Analytisk statistik. Mattias Nilsson Benfatto, PhD.

Transkript

1 Analytisk statistik Mattias Nilsson Benfatto, PhD

2

3 Beskrivande statistik kort repetition Centralmått Spridningsmått Normalfördelning Konfidensintervall Korrelation

4 Analytisk statistik Med analytisk statistik avses metoder och tekniker för statistisk inferens, dvs. metoder för att dra slutsatser om en population genom att analysera egenskaper hos slumpmässiga stickprov ur populationen

5 Statistisk inferens

6 Statistisk inferens Analys av stickprovet ger oss information om populationen, förutsatt att stickprovet är: tillräckligt stort slumpmässigt utvalt från populationen normalfördelat

7 Metoder för statistisk inferens 1. Punktestimering och skattning av konfidensintervall Att utifrån stickprov dra slutsatser om populationens egenskaper 2. Hypotesprövning Att utifrån stickprov jämföra grupper och dra slutsatser om signifikanta skillnader mellan grupperna 3. Regressionsanalys Att utifrån stickprov dra slutsatser om sambandet mellan två (eller fler) variabler och förutsäga värdet på en variabel utifrån kunskapen om en annan

8 1. Punktestimering och skattning av konfidensintervall Exempel: Man vill veta hur mycket svenska 10-åringar tittar på TV per dag Ur populationen alla 10-åringar görs ett urval och ur detta dras ett stickprov. Dessa intervjuas om hur länge de tittar på TV. Medelvärdet för detta stickprov var 2,6 timmar. 95% konfidensintervall ger gränserna 2,4 till 2,8 tim. 2,4 2,6 2,8 nedre gräns punktestimat övre gräns Med 95% sannolikhet ser en svensk 10-åring mellan 2,4-2,8 timmar på TV per dag.

9 2. Hypotesprövning Istället för att enbart estimera hur det ser ut i populationen försöker vi att statistiskt pröva hypoteser om populationen som stickprovet kommer ifrån. Nollhypotes (H 0 ) Ett antagande om ingen skillnad eller samband föreligger. Att slumpen är orsaken till det erhållna värdet. Alternativhypotes (H 1 ) (forskningshypotesen) Ett antagande om att det finns en skillnad eller ett samband. Att det finns en annan orsak än slumpen till det erhållna värdet.

10 Hypotesprövning Den grundläggande frågan är alltid om vårt stickprovsresultat gäller generellt (i populationen) eller är ett resultat av slumpmässiga variationer. Vi behöver en metod för att hantera osäkerheten i en urvalsundersökning. Hypotesprövningen testar om slumpverkan kan ses som orsaken till forskningsresultatet. Vi testar hypotesens giltighet genom en sannolikhetsberäkning.

11 Att ställa upp en hypotes Exempel: Med hjälp av en stickprovsundersökning vill vi utforska om det finns en jämn fördelning av kvinnliga och manliga studenter på Karolinska Institutet. H 0 : Andel kvinnor = Andel män Pröva om andelen kvinnor är skilt från andelen män H 1 : Andel kvinnor Andel män (dubbelsidig mothypotes) Pröva om andelen kvinnor är större än andelen män H 1 : Andel kvinnor > Andel män (enkelsidig mothypotes) Pröva om andelen kvinnor är mindre än andelen män H 1 : Andel kvinnor < Andel män (enkelsidig mothypotes)

12 Hypotesprövningens p-värde Sannolikheten för att man får det resultat man faktiskt observerat (eller mer extremt) i stickprovet under förutsättning att nollhypotesen (H 0 ) är sann. Notera att p är en sannolikhet och måste därför ligga mellan 0 och 1. Exempel: Om nollhypotesen är att andelen kvinnliga studenter vid KI är 50%, och vi i vårt stickprov har hittat 54% kvinnliga studenter så anger p-värdet sannolikheten för att vi skulle hitta ett stickprov med minst 54% kvinnor under förutsättning att det i studiepopulationen (dvs. hela KI) bara finns 50% kvinnor.

13 Hypotesprövningens p-värde Ett lågt p-värde talar för: att det är osannolikt att vi skulle få de observerade mätvärdena om nollhypotesen (ingen skillnad) vore sann. att nollhypotesen är orimlig och kan förkastas.

14 Hypotesprövningens signifikansnivå Hur lågt måste p-värdet vara för att vi skall förkasta nollhypotesen? Denna gräns bestäms genom signifikansnivån α (alfa) Det finns ingen given gräns för α utan denna bestäms utifrån vilken risk man är beredd att ta att dra fel slutsats.

15 Osannolikhet Vi kan välja att definiera en osannolik händelse som en händelse som bara inträffar 1 av 20 gånger (5 av 100) om H 0 är sann (oftare om den är falsk). variationer inom konfidensintervall beror sannolikt på slumpen variationer utanför konfidensintervall beror osannolikt på slumpen jättenormalt (jättesannolikt) normalt (sannolikt) mindre normalt (mindre sannolikt) osannolikt

16 Slumpmässiga fel Typ I fel finns det en skillnad I verkligheten..finns det ingen skillnad Analysen påvisar en skillnad ingen skillnad Sant positiv Falskt negativ Falskt positiv Sant negativ Typ II fel

17 Typ I och typ II fel Vi riskerar ALLTID att begå ett misstag i vårt antagande typ I-fel: förkastar nollhypotesen trots att den är sann (vi finner en falsk skillnad) typ II-fel: accepterar nollhypotesen trots att den är falsk (vi lyckas inte påvisa en sann skillnad) Hur stor risk är vi beredda att ta? högt -värde risk för typ I-fel lågt -värde risk för typ II-fel

18 Hypotesprövningens signifikansnivå Normalt att acceptera 5% risk att slumpen orsakar resultatet (α = 0.05) Vi anger accepterad risknivå (signifikansnivå) för att begå fel i tolkningen av resultatet exempel: =5% ger ett 95% konfidensintervall exempel: =1% ger ett 99% konfidensintervall

19 Tolkning av p-värde Om p-värdet ligger under signifikansnivån kan vi förkasta nollhypotesen och anse den alternativa hypotesen vara mest trolig. Om p-värdet ligger över signifikansnivån kan nollhypotesen inte förkastas och resultatet motsäger inte nollhypotesen. Vi kan då inte uttala oss om hur trolig den alternativa hypotesen är som förklaring. Exempel: Om p-värdet för H 0 : Andel kvinnor = Andel män är 0.09 och α = 0.05 så kan vi ej förkasta H 0. Om p-värdet däremot är 0.02 kan H 0 fökastas.

20 Ensidigt och tvåsidigt test Ett ensidigt test kan användas om man med säkerhet vet att en eventuell förändring bara kan gå i en viss riktning Om man inte vet i vilken riktning en förändring kan gå, måste ett tvåsidigt test väljas. Om man tvivlar tvåsidigt test

21 Hypotesprövningens steg 1. Formulera hypoteser (H 0 och H 1 ) 2. Bestäm signifikansnivå 3. Bestäm testfunktion och beräkna p-värde 4. Bestäm om H 0 kan förkastas eller inte

22 Gruppövning 1. Formulera en enkel frågeställning och en forskningshypotes som går att undersöka empiriskt. 2. Ställ upp H 0 och H 1 3. Anta = Hitta på ett valfritt p-värde Förklara med enkla ord vilka slutsatser ni skulle kunna dra av er undersökning givet 1-4.

23 Exempel på studie med parvis jämförelse Vi undersöker om forin är den samma på långt och kort avstånd Hypoteserna som ska testas H 0 : Forin påverkas inte av fixationsavståndet. H 1 : Forin har inte samma vinkel på långt och nära avstånd.

24 Frekvensdiagram på uppmätta forivärden 5 Histogram PCT PCT på på avstånd avstånd och och nära nära före före behandling behandling PCT 1 LH: N = 17; Mean = 4,1176; StdDv = 3,4257; Max = 12; Min = 0 PCT 1 NH: N = 17; Mean = 11,8824; StdDv = 4,7682; Max = 18; Min = 4 4 No of obs PCT 1 LH PCT 1 NH

25 Frekvensdiagram med normalkurvor på forivärden 5 Histogram PCT på avstånd och nära före behandling PCT 1 LH: N = 17; Mean = 4,1176; StdDv = 3,4257; Max = 12; Min = 0 PCT 1 NH: N = 17; Mean = 11,8824; StdDv = 4,7682; Max = 18; Min = No of obs PCT 1 LH PCT 1 NH

26 Har forin samma vinkel på långt och kort avstånd? Kan skillnaden i forimätningarna uppstått av slumpen? 5 Histogram PCT på avstånd och nära före behandling 4 3 No of obs PCT 1 LH PCT 1 NH

27 Har forin samma vinkel på långt och kort avstånd? Kan skillnaden i forimätningarna uppstått av slumpen? 5 4 Histogram PCT på avstånd och nära före behandling Vi behöver göra en statistisk analys! Medel -95% KI +95% KI 3-95% KI +95% KI -95% KI +95% KI Medel medelv. medelv. SD fördeln. fördeln. PCT 1 LH 4,11 2,36 5,87 3,42-2,59 10,83 PCT 1 NH 11,88 9,43 14,33 4,77 2,54 21,23 No of obs PCT 1 LH PCT 1 NH

28 Statistiska tester Utgår från: typen (kvalitén) av data om data är normalfördelat eller inte hur många grupper som ska jämföras

29 T-test Förhållande mellan en eller två grupper på en kontinuerlig variabel

30 längd (m) T-test Resultatvariabeln alltid på y-axeln Kräver kvantitativ normalfördelad data män kvinnor

31 Lilla t-testet (one-sample t-test) Används vanligen om man vill undersöka om medelvärdet i en grupp skiljer sig från ett hypotetiskt värde Exempel: Vi undersöker patienter som drabbats av en viss åkomma och testar om medelåldern för insjuknande skiljer sig från ett hypotetiskt värde, 60 år. Vi erhåller p = ( = 0.05) Slutsats: medelåldern för insjuknande skiljer sig från 60 år. InStat-demo

32 Oberoende t-test (independent samples t-test) Används vanligen om man vill undersöka skillnader i medelvärde mellan två oberoende grupper vid samma tidpunkt Exempel: Vi undersöker om män och kvinnor som drabbats av åkomman är olika gamla i snitt Vi erhåller p = 0.43 ( = 0.05) Slutsats: vi kan inte med säkerhet säga att det finns en åldersskillnad. InStat-demo

33 Beroende t-test (dependent samples t-test) Används vanligen om man vill undersöka skillnader inom samma grupp (två mätningar) över tid. Mätningarna vid de två tidpunkterna är beroende av varandra eftersom det är samma personer i båda distributionerna. Exempel: Vi undersöker om patienter som drabbats av åkomman svarar positivt på behandling, dvs. om det finns en skillnad (positiv) före och efter behandling Vi erhåller p = ( = 0.05) Slutsats: patienter svarar positivt på behandling InStat-demo

34 Gruppövning Utifrån er tidigare frågeställning, finns det något t-test som verkar tillämpbart för att testa er hypotes? Om inte, försök förklara varför.

35 ANOVA analysis of variance Förhållandet mellan tre eller fler kategorier (förklaringsvariabel) på en kontinuerlig variabel (resultatvariabel)

36 inkomst (kr) ANOVA analysis of variance Resultatvariabeln alltid på y-axeln Kräver kvantitativ normalfördelad data Analysera dataset: LUSvärde läkare ingenjör pilot

37 Chi-2 / Fisher Exakt test Korstabellanalys av data på nominalskale-nivå Nollhypotes: det föreligger ingen skillnad i proportioner mellan grupperna alt.1 Analyserar observerade frekvenser (O) vilka jämförs med förväntade frekvenser (E) alt.2 Jämför två grupper mot varandra som inte är matchade (ej beroende av varandra)

38 Chi-2 / Fisher Exakt test Analysera dataset: Hjärtrytm

39 3. Regressionsanalys

40 3. Regressionsanalys Målet är att skapa en matematisk funktion som bäst passar observerade data Funktionen beskriver det dynamiska sambandet mellan två (eller fler) variabler Funktionen kan användas för att förutsäga (predicera) värdet på en variabel utifrån kunskapen om en annan

41 Enkel linjär regression

42 Vilka statistiska metoder korrelerar med varandra Parametriska metoder Icke parametriska metoder Skillnader mellan oberoende grupper T-test för oberoende data Mann-Whitney test (2 oberoende stickprov) ANOVA/MANOVA Kruskal-Wallis test ( 3 oberoende) Skillnader mellan beroende grupper T-test för beroende data ANOVA Samband mellan variabler Korrelations koefficient Wilcoxon's matched pairs test Friedman's test Spearman Kategorisk data (ingen motsvarighet i parametriska) Chi-square test the Phi coefficient the Fisher exact test