SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

Transkript

1 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016

2 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde och varians av diskreta s. v. Kontinuerlig stokastisk variabel (Kap ) Exempel på kontinuerliga fördelningarna. Väntevärde och varians av kontinuerliga s. v. (Kap. 5.3) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Kvantiler (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska variabler. (Kap 3.10)

3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER, REP. Def: En stokastisk variabel, X (ω) är diskret om den endast kan anta ändligt eller uppräkneligt oändligt antal värden {k 1, k 2,... }, (syfrar på heltal). Def: p X (k) = P(X = k), k = k 1, k 2,... kallas för sannolikhetsfunktionen för en diskret s.v. X. Villkor: 0 p X (k) 1 för alla k alla k p X (k) = 1 Med hjälp av p X (k) har vi: P(a X b) = k:a k b p X (k) P(X a) = k:k a p X (k) P(X > a) = k:k>a p X (k) = 1 k:k a p X (k) = 1 P(X a)

4 DISKRETA S.V., VÄNTEVÄRDE, REP. Def: Väntevärde för en diskret s.v. X definieras av µ X = E (X ) = kp X (k). alla k Sats (5.1, kap. 5.2): Låt X vara en s.v., g( ) är en reellvärd funktion och låt s.v. Y vara definierad av Y = g(x ). Då gäller att E (Y ) = g(k)p X (k). alla k Tolkning: Man får väntevärdet för den nya s.v. Y = g(x ) genom att för varje tänkbart värde k av den s.v. X multiplicera g(k) med tillhörande sannolikhet, varefter produkterna adderas.

5 DISKRETA S.V., VARIANS, REP. Def: Antag att en diskret s.v X har väntevärde E (X ) = µ. Då definieras variansen för X som σ 2 = E ((X µ) 2 ) = (k µ) 2 p X (k). alla k Variansberäkning (räkneregel, mycket användbar, se bevis i Sats 5.6, kap. 5.3). V (X ) = E (X 2 ) µ 2 = E (X 2 ) (E (X )) 2. Standardavvikelsen, D(X ) = V (X ) (mer avnänt spridningsmått), har samma enhet som variabel själv. Ex på tavlan!

6 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER En kontinuerlig s.v. kan anta alla värden i ett intervall av R 1 eller i flera åtskillda intervall av R 1, t ex [0, ), [1, 2]. För en s.v. har vi hellt kontinuum av tänkbara värden. Utfallen ligger oändligt tätt så att ingen utfall kan antas med positiv sannolikhet, dvs sannolikhetsfunktion kan inte definieras på samma sätt som vi gjorde för diskreta s.v. Istället: För en kontinuerlig s.v. läggs sannolikhetsmassan 1 ut på R 1 enligt täthetsfunktion f X (x), x R 1.

7 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER (FORTS.) Def: En stokastisk variabel X är kontinuerlig om det finns icke-negativ funktion f X ( ) sådan att P(X A) = A f X (x)dx, för alla A. f X (x) kallas för täthetsfunktonen för s.v X. Jämför med diskreta fallen! Summeringen av sannolikhetsfunktionen ersats av integration. Villkor: f x (x) 0, f X (x)dx = 1, dvs hela area under täthetsfunktionen är 1. Skilj noga på symbolen X som betecknar en s.v. och x som används som argument i funktionen f X (x)!

8 VANLIGA KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR Kontinuerlig likformig fördelning. Def: Om en s.v. X har täthetsfunktion { 1 f X (x) = b a om a < x < b 0 f.ö. sägs X vara likformigt fördelad mellan a och b. Beteckning: X U(a, b). U är från engelska uniform. Tolkning: Eftersom vi betraktar en kontinuerlig s.v. kan vi inte definiera den som att alla värden mellan a och b är lika sannolika (jmf. med det diskreta fallet!) - enskilda värden har alltid sannolikhet noll för kontinuerliga s.v., dvs P(X = x) = 0. Det man istället menar är att sannolikheten att s.v. X ligger i något givet intervall inom (a, b) bara beror på intervallets bredd och inte på var intervallet ligger.

9 VANLIGA KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR (FORTS.) Exponentialfördelning. Def: Om en s.v. X har täthetsfunktion { λe λx om x > 0, f X (x) = 0 f.ö., λ > 0, sägs X vara exponentialfördelad. Bet: X Exp(λ). En viktig genskap hos Exp(λ): Exponentialfördelning saknar minne! Minneslöshet hos Exp(λ) på tavlan (se anm. 3.2, kap. 3.6)! Förekomst: används för att modellera t ex tiden tills någon får sitt nästa telefonsamtal, tiden tills någon råkar ut för sin nästa bilolycka eller avståndet mellan mutationer på en DNA-sträng.

10 VANLIGA KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR (FORTS.) FIGUR : Täthetsfunktion f x (s) uppritad för tre olika exponentialfördelningar: λ = 0.5, λ = 1 respektive λ = 1.5. Som synes ju mindre λ är, desto mer utbredd är sannolikhetsmassan över intervallet (0, ).

11 VANLIGA KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR (FORTS.) Normalfördelning. Def: Om en s.v. X har täthetsfunktion f X (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, < x < där µ och σ > 0 är givna tal, sägs X vara normalfördelad. Beteckning: X N(µ, σ). Viktigaste av alla fördelningar! Kallat även för Gauss-fördelning. Benämningen hänsyftar på den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss ( ). Att den är så viktig beror på att om man summerar många stokastiska variabler (tänk: något slumpmässighet som beror på många olika faktorer) så är resultatet nästan alltid normalfördelat. Mer om detta under fls. 7, ( kap. 6).

12 VANLIGA KONTINUERLIGA FÖRDELNINGAR (FORTS.) FIGUR : Täthetsfunktion f x (s) uppritad för fyra olika normalfördelningar. Man ser att effekten av att ändra µ är att täthetens läge försjuts (med toppen liggandes vid µ), medan fördelningen blir mer koncentrerad när σ är liten, respektive mer utspridd när σ är stor.

13 VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS FÖR KONTINUERLIGA DE S.V. Def: Väntevärde av en kontinuerlig s.v X definieras av µ X = E (X ) = xf X (x)dx. Sats: (se Stas 5.1, kap. 5.2) Om Y = g(x ) där g( ) är en reelvärd funktion så gäller att E (Y ) = g(x)f X (x)dx. Def: Variansen av en kontinuerlig s.v X definieras av σ X = V (X ) = (x µ X ) 2 f X (x)dx. På samma sätt som i det diskreta fallet gäller följande (se Sats. 5.6): V (X ) = E (X 2 ) (E (X )) 2. E (X ) och V (X ) för X Exp(λ) på tavlan.

14 FÖRDELNINGSFUNKTION FÖR EN S.V. Def: Funktionen F X (x) = P(X x), x R 1 kallas för fördelningsfunktionen för den s.v. X. Villkor: 0 F X (x) 1, (slh) F X (x) är icke-avtagande funktion av x, F X (x) 0 då x och F X (x) 1 då x. F X (x) är kontinuerlig till höger för varje x.

15 FÖRDELNINGSFUNKTION FÖR EN S.V. (FORTS.) FIGUR : Fördelningsfunktion F x (k) uppritad för tre olika Poisson-fördelningar: λ = 1, λ = 4 respektive λ = 10.

16 FÖRDELNINGSFUNKTION FÖR EN S.V. (FORTS.) FIGUR : Fördelningsfunktion för N(µ, σ) uppritad för några olika värden på µ och σ.

17 FÖRDELNINGSFUNKTION FÖR EN S.V. (FORTS.) I det diskreta fallet finns det ett nära samband mellan fördelningsfunktionen och sannolikhetsfunktionen: F X (k) = p X (j), p(k) = j:j k { FX (0) om k = 0 F X (k) F X (k 1) f.ö. I det kontinuerliga fallet finns ett motsvarande samband mellan fördelningsfunktionen och täthetsfunktionen: F X (x) = x f X (t)dt, f X (x) = d dx F X (x), i varje punkt x där f X (x) är kontinuerlig (se Sats 3.1). Tolkning: bilden på tavlan för båda fallen. Låt A = (, x], P(X A) = P(X x) = F X (x).

18 FÖRDELNINGSFUNKTION FÖR EN S.V. (FORTS.) Ofta behöver man beräkna sannolikheter på formen P(a < X b), P(X a), P(X > a), eller liknande. F X (x) är mycket användvar för sådana beräkningar! En viktig sats (se Sats 3.3): Om a < b så gäller att Bevis och exempel på tavlan. P(a < X b) = F X (b) F X (a). Def: Lösningen x = x α till ekvationen F X (x) = 1 α kallas för α-quantil för den s.v. X.