4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler

Transkript

1 Föreläsning Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler

2 Stokastiskavariabler Stokastisk variabel (eng: random variable) En variabel vars värde är ett numeriskt utfall av ett slumpmässigt fenomen.

3 Diskreta variabler Diskret stokastisk variabel Stokastisk variabel som har ändligt många möjliga värden. (Antal av ngt är ett vanligt exempel) Varje möjligt utfall har en sannolikhet och summan av dessa sannolikheter är 1. null

4 Kontinuerliga variabler Kontinuerlig stokastisk variabel Stokastisk variabel som kan anta alla värden i ett intervall Sannolikhetsfördelningen beskrivs av en täthetsfunktion (fekvensfunktion) Arean under täthetsfunktionen är 1.

5 Exempel: Kasta en skruvkork (diskret) U: Händelsen att öppna sidan är synlig (upp), P(U)=0.7 X = antal gånger U inträffar vid tre kast

6 Exempel: Kasta en skruvkork (diskret) U: Händelsen att öppna sidan är synlig (upp), P(U)=0.7 X = antal gånger U inträffar vid tre kast The probability of any event is the sum of the probabilities p i of the values of X that make up the event. A bottle cap is tossed three times. We define the random variable X as the number of number of times the cap drops with the open side up. What is the probability that at least two Value of X times the cap lands with the open side Probability up ( at least two means two or UDD UUD DUD UDU more )? DDD DDU UUD UUU P(X 2) = P(X=2) + P(X=3) = = What is the probability that cap lands with the open side up fewer than three times? P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = = or P(X<3) = 1 P(X=3) = = 0.657

7 Exempel: Väntetid (kontinuerlig) X = Hur länge man får vänta på nästa tågavgång då tågen avgår 1 gång i timmen

8 Exempel: Väntetid (kontinuerlig) X = Hur länge man får vänta på nästa tågavgång då tågen avgår 1 gång i timmen Intervals The probability of a single event is meaningless for a continuous random variable. Only intervals can have a non-zero probability, represented by the area under the density curve for that interval. The probability of a single event is zero: P(X=1) = (1 1)*1 = 0 Height = 1 X The probability of an interval is the same whether boundary values are included or excluded: P(0 X 0.5) = (0.5 0)*1 = 0.5 P(0 < X < 0.5) = (0.5 0)*1 = 0.5 P(0 X < 0.5) = (0.5 0)*1 = 0.5 P(X < 0.5 or X > 0.8) = P(X < 0.5) + P(X > 0.8) = 1 P(0.5 < X < 0.8) = 0.7

9 Normalfördelningen X N(µ, σ), Z = X µ σ N(0, 1) N(64.5, 2.5) N(0,1) => x Standardized height (no units) z

10 Väntevärde (medelvärde) för stokastiska variabler X är en diskret variabel med utfallsrummet S = {x 1, x 2,..., x k } P(X = x i ) = p i, i = 1,..., k Värde på X x 1 x 2 x k Sannolikheter p 1 p 2 p k µ X = E(X ) = p 1 x 1 + p 2 x p k x k = k p i x i i=1 Obs! Ej samma sak som observerat stickprovsmedelvärde

11 Exempel: Väntevärde vid tärningskast Värde på X Sannolikheter 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 µ X = E(X ) = = 3.5

12 Exempel: Väntevärde vid lotteri X är vinsten (kr) på en lott Värde på X Sannolikheter µ X = E(X ) = = 7.5

13 Väntevärde (medel) för kontinuerlig variabel Väntevärdet ligger i tyngdpunktenför täthetsfunktionen

14 Stora talens lag Om antalet observationer i ett stickprov växer så närmar sig stickprovets medelvärde, x, sig populationens väntevärde µ. Detta gäller för alla populationer/fördelningar

15 Varians för stokastiska variabler X är en diskret variabel med utfallsrummet S = {x 1, x 2,..., x k } P(X = x i ) = p i, i = 1,..., k Värde på X x 1 x 2 x k Sannolikheter p 1 p 2 p k Variansen är σ 2 X = p 1(x 1 µ X ) 2 +p 2 (x 2 µ X ) 2 + +p k (x k µ k ) 2 = k p i (x i µ X ) 2 i=1 Obs! Ej samma sak som observerat stickprovsvarians Stardardavvikelse : σ X = σx 2 σ X och σ 2 X är spridningsmått

16 Lotter forts.. X är vinsten (kr) på en lott Värde på X Sannolikheter µ X = E(X ) = = 7.5

17 Lotter forts.. X är vinsten (kr) på en lott Värde på X Sannolikheter µ X = E(X ) = = 7.5 σ 2 X = 0.97 (0 7.5) ( ) ( ) , σ X = 5194 = 72

18 Räkneregler för väntevärden och varianser (s. 271) Om X och Y är stokastiska variabler med korrelation ρ, 1 ρ 1, och a och b är konstanter, då gäller: µ a+bx = a + bµ X µ X +Y = µ X + µ Y σa+bx 2 = b 2 σx 2 σx 2 +Y = σx 2 + σ2 Y + 2ρσ X σ Y σ 2 X Y = σ 2 X + σ2 Y 2ρσ X σ Y (1)