MSG830 Statistisk analys och experimentplanering

Transkript

1 MSG830 Statistisk analys och experimentplanering Tentamen 16 April 2015, 8:30-12:30 Examinator: Staan Nilsson, telefon , kommer till tentamenslokalen 9:30 och 11:30 Tillåtna hjälpmedel: Valfri kalkylator Antal poäng totalt: 30. För betyget godkänd krävs minst 12 poäng, för väl godkänd 22 poäng 1. På sin väg hem passerar Suzanne två trakljus, A och B. Risken att hon får rött ljus vid A är 40% och samma risk gäller vid B. Chansen att passera båda utan rött ljus är 22%. Vad är risken att hon behöver stanna för rött ljus vid B om hon redan har stannat för rött ljus vid A? 2. Du är medlem i en konstklubb med 21 medlemmar där varje medlem köper en tavla värd 1000 kronor. Vid vårfesten lottas dessa tavlor ut en och en. Varje medlem har samma chans på varje tavla, utom på sin egen som man inte kan vinna alls. (a) Vilken fördelning har det antal tavlor som du vinner? Ange både namnet på fördelningen och storleken på parametrarna. (b) Vad är chansen att vinna mer än en tavla? (c) Antalet medlemmar som får en tavla är en stokastisk variabel Y som kan skrivas som Y = Y 1 + Y Y 21, där Y i = 1 om man vinner något och 0 annars. Utnyttja detta för att bestämma väntevärdet för antalet medlemmar som vinner någon tavla. 3. Vid en rättspsykiatrisk klinik i Småland genomförde man ett försök där de intagna ck en intervention som bestod i 15 lektioner a 45 minuter av specialanpassad lästräning. Nedan visas resultaten från ett test som kallas ordkedja (höga värden är bra) för 11 kvinnor med svenskt modersmål. Patientnummer Före intervention Efter intervention (4p) (4p) Testa om det skett en signikant förbättring. Använd signikansnivå (4p) 4. Regnvattenprover från olika orter på Nya Zeeland med avseende på bland annat svavelhalt. Orterna klassicerades i öst och väst. Deskriptiva data från SPSS visas i guren nedan. (a) Ange ett 95% kondensintervall för skillnaden i svavelkoncentration mellan öst och väst. (b) Bestäm om skillnaden är signikant på signikansnivå (4p) 1

2 5. Man använder ANOVA när man har en normalfördelad variabel vars medelvärde man vill jämföra mellan tre eller er grupper. Det F test som används säger dock inget om vari skillnaderna ligger, utan det får man undersöka med ett post-hoc test. Vi har tittat på två sådana test, Tukey och Dunnet, som tar hänsyn till det som kallas multipelinferens. (a) Anta att vi har 5 grupper. Hur många parvisa jämförelser görs då med Tukey respektive med Dunnet. (b) Vilken av dessa två ger lägst p-värde för jämförelser som görs av båda? (c) Beskriv en situation där det är lämpligt med Dunnet. 6. I en amerikansk studie från 70 talet undersökte man utfallet av villkorlig frigivning hos 80 dömda mördare. Mördarna var klassicerade utifrån om mordet var överlagt eller impulsivt. Undersök på signikansnivå 0.05 om det nns något samband mellan typ av mord och utfallet av villkorlig frigivning. (3p) (4p) 2

3 7. (a) I en enkel linjär regressionanalys angavs den starkt signikanta lutningen till 0.3 och förklaringsgraden till 51.84%. Vad var korrelationen (r)? (b) När man ska analysera ett samband mellan en numerisk variabel X och en annan variabel Y kan man använda sig av den linjära regressionsmodellen Y = β 0 + β 1 X eller X = β 0 + β 1 Y. Vilken/Vilka av följande påstående är sanna? i. Signikansen för lutningen blir samma oavsett modell. ii. Regressionslinjen blir samma oavsett modell iii. Förklaringsgraden blir samma oavsett modell (c) En tidigare studie av sambandet mellan ett kognitivt index, RAKI, och ålder hade funnit ett signikant samband mellan ålder och RAKI på 1.42 enheter per år. Vi försökte replikera detta och fann följande icke signikanta samband. Finns det skäl att ifrågasätta den tidigare studien? Motivera ditt svar. 8. Man vill testa om en normalfördelad variabel X har ett väntevärde som är µ = 100, mot alternativhypotesen att det är större (µ > 100). Standardavvikelsen σ är känd och med stickprovsstorlek n = 25 kan man förkasta H 0 på signikansnivå 0.05 om X > 110. (a) Bestäm σ genom att utveckla P ( X > 110) = = 0.05 under antagandet att µ = 100. (b) Vad behöver X vara för att vi ska kunna förkasta H 0 om vi har ett större stickprov n = 100 men fortfarande signikansnivå α = 0.05? (3p) (4p) 3

4 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x x n n s = 1 n (x i x) n 1 2 i=1 SEM = s/ n För två händelser A och B är gäller Betingade sannolikheter P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Lagen om total sannolikhet P (A B) = P (A B) P (B) Om utfallsrummet indelas i disjunkta händelser A 1,, A k, vars union är hela utfallsrummet, så gäller för varje händelse B P (B) = k P (B A i )P (A i ) i=1 Om P (A B) = P (A) säges A och B vara oberoende. Detta medför också att A och B är oberoende om och endast om P (A B) = P (A)P (B) Stokastiska variabler En diskret stokastisk variabel X kan anta ett ändigt (eller uppräkneligt) antal värden. Sannolikeheten för varje värde bestäms av en sannolikhetsfunktion p p(x) = P (X = x) Väntevärdet av en diskret stokastisk variabel är µ = E[X] = x xp(x) 1

5 och variansen är σ 2 = V [X] = x (x µ) 2 p(x) = E[X 2 ] µ 2 Kontinuerliga stokastiska variabler beskrivs med en täthetsfunktion f(x) 0 för alla x och f(x) = 1 För en kontinuerlig stokastisk variabel X är P (X = x) = 0 för varje x, men P (a X b) = b a f(x) X och Y är oberoende (dvs P (X x Y y) = P (X x)p (Y y) för alla x, y Regler för väntevärden och varians Om a, b är konstanter och X, Y är stokastiska variabler gäller E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] E[a + bx] = a + be[x] V [a + bx] = b 2 V [X] om dessutom X och Y är oberoende så gäller E[XY ] = E[X]E[Y ] och V [X + Y ] = V [X] + V [Y ] Binomialfördelning S bin(n, p) ( ) n P (S = k) = p k (1 p) n k för k = 1, 2,, n k Normalfördelning X N(µ, σ) E[S] = np, V [S] = np(1 p) f(x) = 1 σ 2π e (x µ) 2 2σ E[X] = µ, V [X] = σ 2 2

6 Fördelningen med µ = 0 och σ = 1 kallas standard (el standardiserad) normalfördelning Om X N(µ, σ) så är Z = X µ σ N(0, 1) och om vi har ett stickprov X 1, X 2,, X n så är Z = X µ σ/ n N(0, 1) Ett stickprov X 1, X 2,, X n där varje X i N(µ, σ) Testa H 0 : µ = µ 0 på signikansnivå α med T = x µ 0 s/ n t n 1 (t-fördelning med n 1 frihetsgrader) Förkasta H 0 om T t α/2,n 1 då H a : µ µ 0 Förkasta H 0 om T t α,n 1 då H a : µ > µ 0 Förkasta H 0 om T t α,n 1 då H a : µ < µ 0 Bilda ett tvåsidigt 100(1 α)% kondensintervall med x ± t α/2,n 1 s/ n Om σ av någon anledning råkar vara känt, ersätt s med σ och använd z α/2 i st f t α/2,n 1 Om X i inte är normalfördelad, men stickprovet stort kan vi anta att T ovan är approximativt standard normalfördelad. Parade data (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),, (X n, Y n ) där varje D i = X i Y i N(δ, σ) Testa H 0 : δ = δ 0 (oftast δ 0 = 0) genom att betrakta alla D i som ett stickprov på dierenser och följ anvisningar för ett stickprov. T = x δ 0 s/ n Två stickprov X 1, X 2,, X m och Y 1, Y 2,, Y n Anta X i N(µ 1, σ) och Y i N(µ 2, σ) Poola de två variansskattningarna s 2 1 och s2 2 för X resp Y. 3

7 s 2 p = (m 1)s2 1 + (n 1)s 2 2 m + n 2 och testa H 0 : µ 1 µ 2 = 0 (oftast 0 = 0) på signikansnivå α med T = x ȳ 0 s p 1/m + 1/n t n+m 2 (t-fördelning med n + m 2 frihetsgrader) Förkasta H 0 om T t α/2,n+m 2 då H a : µ 1 µ 2 0 Förkasta H 0 om T t α,n+m 2 då H a : µ 1 µ 2 > 0 Förkasta H 0 om T t α,n+m 2 då H a : µ 1 µ 2 < 0 Bilda ett tvåsidigt 100(1 α)% kondensintervall med x ȳ ± t α/2,m+n 2 s p 1/m + 1/n ANOVA - Fler än två stickprov (k>2) Anta att de olika grupperna är normalfördelade N(µ i, σ), dvs eventuellt olika medelvärden, men samma varians. Man kan då testa H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k mot med H a : någon skillnad mellan medelvärdena F = ˆσ2 B ˆσ 2 W där ˆσ W 2 är den poolade variansen analogt med tvåstickprovsfallet och ˆσ2 B skattning av σ baserad på medelvärdena. är en Förkasta H 0 för stora värden på teststatistikan Test av samband mellan två kategoriska variabler Samla antalen av varje kategoripar i en kontingenstabell med r rader och c kolumner 4

8 1 j c 1 n 11 n 1j n 1c n 1. i n i1 n ij n ij n i. r n r1 n rj n rc n r. n.1 n.j n.c n n i. = c n ij och n.j = j=1 Anta att följande sannolikheter gäller för cellerna och marginalerna 1 j c 1 p 11 n 1j p 1c p 1. i p i1 p ij p ij p i. r p r1 p rj p rc p r. p.1 p.j p.c 1 r i=1 Testa H 0 : p ij = p i. p.j för alla par i, j (dvs oberoende) med n ij χ 2 = (n ij ê ij ) 2 som är approximativt χ 2 fördelad med (r 1)(c 1) frihetsgrader och där ê ij = ni.n.i n. För att approximationen ska vara god bör ê ij 5 för minst 80% av cellerna. ê ij Förkasta H 0 för stora värden på teststatistikan Goodness of t För att testa om en kategorisk variabel med k kategorier följer förutbestämda proportioner p 1, p 2,, p k används ett chi2-test. χ 2 = (n i np i ) 2 np i som är approximativt χ 2 fördelad med k 1 frihetsgrader. För att approximationen ska vara god bör np i 5 för varje i. H 0 förkastas för stora värden på χ 2. Regression Vid linjär regression med n observationspar (x i, y i ) skattar man en linje mha modellen y = β 0 + β 1 x + ɛ där ɛ N(0, σ) är bruset. Skattningar får man genom ˆβ 1 = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2 5

9 ˆβ 0 = ȳ ˆβ 1 x Test av H 0 : β 1 = 0 testas med en teststatistika av typen T = ˆβ 1 se( ˆβ 1 ) som är t fördelad med n 2 frihetsgrader Förklaringsgraden R 2 är den andel av variansen hos Y som förklaras av regressionsmodellen. I enkel linjär regression är R 2 = r 2, där r är Pearsons korrelationskoecient. Korrelation Pearsons korrelationskoecient r är ett mått mellan 1 och 1. (xi x)(y i ȳ) r = (xi x) 2 (y i ȳ) 2 som skattar en motsvarande populationsstorhet ρ. Om X och Y är oberoende så är ρ = 0. Man kan testa H 0 : ρ = 0 med T = r n 2 1 r 2 som är t fördelad med n 2 frihetsgrader och identisk med teststatistikan för H 0 : β 1 = 0 från regressionsanalysen. 6

10 A-6 Appendix Tables Table A.3 Standard Normal Curve Areas Φ(z) P(Z z) Standard normal density curve Shaded area = Φ(z) 0 z z (continued) Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

11 Appendix Tables A-7 Table A.3 Standard Normal Curve Areas (cont.) (z) 5 P(Z # z) z Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

12 Appendix Tables A-9 Table A.5 Critical Values for t Distributions t density curve Shaded area = 0 t, v Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

13 Appendix Tables A-11 Table A.7 Critical Values for Chi-Squared Distributions 2 density curve Shaded area = α 0 α, For v. 40, x 2 a,v, va v 1 z 2 a B9v b Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

14 A-12 Appendix Tables Table A.8 t Curve Tail Areas t curve Area to the right of t 0 t t (continued) Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

15 Appendix Tables A-13 Table A.8 t Curve Tail Areas (cont.) t curve Area to the right of t 0 t t `( 5z) Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.