Kvantmekanik. Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen (och i den makroskopiska!) Kvantmekanik.

Transkript

1 Kap. 7. Kvantmekanik: introduktion 7A.1- I begynnelsen Kvantmekanik Kvantmekaniken: De naturlagar som styr förlopp i den mikroskopiska världen och i den makroskopiska! Kvantmekanik Klassisk fysik Specialfall! Speciellt: Väelverkan mellan elektroner och atomkärnor = Kemi! ^ H = E 1

2 Historia 1800-t: Klassisk mekanik ansågs komplett, men en del fenomen kunde inte förklaras: A Spektrallinjer: Eciterad gas: B Svartkroppsstrålning: Strålning från varmt föremål vid viss temperatur Klassiskt: då 0 Ultravioletta katastrofen Ma Planck 1900: Elektromagnetiska fältets energi är kvantiserad: E heltal konstanten = h = Js = frekvens = c/ Perfekt överensstämmelse med eperiment, men den teoretiska motiveringen oklar

3 C Värmekapacitet för kristaller: Klassiskt idealt: Cv,m = 3 R Observerat: Cv,m 0 då T 0 K Einstein 1905: Vibrationsenergin kvantiserad: E heltal Prop. konstanten = h Cv,m 0 då T 0 K D Fotoelektriska effekten: Emission av elektroner från en metallyta när den bestrålas med UV-strålning: Samma som ovan! Klassiskt: Observerat: { { antal e ljusets I och ljusets I och Ekin antal e ljusets I enbart ljusets enbart Ekin Dessutom måste vara större än ett visst minimum-värde för att emittering ska ske Einstein 1905: Ett ljuskvantum med energin E = h kolliderar med, och avger sin energi till, en elektron bunden med energin m e v h 3

4 h = Plancks konstant! Energin hos ljuset: E = h ljuskvantum eller foton Det elektromagnetiska fältet har partikelegenskaper E Diffraktion av elektronstråle: Interferensmönster på samma sätt som för ljus som passerar genom ett gitter Davisson & Germer 195, Thomson 195 De Broglie 194: Fria partiklar med rörelsemängd p kan associeras med en våglängd : h p m v p Materien partiklar har vågegenskaper D + E Våg-Partikeldualiteten Eftersom partiklar uppför sig som vågor, så behöver vi en vågekvation för att beskriva deras dynamik Schrödinger 196 4

5 5 7B.1-3, 7C.4 Schrödingerekvationen Schrödingerekvationen: 1 partikel, 1 dim. E V d d m där V = Potentiella energin E = Totala energin = Vågfunktionen för partikeln 3 dimensioner:,,,,,, z y E z y z y V z y m eller kortare: E V m där z y Postulat! h Laplaceoperatorn

6 Vad är? Postulat: Vågfunktionen för ett system t.e. en partikel beskriver fullständigt tillståndet för systemet En tolkning/aspekt av Borns tolkning: Sannolikheten att finna en partikel inom volymen d = d V = d dy dz kring punkten,y,z är lika med:, y, z d Dvs. r är sannolikhetsfördelningen att finna partikeln i punkten r =,y,z. Dessutom måste gälla att sannolikheten att finna partikeln någonstans överhuvudtaget måste vara lika med 1 hela, rummet y, z d Normering av 1 6

7 7C.1 Tillbaka till vågekvationen: d 1 dim.: V m d E Jämför klassiskt: K + V = E E kin + E pot = E m v V Vi skriver Schrödingerekvationen analogt: Kˆ Vˆ E eller Hˆ E där Hˆ Kˆ Vˆ Ĥ Matematik: En operator är en process som verkar på en d df funktion e: derivering f och ger som d resultat en annan funktion e: Beteckning operator:  e: d d E Hamiltonoperatorn d d  d 7

8 I kvantmekaniken gäller nedan 1 dim.: Vˆ V Kˆ m d d Postulat: Varje mätbar storhet observabel motsvaras av en operator i kvantmekaniken E: Jämför klassiskt: Om kvantmekaniskt analogt: Enligt ovan: Kˆ Kˆ K pˆ m m v m d d m v m p m d pˆ i d operatorn för rörelsemängd Matematik: MB3.1 Komplea tal: z = a + b i a,b : reella tal. a : realdelen, b : imaginärdelen i är en lösning till ekvationen: = 1 d.v.s. ii = 1. i kallas för imaginärenheten. Komplekonjugatet: z* = a b i z = z*z = a + b ia b i = a b i = a + b 8

9 Betrakta ev 3-dim. Schrödingerekvationen: ˆ H r E r, r, y, z där ˆ H V r m Schrödingerekv. är en slags differentialekvation. Matematik: Om  f = a f, där a är ett tal, så är f en egenfunktion till  och a är dess egenvärde. Ekvationen kallas för en egenekvation. är en egenfunktion till Ĥ, och E är motsvarande egenvärde. Schrödingerekv. är en egenekvation. 9

10 7C. Relationen till eperiment Mätning av storheter. Antag att observabeln A motsvaras av operatorn Â. Postulat: Om systemet befinner sig i tillstånd som är en egenfunktion till  med egenvärde a d.v.s.  = a, så ger en enskild mätning av A resultatet a. Antag nu att är en godtycklig vågfunktion, som inte nödvändigtvis är en egenfunktion till Â. Definiera Förväntningsvärdet av A: hela  d rymden Postulat : Medelvärdet av A från en serie mätningar av A = förväntningsvärdet. A hela  d rymden 10

11 7C.3 Heisenbergs osäkerhetsrelation Heisenberg 197: p p = osäkerhet i rörelsemängd längs -aeln = osäkerhet i läge längs -aeln Omöjligt att känna p och noggrannare än så samtidigt. Man säger att p och är komplementära observabler. Detta är en konsekvens av vågkaraktären hos materien. Anm: Man kan under vissa antaganden skriva om osäkerhetsrelationen som: E t 11

12 7C. Schrödingers katt Överkurs! Ett system kan beskrivas av en vågfunktion som inte är en egenfunktion till en observabels operator En sådan vågfunktion kan alltid skrivas som en linjärkombination av egenfktionerna till operatorn 1,,... är egenfunktionerna till operatorn  med egenvärdena a1, a,...,, d.v.s. Âi= aii, i=1,,...: c 1 1 c där c 1, c,... är koefficienter, d.v.s. tal. Detta kallas för en superposition av tillstånd. Men en enskild mätning av ger fortfarande som resultat precis ett av egenvärdena a 1, a,... Dessutom är sannolikheten för att man ska få resultatet a j lika med c j. Man säger att systemet kollapsar till tillståndet j med vågfunktionen j vid mätningen. E: Schrödingers katt 1