MSG830 Statistisk analys och experimentplanering

Transkript

1 MSG830 Statistisk analys och experimentplanering Tentamen 18 augusti 2015, 8:30-12:30 Examinator: Staan Nilsson, telefon , kommer till tentamenslokalen 9:30 och 11:30 Tillåtna hjälpmedel: Valfri kalkylator Antal poäng totalt: 30. För betyget godkänd krävs minst 12 poäng, för väl godkänd 22 poäng 1. Vi har två händelser A och B med P(A)=0.3 och P(B)=0.5. Sannolikheten att varken A eller B händer är 0.4 (a) Undersök om A och B är oberoende? P (A B) = = 0.6 P (A B) = P (A)+P (B) P (A B) = = = = P (A)P (B) Alltså är A och B inte oberoende (b) Bestäm P (A B) och P (B A) P (A B) = P (B A) = P (A B) P (B) P (A B) P (A) = = 0.4 = = På en passcentral har två tjänstemän, Inger och Bengt, tråkigt och spelar om längden på de sökande. Om den ligger inom en standardavvikelse från medel (med hänsyn taget till kön och ålder) ska Inger betala 10 kronor till Bengt, medan Bengt ska betala 20 kronor till Inger om den ligger utanför. Hur mycket förväntas Inger tjäna (alternativt förlora) om det kommer 150 sökanden på en dag? Vi kan anta att längden är normalfördelad. Låt Ingers förtjänst vid en kund betcknas X. Då är P (X = 20) = P ( Z > 1) = 2P (Z < 1) = = P (X = 10) = P ( Z < 1) = = och då blir hennes totala förtjänst efter 150 kunder 150( ) = 71.7 (4p) Inger förväntas alltså förlora ca 72 kronor (4p) 3. Två batterityper A och B testades med avseende på livslängd. Tolv batterier av vardera typ användes. För typ A var den genomsnittliga livslängden 527 dagar med en standardavvikelse på 123 dagar. För typ B var motsvarande värden 488 resepektive 102 dagar. (a) Gör lämpliga antaganden och bestäm ett 95%igt kondensintervall för skillnaden i livslängd. Vi antar att livslängden är normalfördelad med samma varians i båda typerna och börjar med att poola variansen s p = (12 1) (12 1)

2 tfraktilen är t 0.05/2,22 = Det 95%iga kondensintervallet blir då ± /12 + 1/12 = 39 ± 96 = ( 57, 135) (b) Är det en signikant skillnad på livslängderna? Använd α = Nej, det är ingen signikant skillnad. Vi ser det direkt genom att utnyttja korresponensen mellan intervall och test. Kondensintervallet (95%) ovan täckte 0 och därmed är motsvarande test (α = 0.05) inte signikant. 4. Knatte, Fnatte och Tjatte kastade pil en kväll och ck summorna 24, 18 och 16. Trots Kalles uppmaning att gå och lägga sig var de uppe hela natten och spelade dataspel. Dagen därpå var det tävling i Gröngölingsklubben och de ck nu resultaten 22, 16 och En genomsnittlig sänkning med 3 poäng! skrek Kalle. Ni får en veckas utegångsförbud! - Orättvist, sa Fnatte. Det kan vara en slumpmässig försämring har professor Ludwig lärt mig. Om vi gör ett tvåsidigt tvåstickprovs t-test blir p-värdet 0.5 och då är det inte ens nära signikant på 0.05-nivå. - Fuskpelle, sa Kalle. Du skulle lyssnat bättre på Ludwig. Det är ett olämpligt test och dessutom bör alternativhypotesen vara ensidig. När jag gör på mitt sätt så blir det signikant på 0.05-nivå. - Orättvist, vrålade Fnatte igen. Jag hade 16 båda gångerna. Varför ska jag straas? - Aha, sa Kalle. Att ditt resultat var oförändrat struntar jag i för det kan vara en slump, men jag utgick i min beräkning från att er inbördes ordning var densamma. Minns du vad de andra hade före och efter? - Ja, Tjatte vann båda gångerna, sa Fnatte. (a) Veriera Kalles första resultat (P<0.05). Kalle gjorde ett parat t-test där hans alternativhypotes var att resultaten försämrats. Med antagande om samma inbördes ordning var dierenserna (före minus efter) 2,2,5 med medel 3. 1 s = 3 1 ((2 3)2 + (2 3) 2 + (5 3) 2 ) = 3 och T = 3 3/ 3 = 3 Det kritiska värdet för enkelsidigt t-test med 2 frihetsgrader på nivå 0.05 är 2.92 så eftersom 3>2.92 stämmer det att Kalle fann en signikant försämring. (b) Utför Kalles test efter Fnattes information och bestäm om de ska utegångsförbud eller ej. Efter Tjattes information blev dierenserna 2,0,7 med medel 3. 1 s = 3 1 ((2 3)2 + (0 3) 2 + (7 3) 2 ) = 13 (4p) och T = 3 13/ 3 = 1.44 Nu har vi att 1.44<2.92 och det är alltså inte längre signikant, så barnen slipper utegångsförbud (4p) 2

3 5. Efter kärnkraftsolyckan i Tjernobyl 1986 ville 81% avveckla kärnkraften medan 19% ville ha den kvar (av dem som hade en åsikt) enligt SOM-institutet. År 2010 hade opinionen svängt så att motsvarande siror var 37% respektive 63%. Så kom olyckan i Fukishama på våren 2011 och de nya var sirorna var 50% resp 50%. Huruvida förändringarna är signikanta eller ej beror förstås på antalet svarande. Undersök om det skett en signikant (α = 0.05) förändring i opinion mellan 2010 och 2011 under antagandet att det var 200 svarande med åsikt varje år (I verkligheten var förstås antalet svarande i SOM-undersökningen betydligt er). (4p) 6. I en undersökning av relationen mellan CO 2 utsläpp i ton och år fann man följande samband. med korrelationen CO 2 = (År 1965) (a) Hur stor del av variansen i koldioxidutsläpp beror på att de härrör från olika år? Det som efterfrågas är förklaringsgraden R 2. I enkel linjär regression gäller R 2 = r 2 = ( 0.993) 2 = 98.6% (b) Vad är utsläppet enligt modellen år 2000? Kommentera resultatet. CO 2 = ( ) = 838 Vi har fått ett orimligt resultat. Det kan ju inte nnas negativa utsläpp, så modellen måste ha baserats på värden före år 2000 och en extrapolation till områden som inte är undersökta är alltid riskfylld. 7. Mördarsniglar är ett gissel i svenska trädgårdar. Karl och Jenny gjorde examensarbete på ett kemiföretag där de testade eektiviteten av olika bekämpningsmedel. Karl testade metod A och B, medan Jenny testade metod C och D. Tio försök utfördes med varje metod och resultatvariablen i varje försök var andelen fångade sniglar. I sina rapporter gjorde båda två ett tvåstickprovs t-test för att jämföra sina metoder. Karl fann en signikant skillnad mellan A och B, medan Jenny inte fann ngn signikant skillnad mellan C och D. Deras handledare Magdalena slog samman de två undersökningarna i en och sammanfattade att det inte fanns några signikanta skillnader mellan de 4 metoderna. (a) Vilken analys bedömer du att handledaren gjorde? Eftersom examensarbetarna gjorde tvåstickprovstest för att jämföra utfallet mellan två behandlingar bör hon ha gjort en ANOVA. (b) Vilken fördelningen hade hennes teststatistika (ange namnet på fördelningen och frihetsgrader)? Det primära testet i ANOVAn som testar hypotesen H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 är F-fördelat med med frihetsgraderna k 1, n k där k = 4 är antalet grupper och n = 4 10 är totala antalet observationer, dvs F 3,36 (c) Förklara varför hennes slutsats skiljer sig från Karls. ANOVAN tar hänsyn till multipelinferens, dvs att med era grupper är det inte så konstigt om några skiljer sig ganska mycket, medan Karls analys bara fokuserade på just grupperna A och B. (3p) (3p) 3

4 8. En stor leverans med kakelplattor kontrolleras genom att 50 paket undersöks och leveransen godkänns om högst två paket innehåller defekta plattor. Gör lämpliga antaganden och beräkna vad sannolikheten är att förkasta leveransen om risken att ett paket innehåller defekta plattor är 10%. Vi antar att paketen är oberoende och därmed blir X, antalet paket med defekta plattor, binomialfördelat bin(50, 0.1) P (Förkasta leverans) = 1 P (Godkänna leverans) = 1 P (X = 0) P (X = 1) P (X = 2) ( ) 50 = (4p) 4

5 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x x n n s = 1 n (x i x) n 1 2 i=1 SEM = s/ n För två händelser A och B är gäller Betingade sannolikheter P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Lagen om total sannolikhet P (A B) = P (A B) P (B) Om utfallsrummet indelas i disjunkta händelser A 1,, A k, vars union är hela utfallsrummet, så gäller för varje händelse B P (B) = k P (B A i )P (A i ) i=1 Om P (A B) = P (A) säges A och B vara oberoende. Detta medför också att A och B är oberoende om och endast om P (A B) = P (A)P (B) Stokastiska variabler En diskret stokastisk variabel X kan anta ett ändigt (eller uppräkneligt) antal värden. Sannolikeheten för varje värde bestäms av en sannolikhetsfunktion p p(x) = P (X = x) Väntevärdet av en diskret stokastisk variabel är µ = E[X] = x xp(x) 1

6 och variansen är σ 2 = V [X] = x (x µ) 2 p(x) = E[X 2 ] µ 2 Kontinuerliga stokastiska variabler beskrivs med en täthetsfunktion f(x) 0 för alla x och f(x) = 1 För en kontinuerlig stokastisk variabel X är P (X = x) = 0 för varje x, men P (a X b) = b a f(x) X och Y är oberoende (dvs P (X x Y y) = P (X x)p (Y y) för alla x, y Regler för väntevärden och varians Om a, b är konstanter och X, Y är stokastiska variabler gäller E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] E[a + bx] = a + be[x] V [a + bx] = b 2 V [X] om dessutom X och Y är oberoende så gäller E[XY ] = E[X]E[Y ] och V [X + Y ] = V [X] + V [Y ] Binomialfördelning S bin(n, p) ( ) n P (S = k) = p k (1 p) n k för k = 1, 2,, n k Normalfördelning X N(µ, σ) E[S] = np, V [S] = np(1 p) f(x) = 1 σ 2π e (x µ) 2 2σ E[X] = µ, V [X] = σ 2 2

7 Fördelningen med µ = 0 och σ = 1 kallas standard (el standardiserad) normalfördelning Om X N(µ, σ) så är Z = X µ σ N(0, 1) och om vi har ett stickprov X 1, X 2,, X n så är Z = X µ σ/ n N(0, 1) Ett stickprov X 1, X 2,, X n där varje X i N(µ, σ) Testa H 0 : µ = µ 0 på signikansnivå α med T = x µ 0 s/ n t n 1 (t-fördelning med n 1 frihetsgrader) Förkasta H 0 om T t α/2,n 1 då H a : µ µ 0 Förkasta H 0 om T t α,n 1 då H a : µ > µ 0 Förkasta H 0 om T t α,n 1 då H a : µ < µ 0 Bilda ett tvåsidigt 100(1 α)% kondensintervall med x ± t α/2,n 1 s/ n Om σ av någon anledning råkar vara känt, ersätt s med σ och använd z α/2 i st f t α/2,n 1 Om X i inte är normalfördelad, men stickprovet stort kan vi anta att T ovan är approximativt standard normalfördelad. Parade data (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),, (X n, Y n ) där varje D i = X i Y i N(δ, σ) Testa H 0 : δ = δ 0 (oftast δ 0 = 0) genom att betrakta alla D i som ett stickprov på dierenser och följ anvisningar för ett stickprov. T = x δ 0 s/ n Två stickprov X 1, X 2,, X m och Y 1, Y 2,, Y n Anta X i N(µ 1, σ) och Y i N(µ 2, σ) Poola de två variansskattningarna s 2 1 och s2 2 för X resp Y. 3

8 s 2 p = (m 1)s2 1 + (n 1)s 2 2 m + n 2 och testa H 0 : µ 1 µ 2 = 0 (oftast 0 = 0) på signikansnivå α med T = x ȳ 0 s p 1/m + 1/n t n+m 2 (t-fördelning med n + m 2 frihetsgrader) Förkasta H 0 om T t α/2,n+m 2 då H a : µ 1 µ 2 0 Förkasta H 0 om T t α,n+m 2 då H a : µ 1 µ 2 > 0 Förkasta H 0 om T t α,n+m 2 då H a : µ 1 µ 2 < 0 Bilda ett tvåsidigt 100(1 α)% kondensintervall med x ȳ ± t α/2,m+n 2 s p 1/m + 1/n ANOVA - Fler än två stickprov (k>2) Anta att de olika grupperna är normalfördelade N(µ i, σ), dvs eventuellt olika medelvärden, men samma varians. Man kan då testa H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k mot med H a : någon skillnad mellan medelvärdena F = ˆσ2 B ˆσ 2 W där ˆσ W 2 är den poolade variansen analogt med tvåstickprovsfallet och ˆσ2 B skattning av σ baserad på medelvärdena. är en Förkasta H 0 för stora värden på teststatistikan Test av samband mellan två kategoriska variabler Samla antalen av varje kategoripar i en kontingenstabell med r rader och c kolumner 4

9 1 j c 1 n 11 n 1j n 1c n 1. i n i1 n ij n ij n i. r n r1 n rj n rc n r. n.1 n.j n.c n n i. = c n ij och n.j = j=1 Anta att följande sannolikheter gäller för cellerna och marginalerna 1 j c 1 p 11 n 1j p 1c p 1. i p i1 p ij p ij p i. r p r1 p rj p rc p r. p.1 p.j p.c 1 r i=1 Testa H 0 : p ij = p i. p.j för alla par i, j (dvs oberoende) med n ij χ 2 = (n ij ê ij ) 2 som är approximativt χ 2 fördelad med (r 1)(c 1) frihetsgrader och där ê ij = ni.n.j n. För att approximationen ska vara god bör ê ij 5 för minst 80% av cellerna. ê ij Förkasta H 0 för stora värden på teststatistikan Goodness of t För att testa om en kategorisk variabel med k kategorier följer förutbestämda proportioner p 1, p 2,, p k används ett chi2-test. χ 2 = (n i np i ) 2 np i som är approximativt χ 2 fördelad med k 1 frihetsgrader. För att approximationen ska vara god bör np i 5 för varje i. H 0 förkastas för stora värden på χ 2. Regression Vid linjär regression med n observationspar (x i, y i ) skattar man en linje mha modellen y = β 0 + β 1 x + ɛ där ɛ N(0, σ) är bruset. Skattningar får man genom ˆβ 1 = (xi x)(y i ȳ) (xi x) 2 5

10 ˆβ 0 = ȳ ˆβ 1 x Test av H 0 : β 1 = 0 testas med en teststatistika av typen T = ˆβ 1 se( ˆβ 1 ) som är t fördelad med n 2 frihetsgrader Förklaringsgraden R 2 är den andel av variansen hos Y som förklaras av regressionsmodellen. I enkel linjär regression är R 2 = r 2, där r är Pearsons korrelationskoecient. Korrelation Pearsons korrelationskoecient r är ett mått mellan 1 och 1. (xi x)(y i ȳ) r = (xi x) 2 (y i ȳ) 2 som skattar en motsvarande populationsstorhet ρ. Om X och Y är oberoende så är ρ = 0. Man kan testa H 0 : ρ = 0 med T = r n 2 1 r 2 som är t fördelad med n 2 frihetsgrader och identisk med teststatistikan för H 0 : β 1 = 0 från regressionsanalysen. 6

11 A-6 Appendix Tables Table A.3 Standard Normal Curve Areas Φ(z) P(Z z) Standard normal density curve Shaded area = Φ(z) 0 z z (continued) Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

12 Appendix Tables A-7 Table A.3 Standard Normal Curve Areas (cont.) (z) 5 P(Z # z) z Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

13 Appendix Tables A-9 Table A.5 Critical Values for t Distributions t density curve Shaded area = 0 t, v Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

14 Appendix Tables A-11 Table A.7 Critical Values for Chi-Squared Distributions 2 density curve Shaded area = α 0 α, For v. 40, x 2 a,v, va v 1 z 2 a B9v b Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

15 A-12 Appendix Tables Table A.8 t Curve Tail Areas t curve Area to the right of t 0 t t (continued) Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

16 Appendix Tables A-13 Table A.8 t Curve Tail Areas (cont.) t curve Area to the right of t 0 t t `( 5z) Copyright 2010 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the ebook and/or echapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.