Formelsamling, Kvantmekanik

Transkript

1 Formesaming Kvantmekanik Matematik Linjär operator:  är injär om Â[aψ (x+bψ (x] = aâψ (x+bâψ (x för aa kompexa ta a b och aa kompexvärda tiståndsfunktioner ψ (x ψ (x Kommutator: [ ˆB] =  ˆB ˆB där  och ˆB är injära operatorer Kompext ta: z = x + iy; poärform z = re iθ där r = x + y och tan θ = y/x Kompexkonjugering: z = x iy Absoutvärde: z = zz = r Användbara trigonometriska former: sin x = ( cos x cos x = ( + cos x sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x cos x = eix + e ix sin x = eix e ix i Användbara integraer: x cos(bxdx = cos(bx 0 b x cos(bxdx = x b cos(bx + x n e ax dx = Γ[n + ] x n e ax dx = a n+ Γ[n + ] a n+ + x sin(bx b ( x b b sin(bx där Γ[z + ] = zγ[z] för z > 0 Γ[] = och Γ[ ] = π a b > 0 och n = 0 Tayorutvecking: B A x e ax dx = [e ax ( x a x a + a ]B A V (x = V (x 0 + V (x 0 (x x 0 + V (x 0 (x x 0 +

2 Fundamentaa aspekter Tistånd: kompexvärd funktion ψ(x Sannoikhetstokningen (D Sannoikhetstätheten ψ(x ; sannoikheten att finna systemet på intervaet [x 0 x ] P (x 0 x x ψ(x = x Medevärdet av observaben A ges av förväntansvärdet: x 0 x  = ψ (xâψ(xdx x 0 ψ(x dx där operatorn  representerar A Ett spridningsmått är dispersionen: A =   Heisenbergs osäkerhetsreation: A B [ ˆB] Speciet: x p x I tre dimensioner byt x och dx mot kartesiska koordinater (x y z och voymseementet dxdydz eer sfäriskt poära koordinater (r θ ϕ och voymseementet r dr sin θdθdϕ Positionsoperatorn i en-dim: ˆx = x Röresemängdsoperatorn: ˆp = i d/dx där = h/(π = Js Positionsoperatorn i -dim: ˆr = r Röresemängdsoperatorn i -dim: ˆp = i där = ( x y z = h/(π = Js Dynamik Tidsberoende Schrödingerekvationen: där i ψ(x t = Ĥψ(x t t Ĥ = m x + V (x är Hamitonoperatorn (också benämnd Hamitonianen Tidsoberoende Schrödingerekvationen: Ĥφ(x = Eφ(x där φ(x är energiegenfunktion och E energiegenvärde

3 I tre dimensioner byt x och / x mot kartesiska koordinater (x y z och Lapaceoperatorn = / x + / y + / z eer sfäriskt poära koordinater (r θ ϕ och Lapaceoperatorn = ( r r r r ˆL r ( r r r ˆL r där ˆL är kvadraten på impusmomentoperatorn (se under separat rubrik nedan Fotonreationer E = hc/λ λν = c E är fotonenergin c = 0 8 m/s är jushastigheten i vakuum λ är fotonens vågängd ν är fotonens frekvens h = Js Användbar omvandingsfaktor: ev = J Partike i åda Potentia: Energier: { 0 0 x a V (x = + för övrigt E n = n π n = ma Normaiserade energiegenfunktioner: { φ n (x = a sin ( nπx a 0 x a 0 för övrigt Harmonisk osciator Potentia: V (x = mω x där m är osciatorns massa och ω dess vinkefrekvens Längdskaa: Energier: E n = /α = mω ( n + ω n = 0

4 Energiegenfunktioner: Normeringskonstanter: φ n (x = A n H n (αxe α x α A n = π n n! Några Hermitepoynom: H 0 (αx = H (αx = αx H (αx = 4(αx H (αx = 8(αx αx H 4 (αx = 6(αx 4 48(αx + Impusmoment Kommutatorer: [ˆL x ˆL y ] = i ˆL z ; [ˆL y ˆL z ] = i ˆL x ; [ˆL z ˆL x ] = i ˆL y ; [ˆL x ˆL ] = [ˆL y ˆL ] = [ˆL z ˆL ] = 0 Sfäriskt poära koordinater: x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ och z = r cos θ Banimpusmoment: L = r p = i r Egenvärdesprobemet för ˆL z och ˆL : ˆL z Y m (θ ϕ = m Y m (θ ϕ ˆL Y m (θ ϕ = ( + Y m (θ ϕ där = 0 och m = + Kotytefunktioner (eng: spherica harmonics: Y m (θ ϕ = N m e imϕ P m (cos θ där P m är associerade Legendrefunktioner Normeringskonstanter: N m = ( + ( m! 4π( + m! Några normerade kotytefunktioner: Y 00 (θ ϕ = 4π Y 0 (θ ϕ = 4π cos θ = z 4π r Y ± (θ ϕ = 8π sin x ± iy θe±iϕ = 8π r 5 ( Y 0 (θ ϕ = cos θ 5 = ( z 6π 6π r 5 5 Y ± (θ ϕ = 8π cos θ sin (x ± iyz θe±iϕ = 8π r ( 5 5 x Y ± (θ ϕ = π sin θe ±iϕ = π r y r ± ixy r 4

5 Eektronspinn: Kommutatorer: [Ŝx Ŝy] = i Ŝz; [Ŝy Ŝz] = i Ŝx; [Ŝz Ŝx] = i Ŝy; [Ŝx Ŝ ] = [Ŝy Ŝ ] = [Ŝz Ŝ ] = 0 Egenvärdesprobemet för Ŝz och Ŝ : Väteika atomer Potentia: Ŝ z α = α Ŝ β = 4 β Ŝ z β = β Ŝ α = 4 α V (r = Ze 4πɛ 0 r där Z är kärnaddningstaet e = C (eementaraddningen ɛ 0 = C/(Vm (eektriska konstanten och r är eektron-kärnavståndet Hamitonoperator för en väteik atom i sfäriskt poära koordinater ( µ r r r + ˆL µr + V (r Reducerade massan: µ = m em p m e + m p Längdskaa: = 4πɛ 0 m e e = 05Å (Bohrs radie a µ = 4πɛ 0 µe Atomära enheter m e = e = 4πɛ 0 = = = Energi i atomära enheter: au (energi Hartree = Rydberg = 7 ev Energinivåer: E n = Z µe 4 8h ɛ 0 Energiegenfunktioner: n Z e 6 = Z 8πɛ 0 n n ev = Z au n = n φ nm (r θ ϕ = N n e ρ/ ρ L + n (ρy m (θ ϕ = R n (ρy m (θ ϕ där ρ = r/(n Normeringskonstanter: N n = 4(n! n 4 [(n +!] a 0 5

6 Några radiea vågfunktioner: R 0 (ρ = / e ρ/ ρ = Zr R 0 (ρ = 8 / ( ρe ρ/ R (ρ = R 0 (ρ = R (ρ = R (ρ = 4 / ρe ρ/ ρ = Zr ρ = Zr 4 / ( 6 6ρ + ρ e ρ/ 486 / (4 ρ ρe ρ/ 40 / ρ e ρ/ ρ = Zr ρ = Zr ρ = Zr Atomorbitaer: ns = R n0 Y 00 np x = R n (Y + Y np y = ir n (Y Y np z = R n Y 0 nd z = R n Y 0 nd xy = ir n (Y Y nd xz = R n (Y + Y nd yz = ir n (Y Y nd x y = R n (Y + Y Approximationsmetoder Energikorrektionen i första ordningens störningsteori: E ( n = + φ n(x ˆV φ n (xdx där ˆV är en störning ti den exakt ösbara Schrödingerekvationen svarande mot Hamitonianen Ĥ0 och Ĥ0φ n (x = E (0 n φ n (x Energin ti Hamitonianen Ĥ0 + ˆV : E n = E (0 n + E ( n + Variationsmetoden: Minimering av + E(λ = ψ λ (xĥψ λ(xdx + ψ λ (xψ λ(xdx map variationsparameter λ ger en övre begränsning ti grundtiståndsenergin svarande mot Hamitonianen Ĥ 6