F2: Kvantmekanikens ursprung

Transkript

1 F2: Kvantmekanikens ursprung Koncept som behandlas: Energins kvantisering Svartkroppsstrålning Värmekapacitet Spektroskopi Partikel-våg dualiteten Elektromagnetisk strålning som partiklar Elektroner som vågor

2 I slutet av 1800-talet trodde fysikerna att dom hade fått kläm på hur allt fungerade. Galileo Galilei Isaac Newton James Clerk Maxwell Den klassiska fysiken var färdig utredd.

3 Energins Kvantisering Tre experiment kastade en skugga på den klassiska fysiken och vår förståelse av hur vår omgivning är uppbyggd och fungerar, speciellt på hur energin lagras ett elektromagnetiskt fält, i ett molekylärt system eller I en atom. Dessa experiment var: Ljusprofilen från ett objekt och dess relation till objektets temperatur svartkroppsstålning. Hur energi (värme) lagras en fast substans värmekapacitet hos monoatomära kristaller. Spektroskopin

4 Experiment 1: Svartkroppsstrålning Varför studerar vi det? Astronomerna undrade om man på ett enkelt sätt kunde bestämma temperaturen hos en stjärna från färgen på det ljus som den sänder ut.

5 Exempel från vår omgivning Ju vitare objektet är dess varmare är det.

6 Låt oss designa ett experiment!

7 Experimentella observationer

8 Empiriska samband: Wien's displacement law

9 Dags att konstruera en modell! Vi vill veta hur intensiteten i strålningen beror av våglängden hos ljuset, λ, och temperaturen, T. Vi kallar denna egenskap för tillstånds-densiteten (eng. density of states), som betecknas ρ(λ,t ) den beskriver hur mycket energi som finns vid våglängden λ och temperaturen T.

10 Vad har vi som bär på energin? Jo, stående vågor.

11 Ståendevågor. Gränsvärden :sin(ϕ( x ))=0 sin( ϕ(x =0))=0 och sin (ϕ (x=l))=0 ϕ=n π ger 2 x /λ=n, n=0,1,2,3,...

12 Polarization av ljuset! Ljuset kan oscillera i två oberoende rikningar. Detta ger en faktor av 2 som vi inte får glömma.

13 Hur beräknar vi tillståndsdensiteten? N (λ) E ( λ, T ) ρ(λ,t )= volymen där N ( λ): antal tillstånd E : genomsnittsenergin

14 Antal tillstånd, N, i 1D Totala antalet tillstånd, M, som har en λ kortare än λmax är 2 2 L M= λ N (λ)d λ =M (λ d λ) M ( λ) 4L N (λ)= 2 λ

15 Antal tillstånd, N, i 2D 2 2 π 2 L M (λ)= ( ) λ 4 4πL N (λ)= 3 λ 2

16 Antal tillstånd, N, i 3D π 2 L M (λ)= ( ) 8 3 λ 8π L N (λ)= 4 λ 3

17 Låt oss ta en paus! 8π ρ(λ,t )= 4 E ( λ,t ) λ nu behöver bara finna E (λ, T ): genomsnittsenergin

18 Klassiska Oscillatorn (Pendeln) För små θmax är frekvensen konstant! E T = Ekinetisk + E potential vi räknar lätt ut ET som ET (θ max )=mg L sin (θmax ) Genom att öka θmax ökar ET.

19 Ekvitationsteoremet, klassisk kinetisk teori I ett system med oscillatorer som är i termisk jämvikt är medelkinetiska energin fördelat lika på all oscillatorer. Denna beräknas från Bolzmanns distributionen enligt E / kt P( E)= e kt, där k är Boltzmanns konstant detta ger 0 E P(E)dE E = =kt 0 P ( E) de

20 Rayleigh-Jeans ekvation 8π ρ(λ,t )= 4 kt λ

21 Plancks bidrag Planck sa (1901): Antag att energin inte kan överföras i godtyckligt små steg utan att det måste ske i inkrement av energi kvanta. I klassisk mekanik så ökade vi bara amplituden på all oscillatorer när vi tillförde mera energi. Enligt den nya modellen måste vi göra detta i steg av energi kvanta. nhc E=nh ν= λ

22 Låt oss använda Planks antagande och räkna ut medelenergin för oscillatorer med vågländen λ, där vi summerar över att 0, 1, 2, 3... sådana oscillatorer finns samtidigt. nhc λ kt e P( E)= kt detta ger n =0 E P( E)dE hc E = = hc/ λ kt n=0 P (E) de λ (e 1)

23 Plancks distribution 8 π hc ρ(λ,t )= 5 hc / λ kt λ (e 1) Observera hur distribution går mot noll både för korta och långa våglängder! Den totala energin är nu begränsad. Teori och experiment stämmer överens. Det elektromagnetiska fältet är kvantiserat.

24 Experiment 2: Värmekapacitet Varför studerar vi det I början av 1800-talet studerade P.-L. Dulong och A.-T. Petit värmekapaciteten hos monoatomära kristaller för att förstå deras inre struktur. Man antog att atomerna sitter i ett jämviktsläge och oscillerar som klassiska oscillatorer. Detta ger en inre molär energi på U m =3 N A kt =3 RT, enligt ekvipartitionsteoremet och Um C V,m =( ) =3 R T V

25 Dulong-Petits ekvation Lagen säger att värmekapaciteten är den samma för alla atomer den endast är en funktion av antalet atomer. Genom att mäta värmekapaciteten och massan för en fix volym av en mono-atomär kristall kan man bestämma atomvikten för atomerna. Allt var frid och fröjd tills kyltekniken utvecklades och det visade sig att värmekapaciteten inte var konstant utan går mot 0 när T går mot 0 K.

26 Einsteins bidrag Inspirerad av Planks arbete med svartkroppsstrålning Einstein föreslog 1905 att atomvibrationerna var kvantiserade med en frekvens 2 θ / 2T ν. θ e E C v,m (T )=3 R( ) ( θ / T ) T e 1 E E där θ E =h ν /k

27 Einsteins formel

28 Debyes förbättring Anta att där finns ett antal oscillatorer med frekvenser från 0 upp till ett max värde, νd. 3 T CV,m =9 R ( ) θd θ D /T 0 4 x x e dx x 2 (e 1) Atomvibrationer är kvantiserade.

29 Experiment 3: Spektroskopi Indirekta bevis för att väteatomens tillstånd är kvantiserade.

30 Spektroskopi

31 Våg-partikel dualiteten Vi har nu etablerat att elektromagnetisk strålning och oscillerade atomer är kvantiserade. Vi skall nu studera experimentella bevis som bryter ner vår uppfattning om att elektromagnetisk strålning är vågor och att elektroner är partiklar.

32 Fotoelektriska Effekten Genom att belysa en metallyta med ljus försöker vi visa att ljus uppträdder som partiklar, fotoner, med en energi motsvarande, E=hν.

33 FEE, Obervationer Inga elektroner skjuts ut förrän frekvensen hos ljuset är över ett visst gränsvärde, att öka intensiteten för ljuset hjälper inte. Den kinetiska energin hos enskilda utskjutna elektroner ökar linjärt med frekvensen, intensiteten spelar ingen roll. Elektroner skjuts ut även vid låga intensiteter om frekvensen är över gränsvärdet. Gränsvärdet beror på materialet vi skjuter på.

34 Fotoelektriska Effekten

35 Fotoelektriska Effekten Resultaten indikerar att ljuset måste innehålla tillräckligt med energi för att bryta loss elektronen från materialet, arbetsfunktionen, Φ. (jonisationspotential). Resterande energi omvandlas till kinetisk energi enligt, 1 2 E k = m e v =h ν Φ 2

36 Bevis för fotonens excistens Fotoejektion sker endast om strålningen har en frekvens större än gränsvärdet strålningen är i form a fotoner med en bestämd energi Elektronens kinetiska energi öka med frekvensen i en klassik bild ökar den med intensiteten. När strålningen kolliderar med elektronen försvinner den - fotonen levererar hela sin energi och försvinner, i en klassik modell minskar intensiteten. Ljus, vågor, beter sig som partiklar med en fix energi.

37 Elektrondiffraktion Davisson-Germer experimentet (1925) En nickel yta besköts med en elektronstråle vid olika infallsvinklar, θ, och intensiteten hos den reflekterade stålen undersöktes. Davisson och Germer

38 Elektrondiffraktion Davisson-Germer experimentet (1925) En nickel yta besköts med en elektronstråle vid olika infallsvinklar, θ. Om elektronerna är partiklar så är intensiteten på de utgående elektronerna konstant för all θ! Observerad strålnings intensitet som funktion av θ.

39 Elektrondiffraktion Men vad händer om vi istället antar att elektronen är en våg? de Broglie föreslog 1924 att partiklar som rör sig med ett rörelsemoment p=mv är associerad med en våg med våglängden h h λ= = p mv

40 Elektrondiffraktion Destruktiv interferens Konstruktiv interferens

41 När ser vi det? h h λ= = p mv Partiklar med högt rörelsemoment har kort våglängd. Stora, tunga, objekt har kort våglängd. Kort våglängder gör det svårt att upptäcka några interferensmönster. C60 har i experiment uppvisat interferens. Elektroner och molekyler beter sig som vågor!

42 Sammafattning Vi har sett tre experiment som visar att elektromagnetisk strålning, molekyläravibrationer, och atomära tillstånd är kvantiserade. Vi har sett två experiment som visar: att elektromagnetisk strålning kan bete sig som partiklar och att elektroner och molekyler beter sig som vågor. Vi kallar detta våg-partikel dualiteten. Dessa obervationer kräver att vi överger den klassiska mekaniken, om vi vill beskriva elektroner, atomer och molekyler.