Föreläsning 1: Introduktion, Mikro och makrotillstånd, Multiplicitet, Entropi

Transkript

1 Version: 16 maj 201. TFYA12, Rickard Armiento, Föreläsning 1 Föreläsning 1: Introduktion, Mikro och makrotillstånd, Multiplicitet, Entropi April 2, 201, KoK kap. 1-2 Formalia Föreläsare och kursansvarig: Rickard Armiento, ricar@ifm.liu.se, , fysikhuset G07. Övningsassistenter: Daniel Edström (grupp A), Hanna Kindlund (grupp B och C). Kursbok: Kitell och Kroemer (KoK) Thermal Physics (second edition). Kap 1-10 Övningsuppgifter och läsråd: Läs- och räkneråd för kursen termodynamik och statistisk mekanik av Peter Münger (LoR). 16 föreläsningar (se kurshemsida för översikt), 10 övningar, en för varje kap i KoK. Dessa föreläsningsanteckningar täcker det jag säger på föreläsningarna allt i kusen. Man måste fortfarande läsa boken. Facebook: Termo och Statmek, liu tfya12 (sök tfya12 på facebook och gilla för att få kursinfo via facebook.) Intro Ekvationen S = k Log W (i den här kursen: σ = lng) representerar en av de stora insikterna i fysik som letat sig in i det allmänna medvetandet. Icke-precis allmän bild: Världen går mot oordning. Vad betyder det mer precist? Vad är det för fysikalisk lag som gör att det blir så? Vilka konsekvenser får det? Termodynamik: väldigt generell teori som ger samband mellan sådant som tryck, volym, temperatur, energi, värme. Utvecklades främst för att förstå ångmaskiner. Frågor Vad är värme, temperatur, entropi egentligen? Varför hamnar inte all luft på ena sidan i föreläsningssalen? Varför blir (kallt objekt) + (varmt objekt) = två ljumna objekt? Varför kan man inte bygga en maskin som bara direkt tar värmeenergi ifrån luften och omvandlar till el? (Värmepumpar finns, men kräver temperaturskillnader) Statistisk mekanik: modeller av enskilda delsystem/partiklar + statistik fysik, termodynamik. Vanligt att böcker följer historisk utveckling: först termodynamik baserat på postulerade och experimentella samband, sedan förklaras dessa med statistisk mekanik. KoK kör nedifrån och upp, börja helt på den mikroskopiska nivån och härled termodynamiken. Mål: Utifrån modeller av atomer/partiklar i ett system och deras växelverkan + statistik härled den fysik vi observerar. Mikro vs. Makro Det lilla och det stora? Makrotillstånd: en hög med lego Mikrotillstånd: alla möjliga sätt vi kan placera legobitarna på. Några sätt att placera legobitar är ordnade, men de flesta är o-ordnade. Antal 1

2 mikrotillstånd = multiplicitet, g. Exempel på mikroskopiska kvantiteter: hastighet, position för alla luftmolekyler i en låda. Exempel på makroskopiska kvantiteter: Temperatur, Tryck, Volym. Vi är jättar som inte ser skillnad på olika mikrotillstånd som svarar mot ett och samma makrotillstånd. Vatten 18 g/mol. En person väger ca 75 kg 4170 mol. Avogrados konstant:n A mol vattenmolekyler. Du består av ca vattenmolekyler. Makrotillstånd, Termodynamiskt tillstånd Mikrotillstånd U, V, N Endast vissa mikrotillstånd är tillgängliga (eng. available microstates ), på grund av fysikaliska begränsningar, t.ex. i en låda som håller partikelantaletn och volymenv konstant. Tillgängliga Otillgängliga Tillgängliga Otillgängliga Vad består mikrotillstånd av? Kvantmekanik ändligt antal mikrotillstånd. Kvantmekanik, Multiplicitet i Delsystem Vågfunktionen Ψ(x). Sannolikhet att hitta partikeln mellan x och x+dx: Ψ(x) 2. Oberoende/ensam partikel i låda Lös tidsoberoende Schrödingerekvationen i oändlig kvantbrunn. Man hittar en uppsättning lösningar; vågfunktioner och energier. Tidsoberoende Schrödingerekvationen i 1D: Randvillkor: h2 dψ(x) 2m dx 2 = EΨ(x) Ψ(x = 0) = 0, Ψ(x = L) = 0 ǫ = h2 ( π ) 2n 2, n = 1,2,,... 2m L 2

3 D: ǫ = h2 ( π ) 2(n 2 2m L x +n 2 y +n 2 z) n x = 1,2,,..., n y = 1,2,,..., n z = 1,2,,... En diskret mängd, men massor av, olika lösningar. Energier och vågfunktioner indexerade i n x,n y,n z. ε/ε (111) (12),(12),... (222) (11),(11),(11) (221),(212),(122) (211),(121),(112) g Slutsatser (som är ganska typiska): Antalet tillstånd är ändligt (men ev. väldigt stort). Multipliciteteng ökar snabbt med energin. Väteatomen Kan partiklar själva ha individuella energitillstånd? Ja, t.ex. elektronexcitationer. (Fleratomiga molekyler har också bl.a. rotations- och vibrationstillstånd, vilket vi kommer prata om längre fram.) Lös tidsoberoende Schrödingerekvationen + randvillkor för en elektron i en Coulombpotential en uppsättning orbitaler:ϕ n,l,ml,m s ( r) (egenfunktioner) och energier: ǫ n,l,ml,m s = 1.61/n 2 ev Huvudkvanttal:n = 1,2,,... Rörelsemängdsmoment-kvanttal:l = 0,1,...,(n 1) Magnetiskt rörelsemängdsmoment-kvanttal:m l = 0,±1,±2,...±l Spinn:m s = ±1/2 Multiplicitet:g(n) = 2 n 2 Multiplicitet när man kombinerar delsystem Klassrum (100 platser) med studenter. Minsta energi = 100 x Tröttaste student. Nästa energi = 99 x Tröttaste, 1 x Näst tröttaste = 100 mikrotillstånd. Nästa energi = 98 x Tröttaste + 2 x Näst tröttaste =(100 99)/2 = 4950 mikrotillstånd. Växer väldigt, väldigt snabbt. Slutsatser: typiskt för normala makroskopiska system: högre energi innebär oftast mycket, mycket, mycket fler tillgängliga mikrotillstånd. Exemplet tar 100 studenter. Approximerar en person som en låda fylld med vattenmolekyler. Hur växer tillstånden med energin? Sannolikheter för mikro och makrotillstånd: det grundläggande antagandet Påven har tappat sina nycklar någonstans i St:Peterskyrkan. Var är det troligast att hitta dem, I garderoben eller i stora kyrkosalen? Finns en fysikalisk lag som säger att man oftare hittar nycklar i stora rum? Alla makrotillstånd motsvaras inte av lika många mikrotillstånd, ofta enorm skillnad större chans att hitta ett system i ett makrotillstånd som motsvaras av många mikrotillstånd. Men, detta kräver: Det grundläggande antagandet i statistisk mekanik (eng. fundamental assumption ): för ett isolerat system i ett (makroskopiskt) jämviktstillstånd är alla tillgängliga mikrotillstånd lika sannolika. Viktigt: isolerat = totala energin är konstant.

4 Tror vi på detta? Det blir rätt om vi räknar så. Ett systems förändring med tiden: tänk Roomba (dammsugarrobot) i St:Peterskyrkan. Var hittar vi den varje gång vi tittar efter? En låda med molekyler: vad är sannolikheten för att alla luftmolekyler är samlade i ett hörn? Jämfört med sannolikheten att de är utspridda? (Isolerade system, icke-växelvärkande partiklar) A B Grundläggande antagandet: alla mikrotillstånd lika sannolika: P A = P B Men av alla tillstånd, Hur många ser ut som A? Som B? P utspridd >> P på vänstra sidan Exakt denna hand: 2,598,960 : 1 Ett par 1.6 : 1 Exakt denna hand: 2,598,960:1 Royal straight flush 649,79 : 1 Entropi Definera (enligt KoK): Entropi:σ := lng (Konventionell entropi:s := k B σ = k B lng.) Två separata kroppar med mikrotillstånd: System A:g A System B:g B Totalt antal tillstånd:g AB = g A g B Total entropi: σ AB = ln(g A g B ) = ln(g A ) + ln(g B ) = σ A + σ B. Entropi är ett additivt mått (mer precist extensivt, mer om det längre fram) för antal tillgängliga tillstånd hos två separata kroppar! Vi är vanare att tänka på additiva mått (vatten ifrån två identiska burkar = dubbelt så mycket vatten, intev 2 så mycket vatten). Statistisk mekanik bygger på att ett system i jämvikt teoretiskt sett skulle kunna hittas i något av alla dess tillgängliga mikrotillstånd. Men det är troligast att vi hittar det i ett makrotillstånd som 4

5 motsvaras av flest tillgängliga mikrotillstånd. (Jmfr. varje gång vi tittar på vår Roomba så är det troligast att vi hittar den i den stora hallen i St:peterskyrkan.) Logaritmfunktionen är monotont växande, så maximum avσ tot är samma sak som maximum av g tot. Jämvikt motsvarar ett tillgängligt makrotillstånd med maximal entropi. Karta över resten av kursen: Statistisk mekanik: Grunder, fokus på värmeenergi-utbyte (Föreläsning 2, 4, 5). System som utbyter partiklar (Föreläsning 9, 10, 11). System där partiklarnas kvantmekaniska beteende spelar roll (Föreläsning 11) System med fasövergångar (Föreläsning 15) Termodynamik: Koppling ifrån statistisk mekanik (Föreläsning, 5) Olika typer av termodynamiska processer (Föreläsning 1, 14) Tillämpningar: Klassisk ideal gas (Föreläsnig 6), med inre frihetsgrader (Föreläsning 12) Fotongas (Föreläsning 7, 8) Värmemaskiner (element, värmepumpar, mm.) (Föreläsning 1, 14) Elektroner i metaller, frielektronmodell (Föreläsning 1, 14) Kemiska reaktioner (Föreläsning 15) Evighetsmaskiner (Föreläsning 16) Övningsuppgifter som passar denna föreläsning LoR 1.4, 1.5 Några andra exempeluppgifter (för självstudier eller om vi har tid) Adsorption på yta: En yta har M möjliga platser där argonatomer kan adsorberas. Det sitter argonatomer på N < M av dessa platser. Argonatomerna påverkar inte varandra alls, men varje adsorberad argon-atom binder till ytan med energin ǫ. Energin för systemet kan alltså skrivas:u = Nǫ. Vad är multipliciteten för ett system med fixtn? a b c Två särskiljbara icke-växelverkande partiklar: Ett system innehåller två icke-växelverkande partiklar. Lösningen till den tidsoberoende Schrödingerekvationen för båda partiklarna separat ger att de har exakt två tillstånd med energier ǫ 1 och ǫ 2 vardera. Om de två partiklarna är särskiljbara, hur många mikrotillstånd finns det, och vilka energier har de? Polymermodell: En enkel modell av en polymer på en yta är att den ligger på ett kvadratiskt gitter. Vid varje gitterpunkt kan den antingen gå rakt, eller vika av 90 grader åt ena eller andra hållet. Varje gång den gör en 90-graders böj så kostar det en energiǫ, totala energin för blir alltså antalet böjar gångerǫ. Ignorera den ev. effekten av att polymeren överlappar sig själv. Polymeren består av N st möjliga börjar (N + 1 segment). 5

6 Hur många mikrotillstånd har totalenergiu? Uttryck svaret in,u och ǫ. Svar, adsorption på yta: g = M! N!(M N)! Svar, två särskiljbara icke-växelverkande partiklar Tillstånd Partikel 1 ǫ 1 ǫ 1 ǫ 2 ǫ 2 Partikel 2 ǫ 1 ǫ 2 ǫ 1 ǫ 2 Total energi för mikrotillståndet 2ǫ 1 ǫ 1 +ǫ 2 ǫ 1 +ǫ 2 2ǫ 2 Svar: polymermodell: Om vi vet energin, så vet vi också antalet böjar m = U/ǫ. Välj m böjar ifrån N möjliga. Varje böj har dessutom två möjligheter. g = N! N! m!(n m)! 2m = (U/ǫ)!(N (U/ǫ))! 2U/ǫ 6