Torsdag 30 oktober. Brownsk rörelse, svartkroppsstrålning (Arne, Janusz)

Transkript

1 Torsdag 30 oktober Brownsk rörelse, svartkroppsstrålning (Arne, Janusz) De kommande föreläsningarna kommer att ägnas åt det vi till vardags kallar "modern fysik", dvs. de nya principer man blev nödgad att införa för att kunna beskriva fenomen som inte lät sig förklaras med de modeller som fanns tillgängliga kring förra sekelskiftet. En av centralfigurerna i denna förnyelseprocess var som bekant Albert Einstein. År 1902 tog Einstein anställning på patentkontoret i Bern. Instruktionerna från kontorets chef var att "utgå från att allt som patentsökaren hade skrivit var fel." Genom att blint följa patentsökarens argument kunde man inte göra en okritisk bedömning av ansökan. Denna attityd passade unge Einstein sällsynt väl. Han tillämpade den inte bara på sitt patentuppdrag, utan även på mer etablerade "sanningar". Under sin period som tjänsteman vid patentverket ( ) ägnade han mycket tid åt sådana frågor, och som krona på verket publicerade han år 1905 tre berömda arbeten. Det första ägnades åt Max Plancks hypotes om elektromagnetiska strålningens kvantiserade natur, och innehöll bl.a. en förklaring av fotoelektriska effekten. I det andra introducerade han det som vi nu kallar speciella relativitetsteorin. I den nya teorin omtolkades de klassiska principerna om relativ rörelse. En av de grundläggande komponenterna ljushastighetens konstanta värde oberoende av referenssystem, vilket vi berörde vid en tidigare föreläsning när vi diskuterade Michelsons interferometer. Senare samma år visade han också att massan är en energiform (E=mc 2 ). Den speciella relativitetsteorin kommer att behandlas vid nästa föreläsning. Det tredje arbetet som publicerades detta år ägnades åt statistisk mekanik, ett område som tidigare studerats av bl.a. Ludwig Boltzmann. I detta arbete diskuterade Einstein den slumpvisa rörelse som kan observeras hos partiklar suspenderade i vätska. Fenomenet hade upptäckts långt tidigare (1828) av Robert Brown, när denne studerade olika växtpollen suspenderade i vatten. Brown, som var botanist, fann detta fenomen för en rad olika organiska ämnen, och misstänkte till en början att han sett "primitiva levande molekyler". Men när han senare även såg effekten i icke-organiska suspensioner, blev slutsatsen att all materia var uppbyggd av "primitiva molekyler". Efter Browns upptäckt studerades "Brownsk rörelse" av många, och olika förklaringar föreslogs (elektriska krafter, lokala temperaturvariationer, växelverkan med ljus). Först 1877 presenterade Delsaux den nu accepterade förklaringen, nämligen att de suspenderade partiklarnas oregelbundna rörelse orsakas av kollisioner med snabba vätskemolekyler. Något decennium senare genomförde Guoy systematiska studier, där han bl.a. fann att rörelsen beror på vätskans viskositet och temperatur. Einstein tog sig an problemet genom att tillämpa en kinetisk teori för vätskemolekyler, liknande den kinetiska gasteorin som vi diskuterade i samband med temperatur-begreppet. En uppenbar komplikation vid beskrivning av partiklar som rör sig i vätskor är att man i princip måste behandla växelverkan mellan väldigt många partiklar samtidigt. Einstein visade först att de suspenderade partiklarna bör ha samma diffusionsegenskaper som vätskemolekylerna, trots att partiklarna är så stora att de kan urskiljas i mikroskop (diffusion är en lokalt slumpartad process som leder till utjämning av koncentrationsskillnader i gaser och vätskor). Han kunde sedan härleda ett enkelt samband mellan partiklarnas genomsnittliga förflyttning i en viss riktning x (λ x ) under en viss tid (t) och diffusionskonstanten i vätskan (D):

2 Enligt termodynamiken ges diffusionskonstanten (som anger antal partiklar som passerar en enhetsyta per sekund under en rådande koncentrationsgradient på en enhet) av sambandet där R = gaskonstanten, T = temperaturen, N = Avogadros tal, η = vätskans viskositet och r = partikelns radie. Ur dessa ekvationer kan man eliminera D, och får då ett samband mellan partikelns radie och Avogadros tal: Om man alltså mäter radien r och förflyttningen λ x, kan man med hjälp av detta uttryck bestämma värdet på Avogadros tal. Och omvänt kan man bestämma partikelns radie, om värdet på Avogadros tal är känt. Einstein avslutar detta första arbete om Brownsk rörelse med att uttrycka förhoppning om att någon snart skall göra sådana experiment. Han behövde inte vänta länge. De teoretiska uttrycken bekräftades experimentellt inom ett par år, och flera Nobelpris delades ut, såväl kemi som i fysik för studier av kolloidala suspensioner baserade på detta och några efterföljande arbeten (Richard Adolf Zsigmondy (kemi 1925), Jean Baptiste Perrin (fysik 1926) och The Svedberg, (kemi 1926)). Einstein fick, som bekant, sitt nobelpris 1921 för insatser inom teoretisk fysik, och speciellt för förklaringen av den fotoelektriska effekten. Vi skall återkomma till fotoelektriska effekten vid ett senare tillfälle, och ägnar resten av denna föreläsning åt det arbete som lade grunden för beskrivningen av elektromagnetisk strålning i termer av energikvanta. Vi skall diskutera värmestrålning, eller svartkroppsstrtålning som detta fenomen oftast benämns. Alla kroppar som har en temperatur strålar ut värmestrålning. Värmestrålningen är elektromagnetisk strålning, vars fördelning på olika frekvenser beror på temperaturen hos kroppen. Ju varmare en kropp är, desto högre är den genomsnittliga frekvensen hos strålningen. Detta kan man se t.ex. när en bit metall hettas upp: när den börjar glöda (synligt, dessförinnan ligger strålningen i det infraröda området) lyser den rött. Höjs temperaturen blir den vitare, dvs. lyser med högre frekvenser. Solen, vars yttemperatur är c:a 6000 K, lyser med vitt ljus, den har sitt frekvensmaximum i det synliga området, så att ungefär lika mycket rött, grönt och blått (dvs. vitt) ljus når våra ögon. Experiment visar att frekvensen för vilken utstrålningen är maximal är direkt proportionell mot temperaturen. Frågan är nu om vi kan förutsäga detta beteende med den information vi har. För att undersöka det skall vi idealisera situationen litet, och specificera vad vi sysslar med. Vi skall

3 behandla s.k. "svarta kroppar". En svart kropp är helt enkelt en kropp som inte reflekterar någon inkommande strålning alls. Att den kallas "svart" betyder inte att den ser svart ut. Ett väldigt bra exempel på en svartkropp är solen, som strålar ut värmestrålning. Vi är alltså ute efter egenskapen att all den utstrålade energin skall vara i form av värmestrålning, termisk strålning. Om man själv skulle vilja bygga en svartkropp, skulle man kunna gå tillväga såhär: man ordnar ett hålrum med en liten öppning, ser till att väggarna på insidan är mycket ojämna, och täcker dom dessutom med något som absorberar strålning. Om man då tänker sig att ljus faller in genom hålet (som vi ser som den svarta kroppens"yta"), så behöver det studsa många gånger mot de högabsorberande väggarna innan det råkar träffa hålet igen, och så gott som all infallande strålning absorberas. Det är en sådan svart kropp vi skall tänka oss. Då kommer hålrummet att vara fyllt av elektromagnetisk strålning med temperaturen T, samma som väggarnas temperatur (vi tänker hela tiden att systemet är i termisk jämvikt, dvs lika mycket strålning absorberas och emitteras hela tiden). De storheter vi frågar efter är: energitätheten ρ (ν,t) per volymsenhet och per frekvensintervall (vi vill gärna veta hur den elektromagnetiska strålningen fördelar sig på olika frekvenser), och den utstrålade effekten p(ν,t) per areaenhet (av kroppens "yta", dvs. öppningen) och frekvensintervall. Eftersom strålningen går med ljushastigheten c, kommer p(ν,t) att vara proportionell mot cρ(ν,t), så det räcker att betrakta en av dom. Vi kan kolla dimensionerna, som vi anger i termer av SI-enheter: ρ(ν,t) : Jm -3 s p(ν,t): Jm -2 (som bekräftar relationen mellan p(ν,t) och ρ(ν,t)). Hur skall vi ta reda på hur stor den utstrålade effekten är? Vi kan göra det med hjälp av dimensionsanalys (så när som på en dimensionslös faktor, förstås). Först måste vi tänka efter vilka storheter och konstanter som kan tänkas ingå i svaret. Frekvensen n och temperaturen T är de storheter som p förutsätts bero av, så de får ingå. Dessutom är detta termodynamik, så Boltzmanns konstant k finns tillgänglig, och elektromagnetism, vilket betyder att ljushastigheten c kan ingå i svaret. De storheter och konstanter vi har att röra oss med, och deras respektive dimensioner är alltså: k: JK -1 T: K ν: s -1 c: ms -1 Man ser snabbt att det finns ett enda sätt att bilda något som har samma dimension som p(ν,t) skall ha, nämligen p(ν,t) = konst.. kt ν 2 /c 2

4 ******* Ruta för den intresserade ******* Man kan också få fram detta resultat (inkl. värdet på konstanten) genom att tillämpa enkel termodynamik och vågfysik. Enligt termodynamiken är medelenergin per frihetsgrad kt/2. Hela medelenergin får vi genom att multiplicera detta med antalet frihetsgrader. Eftersom vågor med olika frekvenser är oberoende av varandra, representerar varje möjlig frekvens en frihetsgrad. De möjliga frekvenserna får vi genom att betrakta svartkroppshåligheten som en tredimensionell "låda", i vilken man har stående vågor. Om vi betraktar en låda vars dimensioner är avsevärt större än strålningens våglängd, behöver vi inte bekymra oss speciellt om de detaljerare randvillkoren, utan konstaterar att de tillåtna våglängderna motsvarar stående vågor (jfr stående vågor i mikrovågsugnen). Om lådan har dimensionerna L x,l y,l z, blir de möjliga våglängderna i x, y resp. z-led λ x = 2L x /N x, λ y = 2L y /N y, λ z = 2L z /N z, där N x, N y, N z är heltal. Med användning av sambandet λν = c får vi de tillåtna frekvenserna ν Nx = N x c/2l x, ν Ny = N y c/2l y, ν Nz = N z c/2l z, I ett tredimensionellt "frekvensrum" kan dessa frekvenser representeras av vektorer (N x,n y,n z ). Eftersom ett sådant "tillstånd" tar upp frekvensvolymen ν x ν y ν z = c 3 /8V där V är hela volymen (L x. L y. L z ), är antalet tillstånd inom frekvensintervallet (ν,ν+dν): (faktorn 2 därför att fotonen har två frihetsgrader (polarisationstillstånd), och 1/8 därför att vi bara räknar med positiva frekvenser). Per volyms- och frekvensintervall får vi alltså: Med (1/2)kT medelenergi per frihetsgrad är alltså i god överensstämmelse med resultatet som erhölls med dimensionsanalys.

5 Då vet vi vad klassisk elektrodynamik och termodynamik tillsammans förutsäger för den utstrålade effekten. Skall vi ha den totala effekten P(T) per areaenhet, får vi summera (integrera, alltså) över alla frekvenser, och vi får: Det här svaret är nonsensartat - det säger att den utstrålade effekten per areaenhet från en svart kropp är oändlig. Det stämmer ju inte alls med verkligheten. Likafullt innehåller resultatet en viktig bit information, nämligen att den fysik vi har använt inte är kapabel att beskriva värmestrålning. Detta kallas "ultraviolettkatastrofen", just för att allting går snett för höga frekvenser, det är där integralen divergerar. Från experiment vet man (och visste man c:a 1900, när detta problem uppmärksammades) att den utstrålade effekten är proportionell mot T 4, den s.k. Stefan-Boltzmanns strålningslag. För att bli mer exakt vad gäller den "nya fysiken" som behövs, kan vi återigen resonera m.h.a. dimensionsanalys. Det första vi märker är att om vi försöker konstruera P(T) från de tillgängliga storheterna och konstanterna (k,t,c) så går inte detta alls. Det behövs någon ny naturkonstant. Vad kan den tänkas ha för dimension? Vi rör oss endast med energi, sträcka och tid, så det måste vara en kombination av dessa för att hjälpa till. Låt oss kalla den nya konstanten för h, och sätta dess dimension till J A m B s C. Genom att ta en lämplig potens av en sådan konstant, och dessutom multiplicera den med en lämplig potens av c kan vi alltid reducera till en konstant med dimension Js C. Sedan kan vi konstruera P(T) som proportionell mot (kt) α h β c γ. Konstanterna α, β och γ bestäms då till α =1+3/C, β =-3/C och γ =-2. Det hela fungerar dimensionsmässigt, och vi ser också att om Stefan-Boltzmanns strålningslag skall gälla måste man ha C=1. Den nya naturkonstanten skall ha dimensionen Js. Med de tillgängliga storheterna och konstanterna kan vi nu bilda en dimensionsmässigt gångbar kombination motsvarande p(ν,t): Max Planck var den fysiker som löste problemet med ultraviolettkatastrofen och som lyckades förklara den spektrala utstrålningen (första figuren ovan) utifrån en ny mikroskopisk princip. Hans tillvägagångssätt var att han undersökte de experimentella data för den spektrala utstrålningen, och lyckades anpassa dem väl till en funktion Det var i detta skede han var tvungen att införa konstanten h, med dimension Js. Utan denna finns det ingen dimensionsmässig möjlighet att bilda en funktion med ett maximum för en frekvens som är proportionell mot temperaturen. Konstanten kallas Plancks konstant och har värdet c:a Js. Ofta använder man istället för h konstanten =h/2π. Den är mer naturlig när man använder vinkelfrekvens, eftersom hν = ω.

6 Så långt var det inte mycket fysik, utan bara kurvanpassning. Vad kan det vara för slags mekanism som gör att det klassiska resultatet stämmer bra för små frekvenser (för << kt/h blir exponenten i nämnaren e hν /kt - 1 hν/kt), men modifieras drastiskt för stora frekvenser (återigen i jämförelse med kt/h). Planck gjorde följande antagande: Det elektromagnetiska fältet består av odelbara kvanta, som för frekvensen ν har energin hν. Strikt talat sade Planck bara att det elektromagnetiska fältet kunde ta upp och avge energi i form av sådana kvanta, det var bl.a. Einstein, som i sin förklaring av den fotoelektriska effekten betonade bilden av fältet som bestående av kvanta. I mer modernt språkbruk kallas dessa kvanta fotoner, de partiklar som överför den elektromagnetiska kraften. (Benämningen "foton" myntades långt senare (1926) av G.N. Lewis.) Det betyder att om en svart kropp skall avge energi i form av elektromagnetisk strålning med frekvensen n, så kan det inte ske i hur små steg som helst, utan bara stegvis i enheter av hν. Här ser man en första, intuitiv förklaring till att Plancks antagande om kvantisering av det elektromagnetiska fältet skulle kunna förklara hur en svart kropp strålar - för små frekvenser är energisteget hν mycket mindre än kt, den tillgängliga medelenergin per frihetsgrad. Då spelar det inte så stor roll att energin är kvantiserad. För stora frekvenser, däremot, där energisteget h är jämförbart med, eller större än kt, blir det mer osannolikt att så mycket energi råkar samlas på en frihetsgrad. Vi kan göra en analogi med pengar: svenska pengar är, som bekant kvantiserade i 50-öringar. 50 öre är ett odelbart kvantum pengar. En frihetsgrad svarar mot en person, och dess energi mot hur mycket pengar den personen har. Temperaturen, medelenergin per frihetsgrad, svarar mot hur mycket pengar folk i medeltal har på fickan. Om temperaturen är t.ex kr, så är den mycket större än ett kvantum. Om man tittar på hur mycket pengar folk har, så är kvantiseringen i 50-öresenheter oväsentlig. Om temperaturen däremot är låg, säg 10 öre, så kommer de flesta inte att några pengar alls, en del kommer att ha 50 öre, mycket få har 1 krona och ännu färre mer än så. Kvantiseringen blir viktig, och situationen skiljer sig drastiskt från hur det hade sett ut utan kvantisering, med kontinuerliga pengar. Vi kan säga mer precist hur många som har olika mängd pengar: sannolikheten ges av Boltzmannfaktorn exp(-e/kt). Hur stor är sannolikheten pn att det finns n stycken fotoner för en given frekvens? Sannolikheten ges av Boltzmannfaktorn, p n är proportionell mot e -nhν/kt. För att den totala sannolikheten skall vara 1, måste man dividera med 1-e -nhν/kt. Vet man sannolikheten p n, kan man också räkna ut medelenergin. Den fås genom att summera över alla energierna E n =nhν viktade med deras sannolikheter: nhν 1 h E En pn nh e kt ν = = ν = hν / kt hν / kt n= 0 1 e n= 0 e 1 Det här skiljer sig drastiskt från kt, som vi har sett tidigare som medelenergi. Märk dock att det klassiska resultatet återfås för små hν/kt (serieutveckla nämnaren på samma sätt som ovan). Om man multiplicerar detta med antalet frihetsgrader per frekvensenhet och volymsenhet, som var proportionellt mot ν 2 /c 3, så har vi härlett Plancks uttryck för energitätheten per frekvensintervall! Elektromagnetisk strålning, ljus, har alltså en dubbelnatur, å ena sidan är det en vågrörelse, å andra sidan består det an partiklar, fotoner. Bilden som tidigare hade rått, med vågrörelse å

7 ena sidan och materia (partiklar) å den andra, vänds upp&ner. Hur är det då med materia, som man har varit van att betrakta som partiklar, eller möjligen utsträckta kroppar? Har de på samma sätt också en vågnatur? Vi återkommer till denna fråga vid en senare föreläsning.