Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

Transkript

1 Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

2 Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att hantera den statistiska osäkerheten vid inferens Formaliserad procedur för testning som har karaktär av konkret beslutssituation 2

3 Exempel Varför hypotesprövning? Kolesterolsänkande läkemedel Ett slumpmässigt urval personer med höga kolesterolvärden Kolesterolhalten i serum mäts hos försökspersonerna före försökets början och efter en period med det aktuella läkemedlet I medeltal sjunker kolesterolhalten med 0.7 mmol/l Läkemedelseffekt? Slumpen? 3

4 Exempel Hypotesprövning: möjliga jämförelser Jämförelser mot ett visst värde Parvisa observationer Före och Efter inom samma individ Gruppvisa jämförelser 2 oberoende grupper Mellan 2 eller fler variabler Regression Analys av frekvenser och proportioner - χ 2 -test Mellan 3 eller fler observationstillfällen eller mellan 3 eller flera olika grupper ANOVA (variansanalys) 4

5 Hypotesprövning De fem stegen Formulera hypoteserna: H 0 - Ingen skillnad, eventuella observerade skillnader har uppkommit av en slump H 1 - Det finns en sann skillnad, den observerade skillnaden kan inte ha uppkommit av en slump 2. Bestäm signifikansnivå: Sanolikheten (risken) att H 0 förkastas trots att den är sann 5

6 Hypotesprövning De fem stegen Definera och beräkna teststorhet t.ex. Z- eller t-värdet 4. Beräkna utifrån teststorheten sannolikheten att observera ett utfall minst så extremt som det som observerats, förutsatt att H 0 är sann p-värde 5. Jämför p-värdet med den förutbestämda signifikansnivån 6

7 Nollhypotesen: H 0 Nollhypotesen är alltid att det inte finns någon skillnad eller förändring H 0 : μ 1 = μ 2 Observerade skillnader beror på slumpen! 7

8 Mothypotesen: H 1 Mothypotesen negerar alltid nollhypotesen 2-sidig H Vanligast! 1 Skiljer inte på utfall i den ena eller andra riktningen H 1 : μ 1 μ 2 Ger läkemedel A och läkemedel B olika mycket effekt? 1-sidig H 1 Endast intresserade av utfall i den ena riktningen H 1 : μ 1 < μ 2 eller H 1 : μ 1 > μ 2 Ger läkemedel B högre effekt än läkemedel A? 8

9 Signifikansnivå, α Sanolikheten att dra slutsatsen att det finns en skillnad eller en förändring trots att det egentligen inte gör det α = 1 konfidensintervallnivån Signifikansnivån sätts ofta till 5% men den kan vara vad som helst! 9

10 Exempel 5% signifikansnivå 1-sidigt test: Lägre kritiskt värde för testvariabeln (z) 2-sidigt test: Högre kritiskt värde för testvariabeln (z) 1,65-1,96 1,96 5% 2.5% 2.5% Det är praxis att göra 2-sidiga test 10

11 Hypotesprövning: Medelvärden Om vi vill undersöka om det finns en signifikant skillnad mellan populationsmedelvärdet och ett uppmätt stickprovsmedelvärde så använder vi (precis som vid beräkningen av konfidensintervall) centrala gränsvärdessatsen: Om man tar stickprov av storlek n från en population med medelvärdet µ och standardavvikelsen σ så kommer distributionen av medelvärden att bli normalfördelad. Normalfördelningen kommer att ha medelvärdet µ och standardavvikelsen σ n. 11

12 Hypotesprövning: Medelvärden Definera och beräkna teststorhet Vi använder antingen Z eller t : Z = X μ σ t n 1 = X μ σ H 0 X x σ s n μ μ 0 Z = x μ 0 s n t n 1 = x μ 0 s n t används då n är litet men vi kan anta normalfördelning! 12

13 Exempel Hypotesprövning: Medelvärden Kommer stickprovet från en population med längdmedelvärdet 175 cm? x = cm s = 8.6 cm n = H 0 : H 1 : 5 Z = Längd Kritiskt värde för 5% signifikansnivå: ±

14 Hypotesprövning: Proportioner Eftersom vi gör inferens även med avseende på proportioner går det att testa hypoteser även vad gäller våra skattade p obs Z = p obs p 0 p 0 1 p 0 n 14

15 Exempel Hypotesprövning: Proportioner Könsfördelning: Är det någon skillnad mellan andelen tjejer och andelen killar som läser på apotekarprogrammet? p obs = = H 0 : H 1 : Z obs = Killar 1 72 Tjejer Kritiskt värde för 5% signifikansnivå: ±

16 p-värden Eftersom ytan under den standardiserade normalfördelningen är 1 så beskriver ytan under en avgränsad del av den en sannolikhet Z-värden är i själva verket sannolikheter som transformerats till ± Z-värdet 0 motsvarar p=0.5 eftersom den standardiserade normalfördelningens medelvärde är 0 och halva ytan ligger över 0 16

17 p-värden Alla Z-värden kan transformeras tillbaka till sannolikheter och från dessa kan vi räkna ut så kallade p-värden p-värdet säger hur sannolikt det är att observera ett utfall som är lika extremt som det vi funnit givet att nollhypotesen är sann (givet n, x och s) 17

18 Exempel p-värdet Är det någon skillnad mellan andelen tjejer och andelen killar som läser på apotekarprogrammet? p-värdet är svaret på frågan: Hur sannolikt är det att vi ska observera minst så här stor skillnad om det egentligen är lika många tjejer som killar som läser på apotekarprogrammet? 18

19 Exempel p-värdet Är det någon skillnad mellan andelen tjejer och andelen killar som läser på apotekarprogrammet? Z = 5.16 motsvarar en sannolikhet på ( ) Tabell 1 (men inte i det här fallet) Sannolikheten att observera ett Z-värde som är 5.16 eller större är Sannolikheten att observera ett Z-värde som är eller mindre är p-värde = = I det här fallet gör vi ett 2-sidigt test så vi multiplicerar sannolikheten med 2! 19

20 p-värdet p-värdet är en sannolikhet som räknas ut utifrån antagandet att H 0 är sann Ett lågt p-värde indikerar att antingen - Har något osannolikt inträffat ELLER - Så är H 0 falsk! p-värdet är ett mer exakt mått än en uppgift om skillnaden är signifikant eller ej 20

21 Typ I-fel och Typ II-fel Hypotesprövning kan leda till två olika typer av felaktiga slutsatser - Nollhypotesen kan förkastas trots att den är sann (Typ I-fel) - Nollhypotesen kan antas trots att den är falsk (Typ II-fel) 21

22 Typ I-fel och Typ II-fel Resultat av hypotesprövning Verkligheten H 0 accepteras H 0 förkastas H 0 sann OK! Typ I-fel H 0 falsk Typ II-fel OK! Sannolikheten att begå ett Typ I-fel = α Sannolikheten att begå ett Typ II-fel = β 22

23 Normalfördelade testvärden Typ I fel och typ II fel μ a μ b Variabelvärde Risken för typ II fel Sannolikhet: β Risken för typ I fel Sannolikhet: α 23

24 Försöksplanering Sannolikheten att begå ett Typ I-fel (α) bestämmer vi själva genom signifikansnivån, α Testets statistiska styrka (power) är sannolikheten att korrekt förkasta H 0 när H 0 är falsk = 1-β Risken för Typ I-fel och Typ II-fel hänger ihop; sänker vi signifikansnivån så minskar också testets statistiska styrka Ofta väljs α = 0.05 och statistisk styrka 0.8 eller

25 Sätt att förbättra teststyrkan Anta en mer extrem nollhypotes; stora skillnader är enklare att påvisa Öka signifikansnivån (α) Öka n: förbättrar den statistiska styrkan genom att minska risken för typ II fel 25

26 Beräkna n: Konfidensintervallsansats Om vi vill veta medelvärdet i en population med en viss säkerhet (felmarginalen ±a) och vi känner till s så kan vi lösa ut n från formeln för konfidensintervall: x ± 1.96 s n 1.96 s n = ±a Vi löser ut n: n = 1.96s a 2 26

27 Exempel Beräkna n: Konfidensintervallsansats Vi vill genomföra en klinisk studie där vi ska mäta kolesterolnivåer i en viss population. Vi vet att kolersterolnivån i populationen (som vi ska studera) är normalfördelad med en standardavvikelse på mmol/l. Hur många individer måste ingå i studien för att vi ska kunna ta fram ett 95% konfidensintervall för medelvärdet som ligger på ±0.1 mmol/l? 27

28 Exempel Beräkna n: Konfidensintervallsansats Hur många individer måste ingå i studien? s = [mmol/l] a = ±0.1 n = 1.96s a = Det måste ingå minst individer i studien om det ska gå att ta fram ett 95% konfidensintervall med felmarginalen ±0.1 mmol/l. 28

29 Beräkna n: Hypotesprövningsansats Om vi vill hitta en skillnad på åtminstone mellan två populationer med hjälp av t-test och vi känner till s kan vi använda denna formel: n = 2 s2 k 2 k är en konstant som väljs enligt önskad styrka; k=7.9 för 80% och k=10.5 för 90% (5% signifikansnivå) 29

30 Sammanfattning Det går att göra formella jämförelser genom att testa hypoteser med hjälp av t.ex. Z- och t-test p-värdet är ett mått på hur sannolikt det är att få de resultat vi har, givet att H 0 är sann Hypotesprövning kan leda till två olika typer av felaktiga slutsatser: Typ I-fel och Typ II-fel Genom att öka stickprovsstorleken (n) minskar risken för Typ II-fel och därmed ökar testets statistiska styrka 30