Mälardalens Högskola. Formelsamling. Statistik, grundkurs

Transkript

1 Mälardalens Högskola Formelsamling Statistik, grundkurs Höstterminen 2015

2 Deskriptiv statistik Populationens medelvärde (population mean): μ = X N Urvalets medelvärde (sample mean): X = X n Där N är storleken på populationen och n är storleken på urvalet. Geometriskt medelvärde (geometric mean): n GM = (X 1 ) (X 2 ) (X 3 )... (X n ) Population standard deviation: Populationens standardavvikelse: σ = (X μ)2 N Sample standard deviation: Urvalets standardavvikelse: s = (X X ) 2 n 1 Fraktiler Location of a percentile Location of a quartile Location of the median Percentil formeln Kvartil formeln Median formeln L p = (n + 1) P 100 L q = (n + 1) Q 4 L m = (n + 1) 1 2 Skewness, (snedfördelning) Pearson s measure of skewness sk = 3(X Median) s Sannolikhetslära Komplement regeln (complement rule) P(A) = 1 P(~A) Adderingsregeln (general rule of addition) P(A eller B) = P(A) + P(B) P(A och B) Multiplikationsregeln (general rule of multiplication) P(A och B) = P(A) P(B A)

3 Kombinationsformeln (combination formula) Det totala antalet kombinationer av r element från en population av n element. n! n C r r! n r! Permutationsformeln (permutation formula) Det totala antalet permutationer (ordnade kombinationer) av r element från en population av n element. P r n n! n r! Diskreta sannolikhetsfördelningar (Discrete probability distributions) Medelvärde (väntevärde) av en diskret sannolikhetsfördelning (Mean) μ = x P(x) Varians av en diskret sannolikhetsfördelning (Variance) σ 2 = (x μ) 2 P(x) Binomiala sannolikhetsfördelningar (Binomial probability distributions) Sannolikheten för ett specifikt utfall: P där: n: antalet försök π: sannolikheten av ja vid varje enskilt försök C : n x Det totala antalet kombinationer av x element från en population av n element. Medelvärde (väntevärde) av en binomial sannolikhetsfördelning (Mean) n Varians av en binomial sannolikhetsfördelning (Variance) 2 n 1 Hypergeometriska sannolikhetsfördelningar (Hypergeometric probability distributions) Sannolikheten för ett specifikt utfall: där: N är storleken på populationen S är antalet ja i populationen x antalet ja i urvalet n är storleken på urvalet C Det totala antalet kombinationer av r element från en population av n element. n x x n 1 x P x r n C x S Cx N S Cnx C N n

4 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (Continious probability distributions) Uniforma kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (uniform probability distribution) Sannolikheten att utfallet för x ligger i intervallet mellan c och d: P(c < x < d) = d c b a Där a och b är fördelningens minsta och största värde. Medelvärde (väntevärde) av en uniform kontinuerlig sannolikhetsfördelning (mean) μ = a+b 2 Varans av en uniform kontinuerlig sannolikhetsfördelning (variance) σ 2 = (b a)2 12 Normalfördelningen (Normal probability distribution) Transformering av godtycklig normalfördelning till standardiserade normalfördelningen (Standard normal probability distribution) X μ z = σ Där X är ett värde från en normalfördelning med medelvärde μ och standardavvikelsen σ. Inferens Centrala gränsvärdessatsen (Central limit theorem) Urvalsmedelvärdenas standardavvikelse (standard deviation of the sample mean) σ x = σ n Där σ x standardavvikelsen av medelvärdena från alla möjliga urval av storleken n σ standardavvikelsen av X hos individerna i populationen Konfidensintervall för populationens medelvärde (confidence interval for population mean) X ± t s n X ± t s n ( N n N 1 ) Där t är ett värde från students-t fördelningen som motsvarar önskad konfidensgrad med n-1 antal frihetsgrader. Konfidensintervall för andel i populationen (confidence interval for population proportion) p ± z p(1 p) n p ± z p(1 p) ( N n ) n N 1 Där p är andelen i vårt urval Z är ett värde från z fördelningen som motsvarar önskad konfidensgrad.

5 Urvalsstorlek för estimering av medelvärde respektive andelar (Sample size) n = ( Zσ E )2 n = π(1 π) ( Z E )2 Där: E är maximal tolererade felmarginal (halva konfidensintervallets bredd) π är andelen i populationen Hypotestest (test of hypothesis) Hypotestest av populationens medelvärde (hypothesis of a population mean) z = X μ σ n t = X μ s n DärX är urvalets medelvärde och µ det hypotetiska medelvärdet i populationen. Frihetsgraderna ges av: df = n 1 Hypotestest av medelvärden från två olika populationer (Two sample test of hypothesis of population mean) t = X 1 X 2 s 1 2 n1 + s 2 2 n2 Där frihetsgraderna ges av: df = ( s 1 2 n1 + s 2 2 n2 ) 2 ( s n1 ) s 2 2 ( n1 1 + n2 ) n2 1 Hypotestest av varianser från två olika populationer (Two sample test of hypothesis of population variance) F = s 1 2 s 2 2 Där frihetsgraderna ges av: täljare, numerator = (n 1 1), nämnare, denominator = (n 2 1) Hypotestest från två beroende urval (dependent samples, paired t-test) d t = s d n Där d är medelvärdet av differenserna mellan två observationer på samma element och s d är differensernas standardavvikelse. Frihetsgraderna ges av: df = n 1 Hypotestest av andelar i populationen (hypothesis of a population proportion) p π z = π(1 π) n Där p är andelen i urvalet och π det hypotetiska värdet av andelen i populationen.

6 Hypotestest av andelar från två olika populationer (Two sample test of hypothesis of population proportion) p 1 p 2 z = p c (1 p c ) + p c (1 p c ) n1 n2 Där: p c är den polade urvalsandelen som ges av: p c = X 1+X 2 n 1 +n 2 X 1 antalet som har egenskapen i den första populationen X 2 antalet som har egenskapen i den andra populationen Chi-Square test-statistika χ2 = ( (f 0 f e ) 2 f e ) Med antalet kategorier minus en frihetsgrader Där: f 0 = observerad frekvens i en specifik kategori f e = förväntad frekvens i en specifik kategori Test av beroende i korstabell (contingency table analysis) Förväntad frekvens ges av: (rad summa)(kolumn smma) f e = total summa Antalet frihetsgrader i Chi Square fördelningen är lika med antalet rader minus ett, gånger antalet kolumner minus ett. Teckentest (The sign test) z = (X±0.50) 0.50n 0.50 n Där: X antalet plustecken eller minustecken i urvalet. (Ta plus 0,50 om X är mindre än 50 % av urvalsstorleken, annars minus 0,50.) Wilcoxons rangsummetest (Wilcoxons rang sum Test) z = W n 1(n1+n2+1) 2 n 1n2 (n 1+n2+1) 12 Där: W är rangsumman i grupp 1 n 1 är urvalstorleken i grupp 1 n 2 är urvalstorleken i grupp 2

7 Regressionsanalys (Regression Analysis) Multipel linjär regressionsmodell ( Multiple regression equation) y = α + β 1 x 1 + β 2 x ε Predikterade värden (predicted values) y = a + b 1 x 1 + b 2 x Residualer (Residuals) e = y y = y a b 1 x 1 b 2 x 2... Hypotestest av regressionskoefficienter (hypothesis of a population coefficient of regression) t = b 0 Med n k 1 frihetsgrader där k är antalet oberoende variabler i modellen. s b Konfidensintervall för regressionskoefficienter (coefficient of regression) b ± t s b Där t har n k 1 frihetsgrader. Residual standardavvikelsen, (Standard error of the estimate) s y.x = (y i y i) 2 n k 1 = SSE n k 1 Determinationskoefficienten, förklaringsgraden (coefficient of determination) R 2 = 1 (y i y i) 2 = 1 SSE = SSR (y i y ) 2 SST SST Den justerade determinationskoefficienten, justerade förklaringsgraden (adjusted coefficient of determination) 2 R adj = 1 (y i y i) 2 n k 1 (y i y ) 2 n 1 = 1 SSE n k 1 SST n 1 Index Laspeyre Price Index I L 0,t = p tq p 0 q 0 Paasches Price index I P 0,t = p tq t p 0 q t 100 Där: p 0 = Pris vid tidpunkt 0 p t = Pris vid tidpunkt t q 0 = Kvantitet vid tidpunkt 0 q t = Kvantitet vid tidpunkt t

8 Appendix B: Tables B.1 Areas under the Normal Curve Example: If z = 1.96, then P(0 to z) = z z

9 Appendix B B.2 Student s t Distribution t t t 0 t Confidence interval Left-tailed test 0 t t 0 t Right-tailed test Two-tailed test Confidence Intervals, c 80% 90% 95% 98% 99% 99.9% Level of Significance for One-Tailed Test, df Level of Significance for Two-Tailed Test, Confidence Intervals, c 80% 90% 95% 98% 99% 99.9% Level of Significance for One-Tailed Test, df Level of Significance for Two-Tailed Test, (continued ) 765

10 Appendix B B.2 Student s t Distribution (concluded ) Confidence Intervals, c 80% 90% 95% 98% 99% 99.9% Level of Significance for One-Tailed Test, df Level of Significance for Two-Tailed Test, Confidence Intervals, c 80% 90% 95% 98% 99% 99.9% Level of Significance for One-Tailed Test, df Level of Significance for Two-Tailed Test,

11 Appendix B B.3 Critical Values of Chi-Square This table contains the values of 2 that correspond to a specific right-tail area and specific number of degrees of freedom. Example: With 17 df and a.02 area in the upper tail, Degrees of Right-Tail Area Freedom, df

12 Appendix B B.4 Critical Values of the F Distribution at a 5 Percent Level of Significance.05 0 F Degrees of Freedom for the Numerator Degrees of Freedom for the Denominator

13 Appendix B B.4 Critical Values of the F Distribution at a 1 Percent Level of Significance (concluded ).01 0 F Degrees of Freedom for the Numerator Degrees of Freedom for the Denominator

14 Appendix B B.7 Wilcoxon T Values n ,318 1,276 1,211 1,192 1,168 1,136 1, ,688 1,638 1,560 1,537 1,509 1,471 1, ,105 2,045 1,955 1,928 1,894 1,850 1,