Tabell- och formelsamling. A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer

Transkript

1 Tabell- och formelsamling A4 Grundläggande Statistik A8 Statistik för ekonomer Observera att inga anteckningar får finnas i formelsamlingen vid tentamenstillfället Thommy Perlinger 17 september 2015

2 Innehåll 1 Beskrivande statistik Medelvärdeochstandardavvikelse Empiriskaregeln(normalfördelningsregeln) Geometrisktmedelvärde Fraktiler Medianochkvartiler Medianberäkningvidklassindelatmaterial Index Prisindex Deflatering Standardvägning Direkt standardisering (Standardpopulationsmetoden) Indirekt standardisering (Kapacitetsmetoden) Samband mellan variabler Någraanvändbarasummor Kovariansochkorrelation Enkel linjär regression Sambandmellanordinalskalevariabler Sannolikhetslära Atträknamedsannolikheter Kombinatorik Diskretaslumpvariabler Någradiskretasannolikhetsfördelningar Hypergeometrisk fördelning: ( ) Binomialfördelningen: ( ) Egenskaper hos stickprovsmedelvärde, stickprovssumma och stickprovsandel Statistisk inferens Konfidensintervall Konfidensintervall för Konfidensintervall för Konfidensintervall för Konfidensintervall för Att bestämma nödvändig stickprovsstorlek Konfidensintervall för (eller 2 ) Hypotesprövning

3 4.2.1 Testfunktion för Testfunktion för Testfunktion för Testfunktion för Att bestämma stickprovsstorlek utifrån villkor på och metoden Testfunktion för 2 (och ) Testfunktion för (och 1 2 ) Tabeller Binomialfördelningen Normalfördelningen fördelningen fördelningen fördelningen Kritiskavärdenförrangsummatest Kritiska värden för teckenrangtest vid parvisa observationer. 36 2

4 Anmärkning 1 För att förenkla notation i samband med summatecken har ideflesta fall summationsgränserna utelämnats. Symbolen P ska vid summering i samband med populationsberäkning tolkas som P =1 och i samband med stickprovsberäkning tolkas som P =1. 1 Beskrivande statistik 1.1 Medelvärde och standardavvikelse Vi betraktar en kvantitativ variabel på intervall- eller kvotskala. I en population finns individer med värden 1 2. Då gäller att populationens (aritmetiska) medelvärde och standardavvikelse beräknas via = P s P ( ) 2 = = rp 2 2 Ett stickprov omfattande observationer betecknade 1 2 tas från den aktuella populationen. Stickprovets medelvärde och standardavvikelse beräknas via = = P s P ( ) 2 1 = s P 2 ( ) 2 1 Om data är uppställd i en frekvenstabell används lämpligen = = P s P 2 ( ) 2 1 3

5 1.2 Empiriska regeln (normalfördelningsregeln) För en symmetrisk (klockformad) fördelning gäller att ca 68% av populationen befinner sig inom 1 standardavvikelse från medelvärdet, dvs i intervallet till +. ca 95% av populationen befinner sig inom 2 standardavvikelser från medelvärdet, dvs i intervallet 2 till +2. Nästan hela populationen befinner sig inom 3 standardavvikelser från medelvärdet, dvs i intervallet 3 till Geometriskt medelvärde Det geometriska medelvärdet av 1 2 beräknas via = 1 2 =( 1 2 ) Fraktiler I detta avsnitt förutsätts att observationerna rangordnats från lägsta till högsta Median och kvartiler 1 = Värdet på observation ( +1)4 = Värdet på observation ( +1)2 3 = Värdet på observation 3 ( +1) Medianberäkning vid klassindelat material Lokalisera den klass där den mittersta observationen befinner sig. Medianen beräknas sedan med följande formel. Kum.frek. innan medianklassen 2 = Nedre klassgräns + Klassbredd Klassfrekvens På motsvarande sätt kan man beräkna andra fraktiler genom att byta 2 motönskatvärde. 4

6 1.5 Index Prisindex För indexberäkning låter vi och vara pris och kvantitet för en vara vid tidpunkt, samt 0 och 0 pris och kvantitet för samma vara vid bastidpunkten 0. Observera att summering gäller samtliga varor. Laspeyres fastbasindex Paasches fastbasindex Laspeyres kedjeindex 0 = 0 = P 0 P P P = (-1) =100 1 Q där indexlänkarna ges via (+1) =0 (+1) = P +1 P Paasches kedjeindex 0 = (-1) =100 1 Q där indexlänkarna ges via (+1) =0 (+1) = P P Deflatering I formeln förutsätts att konsumentprisindex (KPI) används som deflator. Vi får att där Fast = Löp KPI 0 KPI Fast = Fast pris år beräknat för den prisnivå som gällde år 0. Löp = Löpande pris år 5

7 1.6 Standardvägning Direkt standardisering (Standardpopulationsmetoden) Vid standardvägning enligt standardpopulationsmetoden gäller att = P P där = Standardvägt medelvärde för population = Frekvens för standardpopulation, kategori = Medelvärde för population, kategori Indirekt standardisering (Kapacitetsmetoden) Vid standardvägning enligt kapacitetsmetoden gäller att där = P P = Hypotetiskt medelvärde för population = Frekvens för population, kategori = Medelvärde för normpopulation, kategori Vi kan sedan beräkna ett kapacitetsindex för population via kap = 100 där = Medelvärde för population 6

8 2 Samband mellan variabler Vi betraktar två variabler, och. För att få ett mått på sambandet mellan och tas ett stickprov om individer från den aktuella populationen som ger de parvisa observationerna ( 1 1 ) ( 2 2 ) ( ).Ominget annat anges förutsätts variablerna vara kvantitativa som mäts på intervalleller kvotskala. 2.1 Några användbara summor X ( ) 2 = X 2 (P ) 2 X ( ) 2 = X 2 (P ) 2 X ( )( ) = X P P 2.2 Kovarians och korrelation Ettmåttpåsambandetmellan och fås via kovariansen P ( )( ) ( ) = = 1 Kovariansen är skalberoende. Ett mått på sambandet som inte är skalberoende är korrelationskoefficienten (produktmomentkorrelationskoefficienten, Pearson) = P ( )( ) = q P ( ) 2 P ( ) 2 Vid enkel linjär regression ges determinationskoefficienten (förklaringsgraden) av 2 = Enkel linjär regression Vid anpassning av en rät linje b = + till ett material med parvisa observationer blir lösningen enligt minsta kvadratmetoden P ( )( ) = P ( ) 2 = 7

9 2.4 Samband mellan ordinalskalevariabler Då variablerna mäts på ordinalskalan kan sambandet mätas med Spearmans rangkorrelationskoefficient som baseras på observationernas rangordningstal (ranger). P = q P q 2 P = 2 P q P 2 q P 2 ( ) 2 ( ) 2 där och är variablernas rangordningstal då de är sorterade i storleksordning från lägst till högst. Då det inte förekommer lika värden (ties) finns en alternativ beräkningsmetod. =1 6 P 2 ( 2 1) där är differensen mellan rangtalen i det :te observationsparet. 8

10 3 Sannolikhetslära 3.1 Att räkna med sannolikheter Låt och vara två händelser. Då Pr () betecknar sannolikheten för att inträffar, betecknar Pr sannolikheten att inte inträffar. Pr ( ) är sannolikheten för att åtminstone en av och inträffar och Pr ( ) är sannolikheten för att både och inträffar. Additionssatsen ger att Pr ( ) =Pr()+Pr() Pr ( ) Den betingade sannolikheten att inträffar givet att vi vet att inträffat ges av Pr ( ) Pr ( ) = Pr () För händelsen gäller 0,om och disjunkta Pr ( ) = Pr ()Pr(),om och oberoende Pr ( )Pr() =Pr( )Pr(),iövrigafall Låt händelserna 1 2 vara en disjunkt uppdelning av utfallsrummet, dvs Då gäller att = 6= =1 = 1 2 = Pr () = X Pr ( )Pr( ) som kallas för satsen om total sannolikhet. Vidare gäller att =1 Pr ( ) = Pr ( )Pr( ) P =1 Pr ( )Pr( ) som kallas för Bayes sats (eller Bayes regel). 9

11 3.2 Kombinatorik På hur många sätt kan man dra bollar ur en urna som innehåller bollar. Dragning med återläggning med hänsyn tagen till ordningen: Dragning utan återläggning med hänsyn tagen till ordningen: Antalet permutationer (ordnade delmängder) =! ( )! Dragning utan återläggning utan hänsyn tagen till ordningen: Antalet kombinationer (delmängder) µ! =! ( )! = 3.3 Diskreta slumpvariabler För en diskret slumpvariabel,, anges sannolikheten för ett visst värde,, som () =Pr( = ). Väntevärdet för beräknas som = () = P () där summationen görs över alla värden som kan anta. Variansen för beräknas via 2 = () = P ( ) 2 () = P 2 () 2 = 2 [ ()] 2 där summationen görs över alla värden som kan anta. Standardavvikelsen för är = p () Om = +, där och är konstanter, sägs vara en linjärfunktion av. För gäller då att och Standardavvikelsen för blir därmed = ( )= + () = + 2 = ( )= 2 () = 2 2 = 10

12 3.4 Några diskreta sannolikhetsfördelningar Hypergeometrisk fördelning: ( ) Vi drar utan återläggning bollar ur en urna innehållande bollar där andelen vita bollar är. Vi räknar sedan antalet vita bollar i urvalet (). Då gäller () =Pr( = ) = För hypergeometrisk fördelning gäller =0 1 Medelvärde () = r Standardavvikelse () = (1 ) 1 Då 005 kan approximation göras via binomialfördelningen, dvs då gäller att ( ) ( ) Binomialfördelningen: ( ) Vi drar med återläggning bollar ur en urna där andelen vita bollar är. Vi räknar sedan antalet vita bollar i urvalet (). Då gäller µ () =Pr( = ) = (1 ) =01 För binomialfördelningen gäller Medelvärde () = Standardavvikelse () = p (1 ) ³ Då (1 ) 5 gäller att ( ) p (1 ). Observera att den tumregel som anges i boken, dvs att 5 och (1 ) 5, ocksåär acceptabel. Vid approximationen ska kontinuitetskorrektion (halvkorrektion) användas. 11

13 3.5 Egenskaper hos stickprovsmedelvärde, stickprovssumma och stickprovsandel Betrakta en kvantitativ slumpvariabel där = och =. Tasett slumpmässigt stickprov om observationer gäller för stickprovsmedelvärdet att och för stickprovssumman Σ att = = Σ = Σ = Om 30 gäller dessutom att både och Σ approximativt är normalfördelade. Betrakta en tvåpunktsfördelad slumpvariabel med = och 2 = (1 ). Tas ett slumpmässigt stickprov om observationer gäller för stickprovsandelen b att = r (1 ) = Om (1 ) 5 (eller 5 och (1 ) 5) gäller dessutom att b approximativt är normalfördelad. 12

14 4 Statistisk inferens 4.1 Konfidensintervall Samtliga konfidensintervall är tvåsidiga med konfidensgraden Konfidensintervall för För slumpvariabeln gäller att = och =. Vi förutsätter att vi har ett slumpmässigt stickprov om observationer. Populationen normalfördelad med känd. Ett konfidensintervall för ges av ± 2 Populationen normalfördelad med okänd. Ett konfidensintervall för ges av ± 12 Populationens fördelning okänd men stickprovet stort ( 30). Ett konfidensintervall för ges av ± Konfidensintervall för Vid all statistisk inferens förutsätts att stickprovet, eller stickproven, är sannolikhetsurval. Om inget annat anges förutsätts urvalet vara OSU. Vidare förutsätts att 005, dvs att urvalet är litet i förhållande till populationsstorleken. Hosenpopulationstuderarvientvåpunktsfördeladvariabel.Populationsproportionen för denna variabel är. Vi förutsätter att vi tar ett slumpmässigt stickprov om observationer och att b (1 b) 5. Ett approximativt konfidensintervall för ges av r b (1 b) b ± 2 13

15 4.1.3 Konfidensintervall för 1 2 Vi studerar slumpvariabeln hos två populationer där populationernas medelvärden för denna variabel är 1 respektive 2 och deras standardavvikelser är 1 respektive 2. Vi förutsätter att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om 1 respektive 2 observationer. Populationerna normalfördelade med 1 och 2 kända. Ett konfidensintervall för 1 2 ges av s ± Populationerna normalfördelade med 1 och 2 okända men 1 = 2. Ett konfidensintervall för 1 2 ges av s µ ± Den sammanslagna (polade) variansen ges av 2 = ( 1 1) 2 1 +( 2 1) Populationerna normalfördelade med 1 och 2 okända och 1 6= 2. Ett konfidensintervall för 1 2 ges av s ± Antal frihetsgrader ges av = ³ ³ 2 2 ³ (1 1) (2 1) Ett alternativ som kan användas vid manuella beräkningar är =min( ) Betrakta de föregående punkterna. Då båda stickproven är stora ( ) kan vi i samtliga formler ersätta/approximera 2 med 2 och fortfarande ha en konfidensgrad på ungefär 1. Observera att vi vid stora stickprov kan använda formlerna även då de bakomliggande populationerna inte är normalfördelade. 14

16 4.1.4 Konfidensintervall för 1 2 Hos två populationer studerar vi en tvåpunktsfördelad variabel. Populationsproportionerna för denna variabel är 1 respektive 2. Vi förutsätter att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om 1 respektive 2 observationer där 1 b 1 (1 b 1 ) 5 och 2 b 2 (1 b 2 ) 5. Ett approximativt konfidensintervall för 1 2 ges av s b 1 (1 b 1 ) b 1 b 2 ± 2 + b 2 (1 b 2 ) Att bestämma nödvändig stickprovsstorlek Antag att vi vill skatta stickprovsstorleken så att halva konfidensintervallet får bredden och konfidensgraden 1. För konfidensintervall för måste vi ha en uppfattning om vilket anges som b. Stickprovsstorleken bestäms av = 2 2 b2 2 = µ 2 b För konfidensintervall angående måstevihaenuppfattningom vilket anges som b. Stickprovsstorleken bestäms av = 2 2 b (1 b) Konfidensintervall för (eller 2 ) För slumpvariabeln gäller att =. Vi förutsätter att är normalfördelad och att vi har ett slumpmässigt stickprov om observationer. Ett konfidensintervall för ges då av s s ( 1) 2 ( 1) Motsvarande konfidensintervall för 2 ges av ( 1) ( 1)

17 4.2 Hypotesprövning Testfunktion för För slumpvariabeln gäller att = och =. Vi förutsätter att vi tar ett slumpmässigt stickprov om observationer. Vi ställer upp nollhypotesen 0 : = 0. Populationen normalfördelad med känd. Testfunktionen ges av och är (0 1) då 0 är sann. = 0 Populationen normalfördelad med okänd. Testfunktionen ges av = 0 och är -fördelad med 1 frihetsgrader då 0 är sann. Populationens fördelning okänd men stickprovet stort ( 30). Testfunktionen ges av = 0 och är approximativt (0 1) då 0 är sann Testfunktion för Hosenpopulationstuderarvientvåpunktsfördeladvariabel.Populationsproportionen för denna variabel är. Vi förutsätter att vi tar ett slumpmässigt stickprov om observationer och att 0 (1 0 ) 5. Vi ställer upp nollhypotesen 0 : = 0. Testfunktionen ges av = b 0 q 0 (1 0 ) och är approximativt (0 1) då 0 är sann. 16

18 4.2.3 Testfunktion för 1 2 Vi studerar slumpvariabeln hos två populationer där populationernas medelvärden för denna variabel är 1 respektive 2 och deras standardavvikelser är 1 respektive 2. Vi förutsätter att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om 1 respektive 2 observationer. Vi ställer upp nollhypotesen 0 : 1 2 = 0. Vanligtvis är 0 =0. Populationerna normalfördelade med 1 och 2 kända. Testfunktionen ges av och är (0 1) då 0 är sann. = 1 2 q Populationerna normalfördelade med 1 och 2 okända men 1 = 2. Testfunktionen ges av = 1 2 r 0 ³ och är -fördelad med frihetsgrader då 0 är sann. Den sammanslagna (polade) variansen ges av 2 = ( 1 1) 2 1 +( 2 1) Populationerna normalfördelade med 1 och 2 okända men 1 6= 2. Testfunktionen ges av = 1 2 q och är -fördelad med frihetsgrader då 0 är sann. fås via formeln = ³ ³ 2 2 ³ (1 1) (2 1) Ett alternativ som kan användas vid manuella beräkningar är =min( ) 17

19 Betrakta de föregående punkterna. Då båda stickproven är stora ( ) gäller i samtliga fall att testfunktionerna approximativt är (0 1) då 0 är sann. Observera att detta gäller även då de bakomliggande populationerna inte är normalfördelade Testfunktion för 1 2 Hos två populationer studerar vi en tvåpunktsfördelad variabel. Populationsproportionerna för denna variabel är 1 respektive 2.Viförutsätter att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om 1 respektive 2 observationer där 1 b 1 (1 b 1 ) 5 och 2 b 2 (1 b 2 ) 5. Viställerupp nollhypotesen 0 : 1 = 2. Testfunktionen ges av = b 1 b r 2 ³ 1 b (1 b) och är approximativt (0 1) då 0 är sann. Här används b = 1b b Att bestämma stickprovsstorlek utifrån villkor på och Antag att vi vill testa någon av mothypoteserna 1 : 0 0 och att vi för att göra detta använder signifikansnivån. Vidare vill vi att testets styrka skall vara 1 för = 1. För att kunna uppnå detta krav måste vi ha en stickprovsstorlek på åtminstone à p 0 (1 0 )+ p! 2 1 (1 1 ) = 1 0 med blir motsvarande stickprovsstorlek = 1 : 6= 0 à 2 p 0 (1 0 )+ p 1 (1 1 ) 1 0! 2 18

20 Antag att vi vill testa någon av mothypoteserna 1 : 0 0 och att vi för att göra detta använder signifikansnivån. Vidare vill vi att testets styrka skall vara 1 för = 1. För att kunna uppnå detta krav måste vi ha en stickprovsstorlek på åtminstone µ 2 ( + ) b = 1 0 Då mothypotesen är tvåsidig, dvs 1 : 6= 0 krävs stickprovsstorlek på åtminstone = Ã 2 + b 1 0 Observera att vi i båda fallen måste ha en uppfattning om storleken på för att kunna bestämma metoden Vid prövning av hypoteser med 2 -metoden används vid analys av enkla frekvenstabeller (Godness of Fit) testvariabeln! 2 2 = X ( ) 2 =1 Metoden förutsätter att inga förväntade frekvenser understiger 5. Då datamaterialet delas in i klasser används 1 frihetsgrader. Då 2 -metoden används vid analys av korstabeller (Test av oberoende och homogenitetstest) används testvariabeln 2 = X X ( ) 2 =1 =1 Metoden förutsätter att inga förväntade frekvenser understiger 5. Vid test av oberoende i en korstabell med rader och kolumner används ( 1) ( 1) frihetsgrader. 19

21 4.2.7 Testfunktion för 2 (och ) För slumpvariabeln gäller att =. Vi förutsätter att är normalfördelad och att vi har ett slumpmässigt stickprov om observationer. Vi ställer upp nollhypotesen 0 : 2 = 2 0 (eller 0 : = 0 ). Som testfunktion används 2 ( 1) 2 = 2 0 som är 2 -fördelad med 1 frihetsgrader då 0 är sann Testfunktion för (och 1 2 ) Vi studerar slumpvariabeln hos två populationer där populationernas standardavvikelser för denna variabel är 1 respektive 2. Vi förutsätter att är normalfördelad i båda populationerna och att vi har två slumpmässiga och oberoende stickprov om 1 respektive 2 observationer. Vi ställer upp nollhypotesen 0 : 2 1 = 2 2 (eller 0 : 1 = 2 ). Som testfunktion används = som är -fördelad med 1 1 frihetsgrader i täljaren och 2 1 frihetsgrader inämnarendå 0 är sann. Eftersom tabellsamlingen enbart ger värden i -fördelningens högra svans ska den större av varianserna alltid placeras i täljaren. 20

22 5 Tabeller 5.1 Binomialfördelningen Låt X vara Bi(n,p), dvs en binomialfördelad slumpvariabel med parametrar n och p. Tabellen ger då de kumulativa sannolikheterna för p. Då p översätts problemet till att gälla den andel av populationen som saknar den aktuella egenskapen. Populationsandel p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0, ,9975 0,9900 0,9775 0,9600 0,9375 0,9100 0,8775 0,8400 0,7975 0, ,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0, ,9928 0,9720 0,9393 0,8960 0,8438 0,7840 0,7183 0,6480 0,5748 0, ,9999 0,9990 0,9966 0,9920 0,9844 0,9730 0,9571 0,9360 0,9089 0, ,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0, ,9860 0,9477 0,8905 0,8192 0,7383 0,6517 0,5630 0,4752 0,3910 0, ,9995 0,9963 0,9880 0,9728 0,9492 0,9163 0,8735 0,8208 0,7585 0, ,0000 0,9999 0,9995 0,9984 0,9961 0,9919 0,9850 0,9744 0,9590 0, ,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0, ,9774 0,9185 0,8352 0,7373 0,6328 0,5282 0,4284 0,3370 0,2562 0, ,9988 0,9914 0,9734 0,9421 0,8965 0,8369 0,7648 0,6826 0,5931 0, ,0000 0,9995 0,9978 0,9933 0,9844 0,9692 0,9460 0,9130 0,8688 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9976 0,9947 0,9898 0,9815 0, ,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0, ,9672 0,8857 0,7765 0,6554 0,5339 0,4202 0,3191 0,2333 0,1636 0, ,9978 0,9842 0,9527 0,9011 0,8306 0,7443 0,6471 0,5443 0,4415 0, ,9999 0,9987 0,9941 0,9830 0,9624 0,9295 0,8826 0,8208 0,7447 0, ,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9954 0,9891 0,9777 0,9590 0,9308 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9982 0,9959 0,9917 0, ,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0, ,9556 0,8503 0,7166 0,5767 0,4449 0,3294 0,2338 0,1586 0,1024 0, ,9962 0,9743 0,9262 0,8520 0,7564 0,6471 0,5323 0,4199 0,3164 0, ,9998 0,9973 0,9879 0,9667 0,9294 0,8740 0,8002 0,7102 0,6083 0, ,0000 0,9998 0,9988 0,9953 0,9871 0,9712 0,9444 0,9037 0,8471 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9962 0,9910 0,9812 0,9643 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9984 0,9963 0, ,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0, ,9428 0,8131 0,6572 0,5033 0,3671 0,2553 0,1691 0,1064 0,0632 0, ,9942 0,9619 0,8948 0,7969 0,6785 0,5518 0,4278 0,3154 0,2201 0, ,9996 0,9950 0,9786 0,9437 0,8862 0,8059 0,7064 0,5941 0,4770 0, ,0000 0,9996 0,9971 0,9896 0,9727 0,9420 0,8939 0,8263 0,7396 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9958 0,9887 0,9747 0,9502 0,9115 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9964 0,9915 0,9819 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9983 0,

23 Populationsandel p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0, ,9288 0,7748 0,5995 0,4362 0,3003 0,1960 0,1211 0,0705 0,0385 0, ,9916 0,9470 0,8591 0,7382 0,6007 0,4628 0,3373 0,2318 0,1495 0, ,9994 0,9917 0,9661 0,9144 0,8343 0,7297 0,6089 0,4826 0,3614 0, ,0000 0,9991 0,9944 0,9804 0,9511 0,9012 0,8283 0,7334 0,6214 0, ,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9900 0,9747 0,9464 0,9006 0,8342 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9888 0,9750 0,9502 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9986 0,9962 0,9909 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0, ,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0, ,9139 0,7361 0,5443 0,3758 0,2440 0,1493 0,0860 0,0464 0,0233 0, ,9885 0,9298 0,8202 0,6778 0,5256 0,3828 0,2616 0,1673 0,0996 0, ,9990 0,9872 0,9500 0,8791 0,7759 0,6496 0,5138 0,3823 0,2660 0, ,9999 0,9984 0,9901 0,9672 0,9219 0,8497 0,7515 0,6331 0,5044 0, ,0000 0,9999 0,9986 0,9936 0,9803 0,9527 0,9051 0,8338 0,7384 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9965 0,9894 0,9740 0,9452 0,8980 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9952 0,9877 0,9726 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983 0,9955 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0, ,5688 0,3138 0,1673 0,0859 0,0422 0,0198 0,0088 0,0036 0,0014 0, ,8981 0,6974 0,4922 0,3221 0,1971 0,1130 0,0606 0,0302 0,0139 0, ,9848 0,9104 0,7788 0,6174 0,4552 0,3127 0,2001 0,1189 0,0652 0, ,9984 0,9815 0,9306 0,8389 0,7133 0,5696 0,4256 0,2963 0,1911 0, ,9999 0,9972 0,9841 0,9496 0,8854 0,7897 0,6683 0,5328 0,3971 0, ,0000 0,9997 0,9973 0,9883 0,9657 0,9218 0,8513 0,7535 0,6331 0, ,0000 1,0000 0,9997 0,9980 0,9924 0,9784 0,9499 0,9006 0,8262 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9957 0,9878 0,9707 0,9390 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9980 0,9941 0,9852 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9993 0,9978 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0, ,5404 0,2824 0,1422 0,0687 0,0317 0,0138 0,0057 0,0022 0,0008 0, ,8816 0,6590 0,4435 0,2749 0,1584 0,0850 0,0424 0,0196 0,0083 0, ,9804 0,8891 0,7358 0,5583 0,3907 0,2528 0,1513 0,0834 0,0421 0, ,9978 0,9744 0,9078 0,7946 0,6488 0,4925 0,3467 0,2253 0,1345 0, ,9998 0,9957 0,9761 0,9274 0,8424 0,7237 0,5833 0,4382 0,3044 0, ,0000 0,9995 0,9954 0,9806 0,9456 0,8822 0,7873 0,6652 0,5269 0, ,0000 0,9999 0,9993 0,9961 0,9857 0,9614 0,9154 0,8418 0,7393 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,9905 0,9745 0,9427 0,8883 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9983 0,9944 0,9847 0,9644 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9992 0,9972 0,9921 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,

24 Populationsandel p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,5133 0,2542 0,1209 0,0550 0,0238 0,0097 0,0037 0,0013 0,0004 0, ,8646 0,6213 0,3983 0,2336 0,1267 0,0637 0,0296 0,0126 0,0049 0, ,9755 0,8661 0,6920 0,5017 0,3326 0,2025 0,1132 0,0579 0,0269 0, ,9969 0,9658 0,8820 0,7473 0,5843 0,4206 0,2783 0,1686 0,0929 0, ,9997 0,9935 0,9658 0,9009 0,7940 0,6543 0,5005 0,3530 0,2279 0, ,0000 0,9991 0,9925 0,9700 0,9198 0,8346 0,7159 0,5744 0,4268 0, ,0000 0,9999 0,9987 0,9930 0,9757 0,9376 0,8705 0,7712 0,6437 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9944 0,9818 0,9538 0,9023 0,8212 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0,9960 0,9874 0,9679 0,9302 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9975 0,9922 0,9797 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9987 0,9959 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,4877 0,2288 0,1028 0,0440 0,0178 0,0068 0,0024 0,0008 0,0002 0, ,8470 0,5846 0,3567 0,1979 0,1010 0,0475 0,0205 0,0081 0,0029 0, ,9699 0,8416 0,6479 0,4481 0,2811 0,1608 0,0839 0,0398 0,0170 0, ,9958 0,9559 0,8535 0,6982 0,5213 0,3552 0,2205 0,1243 0,0632 0, ,9996 0,9908 0,9533 0,8702 0,7415 0,5842 0,4227 0,2793 0,1672 0, ,0000 0,9985 0,9885 0,9561 0,8883 0,7805 0,6405 0,4859 0,3373 0, ,0000 0,9998 0,9978 0,9884 0,9617 0,9067 0,8164 0,6925 0,5461 0, ,0000 1,0000 0,9997 0,9976 0,9897 0,9685 0,9247 0,8499 0,7414 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9996 0,9978 0,9917 0,9757 0,9417 0,8811 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9983 0,9940 0,9825 0,9574 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9989 0,9961 0,9886 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9978 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,4633 0,2059 0,0874 0,0352 0,0134 0,0047 0,0016 0,0005 0,0001 0, ,8290 0,5490 0,3186 0,1671 0,0802 0,0353 0,0142 0,0052 0,0017 0, ,9638 0,8159 0,6042 0,3980 0,2361 0,1268 0,0617 0,0271 0,0107 0, ,9945 0,9444 0,8227 0,6482 0,4613 0,2969 0,1727 0,0905 0,0424 0, ,9994 0,9873 0,9383 0,8358 0,6865 0,5155 0,3519 0,2173 0,1204 0, ,9999 0,9978 0,9832 0,9389 0,8516 0,7216 0,5643 0,4032 0,2608 0, ,0000 0,9997 0,9964 0,9819 0,9434 0,8689 0,7548 0,6098 0,4522 0, ,0000 1,0000 0,9994 0,9958 0,9827 0,9500 0,8868 0,7869 0,6535 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9958 0,9848 0,9578 0,9050 0,8182 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9876 0,9662 0,9231 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9972 0,9907 0,9745 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0,9937 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,

25 Populationsandel p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,4401 0,1853 0,0743 0,0281 0,0100 0,0033 0,0010 0,0003 0,0001 0, ,8108 0,5147 0,2839 0,1407 0,0635 0,0261 0,0098 0,0033 0,0010 0, ,9571 0,7892 0,5614 0,3518 0,1971 0,0994 0,0451 0,0183 0,0066 0, ,9930 0,9316 0,7899 0,5981 0,4050 0,2459 0,1339 0,0651 0,0281 0, ,9991 0,9830 0,9209 0,7982 0,6302 0,4499 0,2892 0,1666 0,0853 0, ,9999 0,9967 0,9765 0,9183 0,8103 0,6598 0,4900 0,3288 0,1976 0, ,0000 0,9995 0,9944 0,9733 0,9204 0,8247 0,6881 0,5272 0,3660 0, ,0000 0,9999 0,9989 0,9930 0,9729 0,9256 0,8406 0,7161 0,5629 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9985 0,9925 0,9743 0,9329 0,8577 0,7441 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9984 0,9929 0,9771 0,9417 0,8759 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9938 0,9809 0,9514 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0,9851 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9991 0,9965 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,4181 0,1668 0,0631 0,0225 0,0075 0,0023 0,0007 0,0002 0,0000 0, ,7922 0,4818 0,2525 0,1182 0,0501 0,0193 0,0067 0,0021 0,0006 0, ,9497 0,7618 0,5198 0,3096 0,1637 0,0774 0,0327 0,0123 0,0041 0, ,9912 0,9174 0,7556 0,5489 0,3530 0,2019 0,1028 0,0464 0,0184 0, ,9988 0,9779 0,9013 0,7582 0,5739 0,3887 0,2348 0,1260 0,0596 0, ,9999 0,9953 0,9681 0,8943 0,7653 0,5968 0,4197 0,2639 0,1471 0, ,0000 0,9992 0,9917 0,9623 0,8929 0,7752 0,6188 0,4478 0,2902 0, ,0000 0,9999 0,9983 0,9891 0,9598 0,8954 0,7872 0,6405 0,4743 0, ,0000 1,0000 0,9997 0,9974 0,9876 0,9597 0,9006 0,8011 0,6626 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9969 0,9873 0,9617 0,9081 0,8166 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9968 0,9880 0,9652 0,9174 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9970 0,9894 0,9699 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9975 0,9914 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,3972 0,1501 0,0536 0,0180 0,0056 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0, ,7735 0,4503 0,2241 0,0991 0,0395 0,0142 0,0046 0,0013 0,0003 0, ,9419 0,7338 0,4797 0,2713 0,1353 0,0600 0,0236 0,0082 0,0025 0, ,9891 0,9018 0,7202 0,5010 0,3057 0,1646 0,0783 0,0328 0,0120 0, ,9985 0,9718 0,8794 0,7164 0,5187 0,3327 0,1886 0,0942 0,0411 0, ,9998 0,9936 0,9581 0,8671 0,7175 0,5344 0,3550 0,2088 0,1077 0, ,0000 0,9988 0,9882 0,9487 0,8610 0,7217 0,5491 0,3743 0,2258 0, ,0000 0,9998 0,9973 0,9837 0,9431 0,8593 0,7283 0,5634 0,3915 0, ,0000 1,0000 0,9995 0,9957 0,9807 0,9404 0,8609 0,7368 0,5778 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9946 0,9790 0,9403 0,8653 0,7473 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9939 0,9788 0,9424 0,8720 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9986 0,9938 0,9797 0,9463 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9986 0,9942 0,9817 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9951 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9990 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,

26 Populationsandel p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0, ,3774 0,1351 0,0456 0,0144 0,0042 0,0011 0,0003 0,0001 0,0000 0, ,7547 0,4203 0,1985 0,0829 0,0310 0,0104 0,0031 0,0008 0,0002 0, ,9335 0,7054 0,4413 0,2369 0,1113 0,0462 0,0170 0,0055 0,0015 0, ,9868 0,8850 0,6841 0,4551 0,2631 0,1332 0,0591 0,0230 0,0077 0, ,9980 0,9648 0,8556 0,6733 0,4654 0,2822 0,1500 0,0696 0,0280 0, ,9998 0,9914 0,9463 0,8369 0,6678 0,4739 0,2968 0,1629 0,0777 0, ,0000 0,9983 0,9837 0,9324 0,8251 0,6655 0,4812 0,3081 0,1727 0, ,0000 0,9997 0,9959 0,9767 0,9225 0,8180 0,6656 0,4878 0,3169 0, ,0000 1,0000 0,9992 0,9933 0,9713 0,9161 0,8145 0,6675 0,4940 0, ,0000 1,0000 0,9999 0,9984 0,9911 0,9674 0,9125 0,8139 0,6710 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9977 0,9895 0,9653 0,9115 0,8159 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9972 0,9886 0,9648 0,9129 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9884 0,9658 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9969 0,9891 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0, ,7358 0,3917 0,1756 0,0692 0,0243 0,0076 0,0021 0,0005 0,0001 0, ,9245 0,6769 0,4049 0,2061 0,0913 0,0355 0,0121 0,0036 0,0009 0, ,9841 0,8670 0,6477 0,4114 0,2252 0,1071 0,0444 0,0160 0,0049 0, ,9974 0,9568 0,8298 0,6296 0,4148 0,2375 0,1182 0,0510 0,0189 0, ,9997 0,9887 0,9327 0,8042 0,6172 0,4164 0,2454 0,1256 0,0553 0, ,0000 0,9976 0,9781 0,9133 0,7858 0,6080 0,4166 0,2500 0,1299 0, ,0000 0,9996 0,9941 0,9679 0,8982 0,7723 0,6010 0,4159 0,2520 0, ,0000 0,9999 0,9987 0,9900 0,9591 0,8867 0,7624 0,5956 0,4143 0, ,0000 1,0000 0,9998 0,9974 0,9861 0,9520 0,8782 0,7553 0,5914 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,9468 0,8725 0,7507 0, ,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9949 0,9804 0,9435 0,8692 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9987 0,9940 0,9790 0,9420 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0,9935 0,9786 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9936 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1, ,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,

27 5.2 Normalfördelningen 5.2.A. Låt Z vara N(0,1). För givet z-värde ger tabellen sannolikheten Pr(Z < z) z z

28 5.2.B. Låt Z vara N(0,1). För given sannolikhet (P%) ger tabellen associerat z-värde. Given sannolikhet (P%) z P (%) z P (%) z 50 0,0000 2,3 1, ,1257 2,2 2, ,2533 2,1 2, ,3853 2,0 2, ,5244 1,9 2, ,6745 1,8 2, ,8416 1,7 2, ,0364 1,6 2, ,1750 1,5 2, ,2816 1,4 2, ,3408 1,3 2, ,4051 1,2 2, ,4758 1,1 2, ,5548 1,0 2, ,6449 0,9 2,3656 4,8 1,6646 0,8 2,4089 4,6 1,6849 0,7 2,4573 4,4 1,7060 0,6 2,5121 4,2 1,7279 0,5 2,5758 4,0 1,7507 0,4 2,6521 3,8 1,7744 0,3 2,7478 3,6 1,7991 0,2 2,8782 3,4 1,8250 0,1 3,0903 3,2 1,8522 0,05 3,2906 3,0 1,8808 0,01 3,7191 2,9 1,8957 0,005 3,8907 2,8 1,9110 0,001 4,2650 2,7 1,9268 0,0005 4,4174 2,6 1,9431 0,0001 4,7537 2,5 1,9600 0, ,8919 2,4 1,9774 0, ,

29 5.3 t-fördelningen Tabellen ger det t-värde som förknippas med högersvanssannolikheter. Given sannolikhet t Sannolikhet i den högra svansen fg

30 fördelningen Tabellen ger det 2 -värde som förknippas med högersvanssannolikheter. Given sannolikhet 2 Sannolikhet i den högra svansen fg 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,01 0, ,000 0,000 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7, ,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10, ,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12, ,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14, ,412 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,833 15,086 16, ,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18, ,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20, ,344 1,646 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21, ,735 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23, ,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25, ,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26, ,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28, ,565 4,107 5,009 5,892 7,042 19,812 22,362 24,736 27,688 29, ,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31, ,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32, ,142 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34, ,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35, ,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37, ,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38, ,434 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39, ,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41, ,643 9,542 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42, ,260 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 41,638 44, ,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45, ,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46, ,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48, ,808 12,879 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49, ,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50, ,121 14,256 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52, ,787 14,953 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53, ,707 22,164 24,433 26,509 29,051 51,805 55,758 59,342 63,691 66, ,991 29,707 32,357 34,764 37,689 63,167 67,505 71,420 76,154 79, ,534 37,485 40,482 43,188 46,459 74,397 79,082 83,298 88,379 91, ,275 45,442 48,758 51,739 55,329 85,527 90,531 95, , , ,172 53,540 57,153 60,391 64,278 96, , , , , ,196 61,754 65,647 69,126 73, , , , , , ,328 70,065 74,222 77,929 82, , , , , , ,852 86,923 91,573 95, , , , , , ,648 29

31 5.5 F-fördelningen Tabellen ger det F-värde som förknippas med högersvanssannolikheter. v betecknar antal frihetsgrader i täljaren och v antal frihetsgrader i nämnaren. Given sannolikhet F v 2 p , , , ,05 18,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 0,025 38,5 39,0 39,2 39,2 39,3 39,3 39,4 39,4 39,4 39,4 0,01 98,5 99,0 99,2 99,2 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4 3 0,05 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 0,025 17,4 16,0 15,4 15,1 14,9 14,7 14,6 14,5 14,5 14,4 0,01 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,7 27,5 27,3 27,2 4 0,05 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 0,025 12,2 10,6 10,0 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 0,01 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,5 5 0,05 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 0,025 10,0 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 0,01 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1 6 0,05 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 0,025 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 0,01 13,7 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7 0,05 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 0,025 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 0,01 12,2 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 8 0,05 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 0,025 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 0,01 11,3 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 9 0,05 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 0,025 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 0,01 10,6 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 v 1 30

32 v 2 p ,05 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 0,025 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 0,01 10,0 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4, ,05 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 0,025 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59 3,53 0,01 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4, ,05 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 0,025 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 3,37 0,01 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4, ,05 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 0,025 6,41 4,97 4,35 4,00 3,77 3,60 3,48 3,39 3,31 3,25 0,01 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4, ,05 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 0,025 6,30 4,86 4,24 3,89 3,66 3,50 3,38 3,29 3,21 3,15 0,01 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3, ,05 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 0,025 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 0,01 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3, ,05 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 0,025 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 0,01 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3, ,05 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 0,025 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,85 2,75 2,68 2,61 0,01 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3, ,05 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 0,025 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 2,51 0,01 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2, ,05 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 0,025 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,62 2,53 2,45 2,39 0,01 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2, ,05 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 0,025 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,51 2,41 2,33 2,27 0,01 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2, ,05 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 0,025 5,15 3,80 3,23 2,89 2,67 2,52 2,39 2,30 2,22 2,16 0,01 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 v 1 0,05 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 0,025 5,02 3,69 3,12 2,79 2,57 2,41 2,29 2,19 2,11 2,05 0,01 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 31

33 v 2 p , , , ,05 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5 0,025 39,4 39,4 39,4 39,4 39,4 39,4 39,5 39,5 39,5 39,5 39,5 39,5 0,01 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 3 0,05 8,8 8,7 8,7 8,7 8,7 8,7 8,6 8,6 8,6 8,6 8,5 8,5 0,025 14,4 14,3 14,3 14,3 14,3 14,2 14,1 14,1 14,0 14,0 13,9 13,9 0,01 27,1 27,1 27,0 26,9 26,9 26,7 26,6 26,5 26,4 26,3 26,2 26,1 4 0,05 5,9 5,9 5,9 5,9 5,9 5,8 5,8 5,7 5,7 5,7 5,7 5,6 0,025 8,8 8,8 8,7 8,7 8,7 8,6 8,5 8,5 8,4 8,4 8,3 8,3 0,01 14,5 14,4 14,3 14,2 14,2 14,0 13,9 13,8 13,7 13,7 13,6 13,5 5 0,05 4,7 4,7 4,7 4,6 4,6 4,6 4,5 4,5 4,5 4,4 4,4 4,37 0,025 6,6 6,5 6,5 6,5 6,4 6,3 6,3 6,2 6,2 6,1 6,1 6,02 0,01 10,0 9,9 9,8 9,8 9,7 9,6 9,4 9,4 9,3 9,2 9,1 9,02 6 0,05 4,0 4,0 4,0 4,0 3,9 3,9 3,8 3,8 3,8 3,7 3,7 3,67 0,025 5,4 5,4 5,3 5,3 5,3 5,2 5,1 5,1 5,0 5,0 4,9 4,85 0,01 7,8 7,7 7,7 7,6 7,6 7,4 7,3 7,2 7,1 7,1 7,0 6,88 7 0,05 3,60 3,57 3,55 3,53 3,51 3,44 3,40 3,38 3,34 3,30 3,27 3,23 0,025 4,71 4,67 4,63 4,60 4,57 4,47 4,40 4,36 4,31 4,25 4,20 4,14 0,01 6,54 6,47 6,41 6,36 6,31 6,16 6,06 5,99 5,91 5,82 5,74 5,65 8 0,05 3,31 3,28 3,26 3,24 3,22 3,15 3,11 3,08 3,04 3,01 2,97 2,93 0,025 4,24 4,20 4,16 4,13 4,10 4,00 3,94 3,89 3,84 3,78 3,73 3,67 0,01 5,73 5,67 5,61 5,56 5,52 5,36 5,26 5,20 5,12 5,03 4,95 4,86 9 0,05 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,94 2,89 2,86 2,83 2,79 2,75 2,71 0,025 3,91 3,87 3,83 3,80 3,77 3,67 3,60 3,56 3,51 3,45 3,39 3,33 0,01 5,18 5,11 5,05 5,01 4,96 4,81 4,71 4,65 4,57 4,48 4,40 4, ,05 2,94 2,91 2,89 2,86 2,85 2,77 2,73 2,70 2,66 2,62 2,58 2,54 0,025 3,66 3,62 3,58 3,55 3,52 3,42 3,35 3,31 3,26 3,20 3,14 3,08 0,01 4,77 4,71 4,65 4,60 4,56 4,41 4,31 4,25 4,17 4,08 4,00 3,91 v 1 32

34 v 2 p ,05 2,82 2,79 2,76 2,74 2,72 2,65 2,60 2,57 2,53 2,49 2,45 2,40 0,025 3,47 3,43 3,39 3,36 3,33 3,23 3,16 3,12 3,06 3,00 2,94 2,88 0,01 4,46 4,40 4,34 4,29 4,25 4,10 4,01 3,94 3,86 3,78 3,69 3, ,05 2,72 2,69 2,66 2,64 2,62 2,54 2,50 2,47 2,43 2,38 2,34 2,30 0,025 3,32 3,28 3,24 3,21 3,18 3,07 3,01 2,96 2,91 2,85 2,79 2,73 0,01 4,22 4,16 4,10 4,05 4,01 3,86 3,76 3,70 3,62 3,54 3,45 3, ,05 2,63 2,60 2,58 2,55 2,53 2,46 2,41 2,38 2,34 2,30 2,25 2,21 0,025 3,20 3,15 3,12 3,08 3,05 2,95 2,88 2,84 2,78 2,72 2,66 2,60 0,01 4,02 3,96 3,91 3,86 3,82 3,66 3,57 3,51 3,43 3,34 3,25 3, ,05 2,57 2,53 2,51 2,48 2,46 2,39 2,34 2,31 2,27 2,22 2,18 2,13 0,025 3,09 3,05 3,01 2,98 2,95 2,84 2,78 2,73 2,67 2,61 2,55 2,49 0,01 3,86 3,80 3,75 3,70 3,66 3,51 3,41 3,35 3,27 3,18 3,09 3, ,05 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,33 2,28 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07 0,025 3,01 2,96 2,92 2,89 2,86 2,76 2,69 2,64 2,59 2,52 2,46 2,40 0,01 3,73 3,67 3,61 3,56 3,52 3,37 3,28 3,21 3,13 3,05 2,96 2, ,05 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,12 2,07 2,04 1,99 1,95 1,90 1,84 0,025 2,72 2,68 2,64 2,60 2,57 2,46 2,40 2,35 2,29 2,22 2,16 2,09 0,01 3,29 3,23 3,18 3,13 3,09 2,94 2,84 2,78 2,69 2,61 2,52 2, ,05 2,20 2,16 2,14 2,11 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 1,71 0,025 2,56 2,51 2,48 2,44 2,41 2,30 2,23 2,18 2,12 2,05 1,98 1,91 0,01 3,06 2,99 2,94 2,89 2,85 2,70 2,60 2,54 2,45 2,36 2,27 2, ,05 2,13 2,09 2,06 2,04 2,01 1,93 1,88 1,84 1,79 1,74 1,68 1,62 0,025 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,20 2,12 2,07 2,01 1,94 1,87 1,79 0,01 2,91 2,84 2,79 2,74 2,70 2,55 2,45 2,39 2,30 2,21 2,11 2, ,05 2,04 2,00 1,97 1,95 1,92 1,84 1,78 1,74 1,69 1,64 1,58 1,51 0,025 2,33 2,29 2,25 2,21 2,18 2,07 1,99 1,94 1,88 1,80 1,72 1,64 0,01 2,73 2,66 2,61 2,56 2,52 2,37 2,27 2,20 2,11 2,02 1,92 1, ,05 1,95 1,92 1,89 1,86 1,84 1,75 1,69 1,65 1,59 1,53 1,47 1,39 0,025 2,22 2,17 2,13 2,09 2,06 1,94 1,87 1,82 1,74 1,67 1,58 1,48 0,01 2,56 2,50 2,44 2,39 2,35 2,20 2,10 2,03 1,94 1,84 1,73 1, ,05 1,87 1,83 1,80 1,78 1,75 1,66 1,60 1,55 1,50 1,43 1,35 1,25 0,025 2,10 2,05 2,01 1,98 1,94 1,82 1,75 1,69 1,61 1,53 1,43 1,31 0,01 2,40 2,34 2,28 2,23 2,19 2,03 1,93 1,86 1,76 1,66 1,53 1,38 v 1 0,05 1,79 1,75 1,72 1,69 1,67 1,57 1,51 1,46 1,39 1,32 1,22 1,01 0,025 1,99 1,94 1,90 1,87 1,83 1,71 1,63 1,57 1,48 1,39 1,27 1,01 0,01 2,25 2,18 2,13 2,08 2,04 1,88 1,77 1,70 1,59 1,47 1,32 1,01 33