Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
|
|
- Karolina Åkesson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december / 28
2 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår de mest grundläggande reglerna och begreppen ifrån tidigare kurser i statistik, t.ex: Stokastiska Variabler Simultana Sannolikheter Väntevärde och varians Kovarians och korrelation Stokastiskt Oberoende 2 / 28
3 Stokastiska variabler Ett stokastisk variabel, X, är en variabel som antas variera slumpmässigt mellan olika värden eller utfall. Vid en specifik mätning inträffar varje utfall med en viss sannolikhet. Stok. variabler benämnas med stora bokstäver: X, Y, Z, osv. utfallen eller värdena benämns med små bokstäver: x, y, z, osv. n st. upprepade mätningar på X presenteras som x 1, x 2,..., x n Under kursens gång kommer sannolikheten för ett utfall x av X skrivas P(x) eller P(X = x) 3 / 28
4 Stokastiska variabler Definition av sannolikheter: Utfallsrummet definieras som alla möjliga utfall av X. Betecknas S = {x 1, x 2,..., x n } Sannolikheten för varje utfall finns i intervallet [0,1], dvs 0 P(x) 1 Sannolikheten för alla utfall i utfallsrummet summerar till 1. Dvs, P(S) = 1 Enligt den klassiska sannolikhetsläran tolkar vi en relativ frekvens som sannolikheter (då n ). 4 / 28
5 Sannolikhetsfördelningar Sannolikheter för utfall på X beskrivs med sannolikhetsfördelningar. Viktigt att tänka på är bland annat: Om X är en kontinuerlig eller diskret stokastisk variabel. Detta avgör till stor del vilka sannolikhetsfördelningar som är lämpliga för att modellera sannolikheter för X. Vilken fördelning som kan tillämpas. Dvs, Egenskaper för sannolikhetsfördelningen. Om vi vill använda/undersöka täthetsfunktionen eller fördelningsfunktionen för X. 5 / 28
6 Täthetsfunktioner Täthetsfunktionen är en funktion över sannolikheten för att observera specifika värde på X. Betecknas P(X = x) för diskreta variabler och f (x) för kontinuerliga variabler. Har egenskaperna: f (x) 0. f (x) dx = 1. Vi kan beräkna sannolikheten att X befinner sig i ett intervall: P(a x b) = b a f (x) dx. Detta gäller även för diskreta variabler om vi byter ut mot. 6 / 28
7 Fördelningsfunktioner Fördelningsfunktionen är den kumulativa fördelningen för X. Betecknas F (x) eller P(X x) för diskreta variabler och F (x) för kontinuerliga variabler. Har egenskaperna: 0 F (x) 1. Om x 0 < x 1 gäller att F (x 0 ) < F (x 1 ). F (x 0 ) = x 0 x m f (x) dx (där x m är det minsta värdet på X ). Detta gäller även för diskreta variabler men då summerar vi istället för att integrera över utfall på X. 7 / 28
8 Sannolikhetsfördelningar En repetition på normalfördelningen finns som ett separat dokument på kurshemsidan. Denna fördelning är den som används mest på kursen, men vi kommer även att använda dessa fördelningar: t-fördelningen (enkel och multipel regression, korrelation) F-fördelningen (multipel regression) d-fördelningen (Durbin-Watson testet för autokorrelation) binomialfördelningen (slumpvandring) Dessa (och även normalfördelningen) finns beskrivna i NCT. 8 / 28
9 Simultant fördelade diskreta stokastiska variabler Ofta vill vi samtidigt studera flera olika stokastiska variabler, vilkas värde bestäms i ett och samma slumpförsök. Ofta är vi intresserade av hur variablerna eventuellt samvarierar. 2 exempel med diskreta variabler: Välj slumpmässigt en man från en population av män och registrera X = mannens vikt och Y = mannens längd. Gör två kast med en tärning och registrera X = antal prickar i kast 1 och Y = antal prickar i kast 2. 9 / 28
10 Simultant fördelade stokastiska variabler Generaliseringen blir att vi har n simultant fördelade stokastiska variabler X 1, X 2,..., X n. T.ex. 10 kast med en tärning där X 1 = antal prickar i kast 1, X 2 = antal prickar i kast 2,..., X 10 = antal prickar i kast 10. Den simultana sannolikhetsfördelningen ger sannolikheter för att få olika kombinationer av värden på X och Y : P(x, y) = P(X = x, Y = y) = P(X = x Y = y) 10 / 28
11 Marginella och betingade sannolikheter Marginella och betingade sannolikheter för en stokastisk variabel X kan relateras till simultana sannolikheter för X och Y på följande sätt P(x) = P(X = x) = P(x, y) alla y Den betingade sannolikheten fås ifrån definitionen för betingade sannolikheter för händelser och kan skrivas som P(x y) = P(X = x Y = y) = P(x, y) P(y) Analogt definieras den marginella sannolikheten för Y och den betingade sannolikheten för Y X. 11 / 28
12 Stokastiska variabler - ett exempel En familj väljs slumpmässigt från en population av familjer. X = antalet pojkar; Y = antalet flickor. Antag att den simultana sannolikhetsfördelningen är: x P(y) 0 0,40 0,16 0,04 0,60 y 1 0,17 0,08 0,02 0,27 2 0,05 0,07 0,01 0,13 P(x) 0,62 0,31 0,07 1,00 Vad är sannolikheten att familjen har en pojke och en flicka? Vad är sannolikheten att familjen inte har några barn givet att vi vet att den inte har några flickor? 12 / 28
13 Oberoende stokastiska variabler Två stokastiska variabler, X och Y, sägs vara oberoende om och endast om P(x, y) = P(x)P(y) för alla par av värden på x och y. Kom ihåg definitionen av oberoende mellan två händelser: P(A B) = P(A)P(B). Generellt gäller att X 1, X 2,..., X n är oberoende stokastiska variabler om och endast om P(x 1, x 2,..., x n ) = P(x 1 )P(x 2 ) P(x n ) för alla värden på x 1, x 2,..., x n. (Är X och Y oberoende i exemplet på s.12?) 13 / 28
14 Väntevärden och varains för stokastiska variabler Väntevärdet för en stokastisk variabel skrivs E(X ) = µ X = xp(x) alla x E(X) kan tolkas analogt med medelvärdet för ett datamaterial. Variansen för en stokastisk variabel skrivs V (X ) = σx 2 = (x µ X ) 2 P(x) alla x och är ett sätt att beskriva hur X varierar kring sitt väntevärde. 14 / 28
15 Räkneregler för väntevärden När man räknar på väntevärden för stokastiska variabler finns speciella räkneregler att förhålla sig till: E(a) = a, där a är en konstant E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) E(X Y ) = E(X ) E(Y ) E(aX ) = ae(x ) n n E( X i ) = E(X i ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) E(X n ) i=1 i=1 E(XY ) = E(X )E(Y ) om X och Y är oberoende 15 / 28
16 Räkneregler för varianser Generellt gäller att V (a) = 0, (där a är en konstant) V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) + 2Cov(X, Y ) V (X Y ) = V (X ) + V (Y ) 2Cov(X, Y ) V (ax ) = a 2 V (X ) V (a + bx ) = b 2 V (X ) V (ax + by ) = a 2 V (X ) + b 2 V (X ) + 2abCov(X, Y ) V (ax by ) = a 2 V (X ) + b 2 V (X ) 2abCov(X, Y ) 16 / 28
17 Räkneregler för varianser Om X 1, X 2,..., X n är oberoende medför detta att alla parvisa kovarianser är 0 så att: V (X 1 + X 2 ) = V (X 1 ) + V (X 2 ) V (X 1 X 2 ) = V (X 1 ) + V (X 2 ) n n V ( X i ) = V (X i ) = V (X 1 ) + V (X 2 ) V (X n ) i=1 i=1 17 / 28
18 Kovarians och korrelation Kovariansen för de stokastiska variablerna X och Y mäter dessas linjära samvariation och skrivs som: Cov(X, Y ) = σ XY = E[(X µ X )(Y µ Y )] = (x µ X )(y µ Y )P(x, y) Beräkningsformel: alla x alla y Cov(X, Y ) = E(XY ) µ X µ Y = xyp(x, y) µ X µ Y alla x alla y 18 / 28
19 Kovarians och korrelation Kovariansen för X och Y kan vara svårtolkad eftersom den alltid förändras med storleken på X och Y trots att dessas samvariation är svag. Genom att standardisera kovariansen så fås korrelationen: Corr(X, Y ) = ρ XY = Cov(X, Y ) V (X ) V (Y ) = σ XY σ X σ Y 1 ρ XY 1 ρ XY = 1 perfekt negativt linjärt samband mellan X, Y. ρ XY = 1 perfekt positivt linjärt samband mellan X, Y. ρ XY = 0 inget linjärt samband mellan X, Y. Om X och Y är oberoende, så är ρ XY = 0. Om ρ XY = 0 så innebär detta inte per automatik att X och Y är oberoende! 19 / 28
20 Kovarians och korrelation Ett exempel på ett observerat samband mellan X och Y : spridningsdiagram y x Korrelationen i detta fall är nära / 28
21 Kovarians och korrelation Däremot kan ickelinjära samband finnas. Om y = x 2 ser sambandet ut på följande sätt: Både kovariansen och korrelationen är 0 i detta fall! 21 / 28
22 Kovarians och korrelation Både Cov(X,Y) och Corr(X,Y) mäter linjär samvariation mellan X och Y men korrelationen är mer lämpat som jämförelsemått. Cov(X,Y) och Corr(X,Y) har alltid samma tecken. Cov(X,Y) och Corr(X,Y) är symmetriska: ρ XY = ρ YX och σ XY = σ YX. 22 / 28
23 Räkneregler för Kovarianser Cov(X, X ) = E[(X µ X )(X µ X )] = E[(X µ X ) 2 ] = V (X ) Cov(aX, by ) = abcov(x, Y ) Cov(X + a, Y + b) = Cov(X, Y ) Cov(a, X ) = 0 Cov(X + Y, Z + W ) = Cov(X, Z) + Cov(X, W ) + Cov(Y, Z) + Cov(Y, W ) 23 / 28
24 Fortsättning på ex. på s.12 Vi har följande simultana sannolikhetsfördelning för X och Y : x P(y) 0 0,40 0,16 0,04 0,60 y 1 0,17 0,08 0,02 0,27 2 0,05 0,07 0,01 0,13 P(x) 0,62 0,31 0,07 1,00 Vad är väntevärdet för X resp Y? Vad är variansen för X? 24 / 28
25 Stokastisk vs. observerade variabler Det är viktigt att hålla reda på om vi ska utföra beräkningar på stokastiska variabler eller observerade variabler eftersom det finns två separata uppsättningar tillhörande formler. Teori Observation stokastiska variabler observerade värden på stok. variabler sannolikheter relativa frekvenser parametrar, t.ex. µ, σ skattningar av parametrar, t.ex. x, s 2 25 / 28
26 summeringsregler Några viktiga summeringsregler: n a = na i=1 n i=1 x 2 i = x x x 2 n n (x i y i ) = (x 1 y 1 ) + (x 2 y 2 ) (x n y n ) i=1 n ax i = a i=1 n i=1 n (x i + y i ) = i=1 x i n x i + i=1 i=1 i=1 i=1 n i=1 n n n ( x i ) 2 = ( x i )( x i ) y i 26 / 28
27 Formler för observerade variabler Vi har gjort ett slumpmässigt urval med n observationer ifrån en population med N obs. Stickprovet innefattar värden på två variabler, x i och y i. Vi kan då beräkna: Medelvärde: x = Varians: s 2 x = Kovarians: s xy = Korrelation: r xy = n i=1 x i n n i=1 (x i x) 2 n 1 n i=1 (x i x)(y i ȳ) n 1 n i=1 (x i x)(y i ȳ) ( n i=1 (x i x) 2 )( n i=1 (y i ȳ) 2 ) = sxy s x s y Man kan likheten med formlerna för stokastiska variabler. Ibland skrivs parameterskattningarna med en hatt på parametern: ˆµ X = x, ˆσ X = s x, ˆσ XY = s xy ˆρ XY = r xy 27 / 28
28 Nästa föreläsning På nästa föreläsning kommer fortsätta att analysera linjära samband mellan två variabler: Korrelation. Hur kan vi analysera, tolka och utföra hypotestest på korrelationer? Regression. Hur ser modellen ut och hur skattar vi dess parametrar? 28 / 28
Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT Jointly distributed Joint probability function Marginal probability function Conditional probability function Independence
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 31.01.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 31.01.2012 1 / 30 Flerdimensionella
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F6: Betingade fördelningar Exempel: Tillförlitlighet Styrkan hos en lina (wire) kan modelleras enligt en stokastisk variabel Y. En tänkbar modell för styrkan är Weibullfördelning. Den last som linan utsätts
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs merExempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor
Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag Jörgen Säve-Söderbergh Väntevärde för en funktion av en stokastisk variabel Om
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merFöreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013
Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo
Läs merNågra extra övningsuppgifter i Statistisk teori
Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merStokastiska signaler. Mediesignaler
Stokastiska signaler Mediesignaler Stokastiska variabler En slumpvariabel är en funktion eller en regel som tilldelar ett nummer till varje resultatet av ett experiment Symbol som representerar resultatet
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs merF7 forts. Kap 6. Statistikens grunder, 15p dagtid. Stokastiska variabler. Stokastiska variabler. Lite repetition + lite utveckling av HT 2012.
F7 forts. Kap 6 Statistikens grunder, 15p dagtid HT 01 Lite repetition + lite utveckling av Stokastisk variabel Diskreta och kontinuerliga sv Frekvensfunktion (diskr.), Täthetsfunktion (kont.) Fördelningsfunktion
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 1 2012-10-03 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merStokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012
Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala
Läs merKapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 14
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition
Läs mer4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler
Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Stokastiskavariabler Stokastisk variabel (eng: random variable) En variabel vars värde
Läs merFöreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden
Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merFöreläsning 7: Stokastiska vektorer
Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merVäntevärde och varians
TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden Anna Lindgren 20+21 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådim. stokastisk
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merS0005M, Föreläsning 2
S0005M, Föreläsning 2 Mykola Shykula LTU Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 1 / 18 Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler
Läs merS0005M. Stokastiska variabler. Notes. Notes. Notes. Stokastisk variabel (slumpvariabel) (eng: random variable) Mykola Shykula
Mykola Shykula LTU Mykola Shykula (LTU) 1 / 18 Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Mykola Shykula (LTU) 2 / 18 Stokastiska
Läs merTentamen MVE302 Sannolikhet och statistik
Tentamen MVE32 Sannolikhet och statistik 219-6-5 kl. 8:3-12:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Oskar Allerbo, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merSannolikhet och statistik XI
April 219 Betingade väntevärden. Vi ska säga att E[Y X = x] är väntevärdet av den sv som samma förd som Y givet X = x. Definition: Y diskret: E[Y X = x] = y k V Y y k p Y X (y k x), Y kont: E[Y X = x]
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
max/min Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 5 Johan Lindström 25 september 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 1/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik Π + E
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 25 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 1/16 Repetition Summor max/min
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merFöreläsning 6, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merSummor av slumpvariabler
1/18 Summor av slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 9/2 2011 2/18 Dagens föreläsning Parkeringsplatsproblemet Räkneregler för väntevärden Räkneregler
Läs merSannolikheter och kombinatorik
Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter
Läs mer2 x dx = [ x ] 1 = 1 ( 1 (1 0.9) ) 100 = /
Föreläsning 5: Matstat AK för I, HT-8 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I HT-8 FÖRELÄSNING 5: KAPITEL 4.6 7: SUMMOR, MAXIMA OCH ANDRA FUNKTIONER AV S.V. KAPITEL 5. : VÄNTEVÄRDEN, LÄGES- OCH SPRIDNINGSMÅTT EXEMPEL
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler
Läs merFöreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar
Föreläsning 3 Kapitel 4, sid 79-124 Sannolikhetsfördelningar 2 Agenda Slumpvariabel Sannolikhetsfördelning 3 Slumpvariabel (Stokastisk variabel) En variabel som beror av slumpen Ex: Tärningskast, längden
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer
Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F5: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs mer2.1 Mikromodul: stokastiska processer
2. Mikromodul: stokastiska processer 9 2. Mikromodul: stokastiska processer 2.. Stokastiska variabler En stokastiskt variabel X beskrivs av dess täthetsfunktion p X (x), vars viktigaste egenskaper sammanfattas
Läs merFöreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära
Föreläsning 6, Repetition Sannolikhetslära kap 4 Sannolikhetslära och slumpvariabler kap 5 Stickprov, medelvärden, CGS, binomialfördelning Viktiga grundbegrepp utfall, händelse, sannolikheter, betingad
Läs merF8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17
1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Väntevärde, varians, standardavvikelse, kvantiler Uwe Menzel, 28 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Väntevärdet X : diskret eller kontinuerlig slumpvariable
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merBengt Ringnér. October 30, 2006
Väntevärden Bengt Ringnér October 0, 2006 1 Inledning 2 Väntevärden Låt X vara en stokastisk variabel som representerar ett slumpmässigt försök, t ex att mäta en viss storhet. Antag att man kan göra, eller
Läs merFMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 5, a 2 e x2 /a 2, x > 0 där a antas vara 0.6.
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 5, 28-4-6 EXEMPEL (max och min): Ett instrument består av tre komponenter.
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs merF13 Regression och problemlösning
1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-08-15 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merStockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg
Stockholms Universitet Statistiska institutionen Patrik Zetterberg Skriftlig Tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5 hp, VT2012 2012-05-31 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren 27+28 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21 sum/max/min V.v./var Summa av
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 7
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merBengt Ringnér. September 20, Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet LTH vecka 5 HT07.
Väntevärden Bengt Ringnér September 0, 007 1 Inledning Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet LTH vecka 5 HT07. Väntevärden Låt X vara en stokastisk variabel som representerar ett slumpmässigt
Läs merSimulering av elmarknader. EG2205 Föreläsning 11, vårterminen 2016 Mikael Amelin
Simulering av elmarknader EG2205 Föreläsning 11, vårterminen 2016 Mikael Amelin 1 Kursmål Tillämpa stokastisk produktionskostnadssimulering och Monte Carlo-simulering för att beräkna förväntad driftkostnad
Läs merFöreläsning 2, Matematisk statistik för M
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret
Läs merTMS136. Föreläsning 5
TMS136 Föreläsning 5 Två eller flera stokastiska variabler I många situationer är det av intresse att betrakta fler än en s.v. åt gången Speciellt gör man det i statistik där man nästan alltid jobbar med
Läs merFöreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.
Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 79 / TEN 1 augusti 14, klockan 8.00-12.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 28-1474) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merFöreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler
Föreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler Marina Axelson-Fisk 20 april, 2016 Idag: Diskreta stokastiska (random) variabler Frekvensfunktion och fördelningsfunktion Väntevärde Varians Några
Läs merPreliminärt lösningsförslag - omtentamen i Finansiell statistik,
Preliminärt lösningsförslag - omtentamen i Finansiell statistik, 2012-08-22 Uppgift 1a) y x -1 0 1 P(Y = y) -1 1/16 3/16 1/16 5/16 0 3/16 0 3/16 6/16 1 1/16 3/16 1/16 5/16 P(X = y) 5/16 6/16 5/16 1 E[X]
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merTvå parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 28-9-3 Normalfördelningen, X N(µ, σ) f(x) = e (x µ)2 2σ 2, < x < 2π σ.4 N(2,).35.3.25.2.5..5
Läs merFöreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}
Läs merLärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015
Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja
Läs merTMS136. Föreläsning 5
TMS136 Föreläsning 5 Två eller flera stokastiska variabler I många situationer är det av intresse att betrakta fler än en s.v. åt gången Speciellt gör man det i statistik där man nästan alltid jobbar med
Läs merFöreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer
Föreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer Stas Volkov 2017-09-26 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z = X + Y p Z (k)
Läs mer