna linje tills den korssar ct -axeln och avläs detta värde från ct-axeln. För att avläsa x värdet, rita en linje parallell med ct -axeln från experimentatorns punkt tills du korssar x -axeln. Avläs detta värde från x-axeln. Kom ihåg att dessa värden kommer att vara längdkontraherade med faktorn 1 i lunchfysikerns koordinatsystem, för att få dina slutliga punkter.

6 (797, -599) ct (625, -599) (546, -542) Skalan är 1 steg = 50 cm (155, 17) (79, 76) x (-301, 228) Figur 3: Vi ser rum-tidsdiagrammet ur lunchfysikerns ögon. Diagrammet är utritat användande de längdkontraherade punkterna. Vi ser klart att partikeln når den ena detektorn före den andra i detta koordinatsystem, vilket vi förstås redan kunde ha lagt märke till i den första figuren. I detta koordinatsystem går det tiden ct = = 467 cm eller 467/c 1, 6ns mellan då den första signalen når sin detektor och den andra når sin. c.) Intervallen kan nu lätt beräknas m.h.a. av våra punkter. Dessa ger s 2 = (ct 1 ct 2 ) 2 (x 1 x 2 ) 2 = (0 0) 2 ( 200 cm 200 cm) 2 = cm 2 s 2 = (ct 1 ct 2) 2 (x 1 x 2) 2 = (625 cm 155 cm) 2 ( 599 cm 17 cm) 2 = cm 2, vilket nog är samma intervall. Orsaken att det kastar lite är att det är svårt att mäta väldigt noggrannt i rum-tids diagram och då vi måste kvadrera kommer vi att också kvadrera felet så, att onogrannheten ser större ut. Det måste givetvis vara samma intervall eftersom intervallet s 2 är invariant under Lorentztransformationerna och vi behžver bara göra en Lorentztransformation från experimentatorns koordinatsystem till lunchfysikerns för att uppmäta hennes intervall s 2.