Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Transkript

1 Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P (B) = P (B A)P (A) P (A) = P (B 1 )P (A B 1 ) + + P (B n )P (A B n ) (lagen om total slh) P (B i A) = (Bayes sats) P (B i )P (A B i ) P (B 1 )P (A B 1 )+ +P (B n)p (A B n) Diskret och kontinuerlig slumpvariabel Slumpvariabeln X är diskret om X antar ett ändligt eller ett uppräkneligt antal värden k 1, k 2,... med sannolikheter p X (k 1 ), p X (k 2 ),... där p X (k) är sannolikhetsfunktion till X. Slumpvariabeln X är kontinuerlig om X antar alla värden i ett intervall enligt täthetsfunktionen f X (x). Väntevärde { k µ = E(X) = kp X(k) (X är diskret) x f X(x) dx (X är kont.) Räkneregel: E(aX + by + c) = ae(x) + be(y ) + c Varians { σ 2 = V(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 k = k2 p X (k) µ 2 (X är diskret) x2 f X (x) dx µ 2 (X är kont.) Räkneregel: V(aX + by + c) = a 2 V(X) + b 2 V(Y ). Gäller endast om X och Y är oberoende! Standardavvikelse σ = V(X) Binomialfördelningen X är Bin(n, p)-fördelad om p X (k) = ( n k) p k (1 p) n k, k = 0, 1, 2,..., n µ = E(X) = np och σ 2 = V(X) = np(1 p) Poissonfördelningen X är Po(λ)-fördelad om p X (k) = e µ = E(X) = λ och σ 2 = V(X) = λ Hypergeometriska fördelningen λ λk k!, k = 0, 1, 2,... 1

2 X är Hyp(N, n, p)-fördelad om p X (k) = (Np k )( N(1 p), k = 0, 1,..., n ( N n) (för de x som är möjliga: k får t.exinte överstiga Np); µ = E(X) = np och σ 2 = V(X) = np(1 p) N n N 1 ffg-fördelningen n k ) X är ffg(p)-fördelad om p X (k) = p(1 p) k 1, k = 1, 2,... µ = E(X) = 1 p och σ2 = V(X) = 1 p p 2 Normalfördelningen X är N(µ, σ)-fördelad om f(x) = 1 väntevärde respektive varians. Sannolikheter beräknas enligt Tabell 3 där P (X x) = Φ 2π σ e (x µ)2 2σ 2, där µ och σ 2 är ( ) x µ σ. Linjärkombinationer av oberoende normalfördelade slumpvariabler är normalfördelade. Linjärkombinationer av oberoende likafördelade slumpvariabler är approximativt normalfördelade enligt CGS. Exponentialfördelningen X är exponentialfördelad med parameter β > 0 om f(x) = 1 β e x β, x 0. µ = E(X) = β och σ 2 = V(X) = β 2 Kontinuerlig likformig sannolikhetsfördelning X är U(a, b)-fördelad om f(x) = 1 b a, a x b. µ = E(X) = a+b 2 och σ 2 = V(X) = (b a)2 12 Approximationsregler n N < 0.1 Bin(n,p) Hyp(N,n,p) p<0.1 n N +p<0.1 np(1 p) N n >10 N 1 Po(λ) λ =np N(µ,σ) µ =E(X) σ =D(X) λ >15 np(1 p)>10 2

3 2. Statistikteori Allmänt om stickprov Stickprov Mätvärdena x 1, x 2,..., x n utgör ett (slumpmässigt) stickprov på X om de är observationer av oberoende slumpvariabler X 1, X 2,..., X n med samma fördelning som X. Stickprovsmedelvärde x = 1 n (x 1 + x x n ) Stickprovsvarians s 2 = 1 n 1 ni=1 (x i x) 2 = 1 n 1 { n i=1 x 2 i n x2 } = 1 n 1 { n i=1 x 2 i ( n i=1 x i) 2 n } Standardavvikelse i ett stickprov s = s 2 Konfidensintervall En proportion p Konfidensintervall för p i binomialfördelning med konfidensgrad 1 α : I p = ˆp ± λ α/2 ˆp(1 ˆp) n Konfidensintervall för p i hypgeo-fördelning med konfidensgrad 1 α : ˆp(1 ˆp) N n I p = ˆp ± λ α/2 n N 1 Villkor: nˆp(1 ˆp) > 10 respektive nˆp(1 ˆp) N n N 1 > 10 Två proportioner p 1 och p 2 Om n 1 ˆp 1 (1 ˆp 1 ) N 1 n 1 N 1 1 > 10 och n 2 ˆp 2 (1 ˆp 2 ) N 2 n 2 N 2 1 > 10 fås ett konfidensintervall för p 1 p 2 med konfidensgraden 1 α av: I p1 p 2 = ˆp 1 ˆp 2 ± λ α/2 ˆp 1 (1 ˆp 1 ) n 1 N 1 n 1 N ˆp 2(1 ˆp 2 ) Vid Binomialfördelning sätts N 1 n 1 N 1 1 = N 2 n 2 N 2 1 = 1. N 2 n 2 n 2 N 2 1 3

4 Nedan angivna formler gäller (i) för stickprov från normalfördelningen, alla stickprovsstorlekar, (ii) approximativt för stickprov från andra fördelningar med existerande väntevärden och varians om n är tillräckligt stort. (Ju större n desto bättre approximation.) Ett väntevärde µ, okänd varians σ 2 Konfidensintervall för µ med konfidensgraden 1 α : I µ = ( x ± t(n 1) α/2 s n ) Två väntevärden µ 1 och µ 2, samma okända varians σ 2 Konfidensintervall för µ 1 µ 2 med konfidensgraden 1 α : ( 1 I µ1 µ 2 = x ȳ ± t(n 1 + n 2 2) α/2 s + 1 ) n 1 n 2 (n 1 1)s 2 1 s = + (n 2 1)s 2 2 n 1 + n 2 2 Stickprov i par, differenser med väntevärde, okänd varians σ 2 Bilda differenser z i = x i y i för i = 1,..., n Konfidensintervall för med konfidensgraden 1 α : I = ( ) s z z ± t(n 1) α/2 n Hypotesprövning Hypoteserna H 0 : p = p 0, p 1 = p 2, µ = µ 0, µ 1 = µ 2 respektive = 0 förkastas på α-nivån om p 0 / I p, 0 / I p1 p 2, µ 0 / I µ, 0 / I µ1 µ 2 respektive 0 / I. Sambandsmått Regressionslinje: y = â + ˆbx, där â = ȳ ˆb x n ˆb = i=1 (x n i x)(y i ȳ) i=1 n = x iy i n xȳ i=1 (x i x) 2 n i=1 x2 i n x2 Korrelationskoefficient: ni=1 (x i x)(y i ȳ) r = ni=1 (x i x) 2 n i=1 (y i ȳ) = 2 ni=1 x i y i n xȳ ( n i=1 x 2 i n x2 )( n i=1 yi 2 nȳ2 ) 4

5 Tabell 1: Binomialfördelningen Tabellen ger sannolikheten P (X x) där X Bin(n, p) p n x

6 p n x

7 p n x

8 p n x

9 p n x

10 p n x

11 Tabell 2: Poissonfördelningen Tabellen ger sannolikheten P (X x) där X P o(λ) x λ= x λ= x λ=

12 x λ= x λ=

13 x λ=

14 x λ=

15 Tabell 3: Normalfördelningen P (X x) = Φ(x), där X N(µ = 0, σ = 1) Φ( x) = 1 Φ(x) x

16 Tabell 4: Normalfördelningskvantiler α λ α

17 Tabell 5: t-fördelningskvantiler f α

18 Tabell 6: χ 2 -fördelningskvantiler f α