Kapitel 4. Materievågor

Transkript

1 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor Kapitel 4. Materievågor 1

2 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor Överblick Överblick Kring 1925 började många viktiga kvantkoncept ha sett dagsljuset. I det här kapitlet introduceras de viktigaste av dessa, förrän vi i nästa kapitel på allvar går in på kvantmekaniken och dess formalism. 2

3 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-1. de Broglies postulat 4-1. de Broglies postulat Detta kallas de Broglies relation (1924) och gäller för alla partiklar. 3

4 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-1. de Broglies postulat Vi skriver ännu de Broglies relationer i en form som vi kommer att utnyttja då vi övergår till utnyttjandet av vågrörelse i vår analys av kvantfenomen: = h = h 2 2 = ħ = h = h 2 = ħ 2 Vitoghäribrukvågtalet =2 / samt vinkelfrekvensen =2 för en våg. Plancks konstant skrevs in i ħ = h/2, och utläses h-streck. För icke-relativistiska hastigheter gäller 4

5 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-1. de Broglies postulat eller att elektronens banlängd måste vara en heltalsmultipel av elektronens (de Broglie) våglängd. Inga andra elektronbanor är tillåtna. Detta innebär att om vi kombinerar de Broglies och Bohrs postulat, får vi att Bohrs atommodell beskriver elektronerna som stående vågor. Det var dock klart att detta inte skulle tolkas som klassisk vågrörelse, utan att en helt nyformavvågkrävdes. Två visualiseringar av en vätebana med sju de Broglievåglängder; elektronens fas kan visas som en färg eller som en sinusfunktion. 5

6 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-2. Elektrondiffraktion 4-2. Elektrondiffraktion 6

7 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-2. Elektrondiffraktion 4-2. Elektrondiffraktion I Davisson-Germer-experimentet reflekterades elektroner från en kristall. Fenomenet kan förstås med hjälp av Braggreflexion. Thomsons experiment baserade sig på elektrondiffraktion genom en tunn metallfilm. Ett två-spaltsexperiment såsom i videon på föregående sida gjordes inte med elektroner förrän Vi går här igenom en förenklad modell av Davisson-Germer-experimentet och antar att elektronerna/elektronvågorna reflekteras från endast en grupp av parallella plan. 7

8 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-2. Elektrondiffraktion 8

9 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-3. Våg-partikel-dualitet 4-3. Våg-partikel-dualitet Både ljus och elektroner hade nu bevisats ha såväl våg- som partikelnatur. Denna duala natur slogs fast i komplementaritetsprincipen. Enligt denna princip kan materia och strålning fullständigt förklaras med hjälp av både partikel- och vågbilden tillsammans. Förklaringarna från bägge bilderna kan inte visas vara motstridiga eftersom man inte kan utforma ett experiment som mäter båda aspekterna (våg/partikel) av ett fenomen på en och samma gång. T.ex. om man lägger en elektrisk krets kring vardera spalten i ett två-spaltsexperiment för att mäta (via inducerad ström) vilken spalt elektronen rört sig, kommer vi inte längre att se ett diffraktionsmönster utan elektronerna beter sig igen som partiklar. Slutar vi uppmäta den inducerade strömmen återkommer diffraktionsmönstret. 9

10 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-3. Våg-partikel-dualitet Tvåspaltsdiffraktion. Intensiteten uppmäts m.h.a. en fotocell i punkten P på detektorn. Betrakta diffraktionsexperimentet ovan. Då ljus med våglängd av samma storleksordning som två spalterna insänds, uppkommer ett interferensmönster i detektorn till höger. Motsvarande händer då elektroner med lämpligt kort de Broglie-våglängd används istället för ljus. Ljusets medelintensitet per areaenehet är där avser den inkommande vågens elfältsvektor i punkten P på detektorn. Oavsett om energiflöden i elektromagnetiska fält är bekanta eller ej, ger vi oss inte in på det i den här kursen utan tar detta resultat som givet. Om vi nu istället för vågor tänker oss partiklar som träffar detektorn får vi h där anger intensiteten (antalet fotoner per yta och tid) som når punkten P, och varje foton har energin h. Ovanstående formel kopplar ihop ljusets partikelnatur (vänstra sidan) med dess vågnatur (högra sidan)! 10

11 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-3. Våg-partikel-dualitet Ekvation ovan antyder att sannolikheten att en foton detekteras i punkten P är proportionell mot för det inkommande ljuset. Om man använder elektroner istället för ljus kan vi föreställa oss en analog formel där är elektronernas energi. Vi förväntar alltså att vi kan associera ett fält Ψ med elektronen och att detta fält kommer att uppfylla nån sorts vågekvation. Då minskar har vi inte längre en kontinuerlig distribution av elektroner, utan enskilda utspridda träffar i detektorn. Det här innebär alltså att varje enskild elektron passerar genom båda öppningarna för att diffraktion ska ske! Om vi beskjuter detektorn med endast ett litet antal elektroner, kan vi aldrig veta exakt var de kommer att träffa detektorn. Vi kan däremot förvänta oss att olika punkter på detektorn kommer att ha olika sannolikhet att bli träffade, och att denna sannolikhet kunde beskrivas av Ψ. Diffraktionsmönstret från elektroner byggs upp av enskilda elektroner som passerat genom spalterna. 11

12 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-4. Heisenbergs osäkerhetsprincip 4-4. Determinism, slumpmässighet och Heisenbergs osäkerhetsprincip Enligt klassisk mekanik kan vi alltid exakt bestämma ett objekts position m.h.a. Newtons andra lag =, så länge vi känner samt positionen och hastigheten för objektet vid en viss tidpunkt. En sådan determinism gäller inte i kvantmekaniken, vilket vi redan sett i exemplet med elektrondiffraktion genom två spalter, där vi aldrig med säkerhet kunde säga var enskilda elektroner skulle träffa vår detektor. I del 4-3 relaterade vi sannolikheten för att finna partikeln i en viss punkt med en vågfunktion,. I kvantmekaniken övergår vi från att försöka lösa ut till att försöka lösa ut. Den slumpmässiga observationen av vårt kvantobjekt kommer att beskrivas genom sannolikhetstolkningen av utan att på något vis försöka definiera vilken väg (dvs ( )) objektet tagit för att nå observationspunkten. Makroskopiska objekt kan fortfarande antas vara deterministiska Endast då de Broglie-våglängden närmar sig storlekar där den kunde växelverka med systemet (genom diffraction el.dyl) behöver vi övergå till att betrakta systemet kvantmekaniskt. 12

13 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-4. Heisenbergs osäkerhetsprincip 1925 introducerade Werner Heisenberg en formalism med vilken kvantpartiklars dynamik kan beskrivas. Hans metod byggde på variabler i form av matriser som var matematiskt konstruerade så att de kunde ta i beaktande själva mätningen av variablerna, samt den tillhörande osäkerheten som förknippas med alla mätningar. Denna formalism är dock aningen mer komplicerad, och mindre intuitiv, än vågmekanikbaserade formalismen som vi kommer att använda oss av. Heisenberg fann att vissa variabler är konjugerade (kopplade) och kunde härleda sin kända osäkerhetsprincip, där den mest kända formen är ħ 2 Ekvationen ger en begränsning (osäkerhet) för hur noggrannt vi kan uppmäta en partikels rörelsemängd och läge samtidigt. Samma ekvation kunde också senare härledas från vågmekaniken. Om vi kunde erhålla det exakta resultatet för en partikels rörelsemängd ( =0) skulle osäkerheten i läget bli oändlig ( x= ). 13

14 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-5. Vågor och vågpaket 4-5. Vågor och vågpaket Vi är nu så gott som redo att på allvar börja sätta oss in i kvantmekaniken. Vårt mål i den här sista delen är att introducera nödvändiga begrepp för betraktelsen av partiklar i form av vågor. Speciellt är vi intresserade av begreppet lokalisering, eftersom vi vill beskriva en partikel med en våg som därmed inte får ha oändlig utsträckning Vi börjar med en monokromatisk våg som rör sig i den positiva x-axelns riktning. En lösning till vågekvationen är, = cos 2 = cos Argumentet för kallas för vågens fas och bestämmer vågens beteende som funktion av de oberoende plats- och tidsvariablerna. 14

15 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-5. Vågor och vågpaket Vågfunktionen är i konstant rörelse och dess amplitud bestäms av och. Om vi väljer en viss tid = kan vi studera : Om vi väljer en viss plats x= kan vi studera : File:Simple_harmonic_motion_animation.gif 15

16 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-5. Vågor och vågpaket Vågens fas definierades som =. T.ex. vågtoppens position kan då skrivas =. Hastigheten med vilken vågen rör sig längs med x-axeln kallas fashastigheten och beräknas enligt = = = Förrän vi går vidare ska vi ännu påminna oss om komplexa tal eftersom vi kommer att finna det enklare att utföra beräkningar om vi beskriver vågorna som exponentfunktioner istället för trigonometriska funktioner. = cos + sin cos = = Således kan vi skriva vår vågfunktion som, = cos = Vi noterar ännu att ovanstående formler gäller vågor som rör sig i den positiva x-axelns riktning, och för vågor som rör sig i motsatt riktning måste vi ändra fasvariabeln till. 16

17 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-5. Vågor och vågpaket Vi vill nu försöka konstruera en vågfunktion som kan motsvara en partikel. Ekvationen från förra sidan har ett väldefinierat värde för vågtalet, vilket innebär att vi känner våglängden = 2 utan nånsomhelst osäkerhet ( =0). Detta i sin tur betyder att =, vilket innebär en total brist på lokalisering. Vågen är utspridd över hela x-axeln. Vi kan uppnå en högre nivå av lokalisering genom en superposition av flera vågfunktioner med olika våglängd och frekvens. Vi illustrerar detta genom att kombinera två vågfunktioner enligt = cos cos vilket i exponentform kan skrivas = + = + = 2 cos = 2 cos cos Vår superposition av två vågfunktioner ledde alltså till en produkt av två cosinus-funktioner Summavågen av vår superposition. Den högre frekvensen kommer från den senare faktorn, medan den lägre frekvensen (modulationen) kommer från den första faktorn i ekvationen ovan. Inom akustiken kallas fenomenet svävning då två närliggande toner ger upphov till en lågfrekvent upp- och nedgång av ljudstyrkan. 17

18 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-5. Vågor och vågpaket De två vågorna rör sig båda längs x-axeln, men med olika hastighet. Den mer högfrekventa rör sig med fashastigheten = medan modulationen rör sig med grupphastigheten =. Fashastighet och grupphastighet. I animeringen ( Wave_group.gif) rör sig röda punkten med fashastigheten, medan de gröna punkter rör sig med grupphastigheten. Fashastighet och grupphastighet. I vissa fall kan fas- och grupphastigheterna vara i olika riktningar, såsom i denna animering ( dia/file:wave_opposite-group-phase-velocity.gif). Trots att denna superposition lett till en modulering/variation av den totala vågfunktionens amplitud, är vågen fortfarande utsträckt över hela x-axeln. Om vi ökar på antalet olika vågor med olika och kommer vi att öka på separationen mellan våggrupperna. Men så länge vi adderar ett ändligt antal vågor kommer resultatvågen fortfarande att ha en oändlig utsträckning. Därmed måste vi addera ett oändligt antal vågor för att uppnå vårt mål med en lokaliserad vågfunktion. 18

19 Kvantfysikens grunder, 2017 Kapitel 4. Materievågor 4-5. Vågor och vågpaket Ett vågpaket (se bilden nedan) uppvisar de egenskaper vi önskat: nämligen en lokalisering till en begränsad del av x-axeln samt möjlighet för rörelse längs med x-axeln med grupphastigheten. Exempel på ett vågpaket som representerar en partikel som rör sig åt höger. ( För att konstruera ett vågpaket kan vi bilda en superposition av vågor enligt = Med hjälp av amplitudfunktionen ( ) kan vi bilda vågpaket av olika former. I det här skedet går vi inte längre än så, utan vågfunktionernas form kommer att bestämmas av systemet som studeras. 19