Föreläsning 12: Regression
|
|
- Ebba Sundqvist
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014
2 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är en väntevärdesriktig skattning av p med varians V(p ) = p(1 p)/n. Centrala gränsvärdessatsen som säger att X är approximativt N(np, np(1 p))-fördelad om n är stor. En tumregel brukar vara att om np(1 p) > 10 så fungerar normalapproximation bra. Vi har då att p är approximativt N(p, p(1 p)/n)-fördelad och att p p p (1 p )/n är approximativt N(0, 1)-fördelad. Repetition Inferens för binomialfördelningen David Bolin 2/32
3 Konfidensintervall Ett konfidensintervall med approximativ konfidensgrad 1 α fås som I p = [p ± z α/2 p (1 p )/n] Eftersom p är en sannolikhet bildas ensidiga intervall som [0, p + z α p (1 p )/n] och [p z α p (1 p )/n, 1] Repetition Inferens för binomialfördelningen David Bolin 3/32
4 Hypotestest Vill vi testa H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 eller en ensidig hypotes H 1 : p > p 0 eller H 1 : p < p 0. Under H 0 är X Bin(n, p 0 ), och vi kan direkt beräkna p-värdet för testet: p = P H0 (X x) om H 1 : p > p 0. p = P H0 (X x) om H 1 : p < p 0. p = 2P H0 (X x) om x np 0 och p = 2P H0 (X x) om x np 0 i fallet H 1 : p p 0. Repetition Inferens för binomialfördelningen David Bolin 4/32
5 Jämförelser i binomialfördelningen Antag att X 1 Bin(n 1, p 1 ) och X 2 Bin(n 2, p 2 ) och vi vill testa om det är rimligt att anta att p 1 = p 2. p 1 p 2 är en väntevärdesriktig skattning av p 1 p 2. Om n 1 p 1 (1 p 1 ) och n 2 p 2 (1 p 2 ) båda är stora (säg större än 10) så är p 1 p 2 approximativt normalfördelad. Vi har V(p 1 p 2) = p 1(1 p 1 ) n 1 + p 2(1 p 2 ) n 2 ett konfidensintervall för p 1 p 2 fås som I p1 p 2 = p 1 p p 1 2 ± z (1 p 1 ) α/2 + p 2 (1 p 2 ) n 1 n 2 Repetition Inferens för binomialfördelningen David Bolin 5/32
6 Hypotestest Om vi vill testa H 0 : p 1 = p 2 kan vi använda en poolad variansskattning eftersom vi har att under H 0 så gäller V H0 (p 1 p 2) = p(1 p)( 1 n 1 1 n 2 ) Här är p det gemensamma värdet under H 0, vilket skattas som Vi bilar då teststorheten p = x 1 + x 2 n 1 + n 2 T = p 1 p 2 p (1 p )( 1 n n 2 ) som under H 0 är approximativt N(0, 1) fördelad. Repetition Inferens för binomialfördelningen David Bolin 6/32
7 Teckentest för medianen Medianen för en kontinuerlig fördelning är definierad som det tal M så att P(X < M) = P(X > M) = 1/2. Givet ett stickprov av storlek n vill vi testa H 0 : M = M 0 mot en ensidig eller tvåsidig mothypotes. Låt Q + vara antalet observerade värden större än M. Låt Q vara antalet observerade värden mindre än M. Under H 0 är Q + Bin(n, 1/2) och Q Bin(n, 1/2). Om H 1 : M < M 0, förkasta H 0 om Q + är för liten. Om H 1 : M > M 0, förkasta H 0 om Q är för liten. Om H 1 : M M 0, förkasta H 0 om min(q +, Q ) är för liten. Teststorheten är binomialfördelad, vi kan direkt beräkna p-värdet. Om X i M = 0 räknar vi den observationen till den minsta av Q + eller Q eftersom det inte motsäger H 0. Repetition Icke-parametriska metoder David Bolin 7/32
8 Wilcoxons ranktest Beräkna alla absolutdiffereneser X i M 0 och ordna dessa i ökande storleksordning. Låt R i vara ranken för den ite absolutdifferensen gånger tecknet på motsvarande avvikelse. Beräkna Wilcoxons teststorheter W + = R i, i:r i >0 W = i:r i <0 R i Definiera teststorheten W = min(w +, W ). Kritiska värden för W finns tabulerad för olika n och α. Om två absolutdifferenser är lika stora så tilldelar vi dem medelvärdet av motsvarande ranker. Till exempel om vi observerar differenser 2 och 2 som skulle få rankerna 4 och 5 så tilldelar vi dem båda rank 4.5 gånger motsvarande tecken. Repetition Icke-parametriska metoder David Bolin 8/32
9 Exempel för stickprov i par I fallet med parade observationer (X 1, Y 1 ),..., (X m, Y m ) bildar vi först differenserna X i Y i och använder sedan ett ranktest på differenserna för att testa om differensernas median är noll. Exempel i boken. Vi vill testa hur mycket minne två statistiska paket använder vid analys av ett dataset. Vi gör mätningar (i Kb). Program Paket X Paket Y D i = X i Y i Repetition Icke-parametriska metoder David Bolin 9/32
10 Exempel (forts) Vi vill testa H 0 : M X = M Y H 1 : M X M Y Vi ordnar differenserna och beräknar rankerna D i : Rank: R i : Vi har nu W + = = 30.5 och W = = 5.5. Eftersom vi har ett tvåsidigt test använder vi W = min( W, W + ) = 5.5. Från tabell ser vi att den kritiska punkten för ett tvåsidigt test med α = 0.1 är 6. Eftersom W = 5.5 < 6 så kan vi förkasta H 0. Repetition Icke-parametriska metoder David Bolin 10/32
11 Wilcoxons ranksummetest Antag att vi har två oberoende stickprov X 1,..., X m och Y 1,..., Y n från några fördelningar X respektive Y och vill jämföra medianerna för de två variablerna. Ordna de m + n värdena i ökande storleksordning och ge varje observation en rank R i från 1 till m + n. Om vi har värden som är lika stora tilldelar vi dem medelranken precis som i rank-testet. Vi antar att m n och bildar teststorheten W m som summan av rankerna associerade med variablerna X 1,..., X m. Det kritiska värdet för W m finns tabulerat för olika värden på m, n, och α. Repetition Icke-parametriska metoder David Bolin 11/32
12 Exempel, regression Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera termisk energi) beror av temperaturen. För var och en av fem temperaturer gör man två mätningar av värmepakaciteten med fäljande resultat: Temperatur (C) värmeskapacitet Linjär regression David Bolin 12/32
13 Linjär regression David Bolin 13/32
14 Exempel (forts) Vi ser att värmekapaciteten ser ut att öka för högre temperaturer och vi vill nu anpassa en linje y = β 0 + β 1 x till datan, så att vi kan prediktera väntevärdet för den specifika värmekapaciteten (y) för en given temperatur (x). Vi vill också ha ett mått på hur stor de enskilda mätvärdenas spridning kring linjen är. Det är detta vi gör med linjär regression. Linjär regression David Bolin 14/32
15 Modellbeskrivning I exemplet ovan hade vi en responsvariabel, y, som är en linjär funktion av en förklarande variabel x. Förutsättningen för linjär regression är att vi kan välja värdena på x och att dessa kan bestämmas utan fel. Detta gör att vi kan betrakta x-värdena som fixa konstanter. För varje värde på x har motsvarande värde på y en viss variation, till exempel på grund av mätfel. Vi väljer nu ett antal värden x 1,..., x n och mäter responsvariabeln för dessa värden. Vi får då mätvärden y 1,..., y n, där y 1 är värdet som är uppmätt då den förklarande variabeln är x 1 och så vidare. Linjär regression David Bolin 15/32
16 Modellbeskrivning Vi har alltså talpar (x i, Y i ) där x i är ett fixt värde och Y i är en slumpvariabel. Modellen vi ansätter för Y i är Y i = β 0 + β 1 x i + ε i (1) där ε i är oberoende N(0, σ 2 ) slumpvariabeler som beskriver mätfelet och β 0 och β 1 är okända parametrar som beskriver det linjära sambandet. Ett annat sätt att skriva upp modellen på är alltså att Y i N(β 0 + β 1 x i, σ 2 ), det vill säga att vi har ett linjärt samband som bestämmer väntevärdet hos Y och en viss mätfelsvarians σ 2 som beskriver de enskilda observationernas variation kring väntevärdet β 0 + β 1 x. Linjär regression David Bolin 16/32
17 Minsta-kvadratmetoden Antag den lite mer generella modellen att väntevärdet för Y ges av en funktion f: E(Y i ) = f(θ 1,..., θ k, x i ) Parametrarna θ 1,..., θ k skattas enligt minsta-kvadratmetoden genom att minimera kvadratfelet för den datan vi har S(θ 1,..., θ k ) = n (y i f(θ 1,..., θ k, x i )) 2 i=1 med avseende på parametrarna θ 1,..., θ k. Lösningen brukar fås som lösningen till ekvationerna S θ i = 0, för i = 1,..., k Ekvationssystemet löses av θ1,..., θ k som kallas för MK-skattningarna av θ 1,..., θ k. Linjär regression David Bolin 17/32
18 MK-skattningar av β 0 och β 1 Inför S xx = S yy = S xy = n n (x i x) 2 = x 2 i n x 2 i=1 n (y i ȳ) 2 = i=1 i=1 n yi 2 nȳ 2 i=1 n (x i x)(y i ȳ) = i=1 i=1 n x i y i n xȳ Vi kan nu skriva lösningen till ekvationssystemet som β 1 = S xy /S xx β 0 = ȳ β 1 x Linjär regression David Bolin 18/32
19 MK-skattning av σ 2 Variansparametern σ 2 beskriver spridningen kring linjen och skattas som s 2 = Q 0 n 2 där Q 0 = n (y i β0 β1x i ) 2. i=1 Om vi räknar för hand kan vi använda att Q 0 = S yy β 1S xx = S yy S2 xy S xx Vi delar på n 2 eftersom två frihetsgrader används till att skatta β 0 och β 1. Linjär regression David Bolin 19/32
20 Exempel (forts) Vi skattar nu linjen i exemplet ovan. x = 1 10 ȳ = i=1 10 i=1 10 x i = ( )/10 = 50 y i = ( )/19 = S xx = x 2 i 10 x 2 = = 2000 i=1 10 S yy = yi 2 10ȳ 2 = = i=1 10 S xy = x i y i 10 xȳ = = 5.3 i=1 Linjär regression David Bolin 20/32
21 Exempel (forts) och får därför skattningarna β 1 = S xy /S xx = 5.3/2000 = β0 = ȳ β1 x = ( ) s 2 = 1 S yy S2 xy n 2 S xx = En skattning av standardavvikelsen är s = = Linjär regression David Bolin 21/32
22 Den skattade regressionslinjen β 0 + β 1 x Linjär regression David Bolin 22/32
23 Egenskaper hos skattarna Eftersom β0 = ȳ β 1 x så är ȳ = β 0 + β 1 x vilket betyder att den skattade linjen alltid går genom punkten ( x, ȳ). Detta betyder att om vi centrerar datan, (x i x, y i ȳ), i = 1,..., n så har vi att y i ȳ = β 1(x i x) och vi har då bara en parameter, β 1, att skatta. Linjär regression Egenskaper hos skattarna David Bolin 23/32
24 Vi kan skriva den skattade linjens ekvations som antingen y = β 0 + β 1x eller där β 0, β 1 y = Ȳ + β 1(x x) och Ȳ är slumpvariabler. Sats Vi har att E(Ȳ ) = β 0 + β 1 x E(β 1) = β 1 V(Ȳ ) = σ2 n V(β 1) = σ2 S xx = σ 2 n i=1 (x i x) Vi ser alltså att β 1 är väntevärdesriktig. Linjär regression Egenskaper hos skattarna David Bolin 24/32
25 Fördelen med representationen y = Ȳ + β 1(x x) är att C(Ȳ, β 1 ) = 0. Detta göra att vi enkelt kan beräkna variansen för linjen genom att summera osäkerheten i höjdled, V(Ȳ ), samt osäkerheten i lutning, V(β1 ). Sats Om µ Y (x 0) = β 0 + β 1 x 0 är den skattade linjens värde för ett fixt x 0 så är E(µ Y (x 0 )) = β 0 + β 1 x 0 samt [ 1 V(µ Y (x 0 )) = σ 2 n + (x 0 x) 2 ] S xx Linjär regression Egenskaper hos skattarna David Bolin 25/32
26 Anmärkning Om vi i satsen ovan sätter x 0 = 0 ser vi att samt att E(β 0) = β 0 [ ] 1 V(β0) = σ 2 n + x2 S xx Det framgår också i satsen att osäkerheten i linjenskattningen ökar med x 0 :s avstånd till x. Vi ser också från de två satserna att β 0, β 1 och µ Y (x 0) alla är väntevärdesriktiga. Linjär regression Egenskaper hos skattarna David Bolin 26/32
27 Skattningarnas fördelningar Sats Om ε i är normalfördelade gäller att Ȳ, β 0, β 1 och β 0 + β 1 x 0 också är normalfördelade. Eftersom skattarna är summor av Y i så gäller enligt CGS satsen approximativt även om ε i avviker från normalfördelningen. Sats Om ε i är normalfördelade så gäller att (n 2)s 2 σ 2 χ 2 (n 2) vidare är s 2 oberoende av Ȳ, β 0, β 1 och β 0 + β 1 x 0. Linjär regression Egenskaper hos skattarna David Bolin 27/32
28 Konfidensintervall och test Låt θ vara någon av β 0, β 1 eller β 0 + β 1 x 0. Vi vet att dess skattningar är normalfördelade och vi har tagit fram variansen av skattningarna. Låt d(θ ) vara standardavvikelsen för skattningen, vi har då att T = θ θ d(θ t(n 2) ) vilken på vanligt sätt används för att göra test och bilda konfidensintervall, I θ = (θ ± t α/2 (n 2)d(θ )) Linjär regression Egenskaper hos skattarna David Bolin 28/32
29 Konfidensintervall Konfidensintervall för β 0 : I β0 = β 0 ± t α/2 (n 2)s 1 n + x2 S xx Konfidensintervall för β 1 : ( ) I β1 = β1 s ± t α/2 (n 2) Sxx Konfidensintervall för µ Y (x 0 ) = β 0 + β 1 x 0 : I µy (x 0 ) = β 0 + β1x 1 0 ± t α/2 (n 2)s n + (x 0 x) 2 S xx Linjär regression Egenskaper hos skattarna David Bolin 29/32
30 Prediktionsintervall Om man är intresserad av var en framtida observation Y kommer ligga för ett visst x 0, och man använder då ett prediktionsintervall. Skillnaden mellan ett konfidensintervall för µ Y och ett prediktionsintervall för Y är att konfidensintervallet talar om var väntevärdet troligen ligger, medan prediktionsintervallet talar om var en framtida observation troligen ligger. Eftersom vi har en viss spriding kring linjen för de faktiska observationerna så måste prediktionsintervallet vara bredare än konfidensintervallet, och man kan visa att Y (x 0 ) N (β 0 + β 1 x 0, σ 2 (1 + 1n + (x 0 x) 2 ) ). S xx Ett prediktionsintervall bildas nu som I Y (x0 ) = β 0 + β1x 0 ± t p/2 (n 2)s n + (x 0 x) 2 S xx Linjär regression Egenskaper hos skattarna David Bolin 30/32
31 Exempel (forts) Vi beräknar konfidensintervall för regressionslinjen samt prediktionsintervall för framtida observationer för exemplet med värmekapaciteten. De blå linjerna visar övre och undre gränser för konfidensintervallet för alla värden på x och de röda linjerna är gränserna för motsvarande prediktionsintervall. Linjär regression Egenskaper hos skattarna David Bolin 31/32
32 Modellvalidering En mycket viktig komponent i en regressionsanalys är validering av modellen, vilket betyder att vi måste försäkra oss om att det är lämpligt att ansätta en enkel regressionsmodell. Det vanligaste sättet att göra detta på är att beräkna de så kallade residualerna e i = y i β 0 β 1x i Om modellen är korrekt bör dessa residualer vara ungefär normalfördelade med väntevärde noll. inte uppvisa någon speciell struktur som funktion av x. ha ungefär samma variation för alla olika värden på x, vi får till exempel inte ha att variansen verkar vara större för stora värden på x. Undersök visuellt genom att plotta residualerna som funktion av x och använda normalfördelningsdiagram. Linjär regression Egenskaper hos skattarna David Bolin 32/32
Föreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merFöreläsning 13: Multipel Regression
Föreläsning 13: Multipel Regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 9, 2017 Enkel linjär regression Vi har gjort mätningar av en responsvariabel Y för fixerade värden på
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merF13 Regression och problemlösning
1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merLÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5
Läs merFÖRELÄSNING 8:
FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x
Läs merPrediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren Prediktera Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/28 Statistik för modellval
Läs merSamplingfördelningar 1
Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi
Läs merF12 Regression. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 28/ /24
1/24 F12 Regression Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 28/2 2013 2/24 Dagens föreläsning Linjära regressionsmodeller Stokastisk modell Linjeanpassning och skattningar
Läs merFöreläsning 15: Försöksplanering och repetition
Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 19, 2015 Utfall och utfallsrum Slumpmässigt försök Man brukar säga att ett slumpmässigt försök
Läs merBild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II
Bild 1 Medicinsk statistik II Läkarprogrammet T5 HT 2014 Anna Jöud Arbets- och miljömedicin, Lunds universitet ERC Syd, Skånes Universitetssjukhus anna.joud@med.lu.se Bild 2 Sammanfattning Statistik I
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs merFÖRELÄSNING 7:
FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Johan Lindström Repetition Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Grundläggande begrepp (Kap.
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016
Läs merF8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17
1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs mer8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning
8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8. Skattning av µ och Students T-fördelning Om σ är känd, kan man använda statistikan X µ σ/ n för att hitta konfidensintervall för µ. Om σ inte
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merMatematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall
Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett
Läs merFöreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar
Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merFöreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall
Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F9: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett stickprov, x 1, x 2,...,
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar Anna Lindgren 25 november 2015 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/17 Matematisk statistik slumpens matematik
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal
Läs merMedicinsk statistik II
Medicinsk statistik II Läkarprogrammet termin 5 VT 2013 Susanna Lövdahl, Msc, doktorand Klinisk koagulationsforskning, Lunds universitet E-post: susanna.lovdahl@med.lu.se Dagens föreläsning Fördjupning
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig
Läs merSannolikheter och kombinatorik
Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter
Läs merFöreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 4 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Icke-parametriska test Mann-Whitneys test (kap 8.10 8.11) Wilcoxons test (kap 9.5) o Transformationer (kap 13) o Ev. Andelar
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merFöreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall Stas Volkov 2017-11-7 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F11: Konfidensintervall
Läs merTentamen MVE302 Sannolikhet och statistik
Tentamen MVE32 Sannolikhet och statistik 219-6-5 kl. 8:3-12:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Oskar Allerbo, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 14
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och
Läs merTenta i Statistisk analys, 15 december 2004
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.
Läs merKonfidensintervall, Hypotestest
Föreläsning 8 (Kap. 8, 9): Konfidensintervall, Hypotestest Marina Axelson-Fisk 11 maj, 2016 Konfidensintervall För i (, ). Hypotestest Idag: Signifikansnivå och p-värde Test av i (, ) när är känd Test
Läs merTMS136. Föreläsning 13
TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs merInledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ
Inledning till statistikteorin Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Punktskattningar Stickprov från en population - - - Vi vill undersöka bollhavet men får bara göra det genom att ta en boll
Läs merFöreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression
Föreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression Stas Volkov 2017-11-28 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F15 1/23 Linjär regression Vi har n st par av mätvärden (x i, y i ), i = 1,..., n
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:
Läs merIndustriell matematik och statistik, LMA136 2013/14
Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 7 Mars 2014 Disposition r Kondensintervall och hypotestest Kondensintervall Statistika Z (eller T) har fördelning F (Z en funktion av ˆθ och θ) q 1 α/2
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merTMS136. Föreläsning 11
TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för
Läs merIntroduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab
Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 9 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Regression Regressionsmodell Signifikant lutning? Prognoser Konfidensintervall Prediktionsintervall Tolka Minitab-utskrifter o Sammanfattning Exempel
Läs mer27,5 27,6 24,8 29,2 27,7 26,6 26,2 28,0 (Pa s)
TENTAMEN: Statistik och sannolikhetslära (LMA120) Tid och plats: 08:0-12:0 den 7 oktober 2016, Samhällsbyggnad Hjälpmedel: Typgodkänd miniräknare, formelblad Betygsgränser: : 12 poäng, 4: 18 poäng, 5:
Läs merGör uppgift 6.10 i arbetsmaterialet (ingår på övningen 16 maj). För 10 torskar har vi värden på variablerna Längd (cm) och Ålder (år).
Matematikcentrum Matematisk statistik MASB11: BIOSTATISTISK GRUNDKURS DATORLABORATION 4, 21 MAJ 2018 REGRESSION OCH FORTSÄTTNING PÅ MINIPROJEKT II Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska bekanta
Läs merDiskussionsproblem för Statistik för ingenjörer
Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF194 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 1 AUGUSTI 019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merLÖSNINGAR TILL P(A) = P(B) = P(C) = 1 3. (a) Satsen om total sannolikhet ger P(A M) 3. (b) Bayes formel ger
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tentamen: 2015 08 18 kl 8 00 13 00 Matematikcentrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB02 Matematisk statistik för
Läs merTAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära
TAMS65 - Föreläsning 1 Introduktion till Statistisk Teori och Repetition av Sannolikhetslära Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen TAMS65 - Mål Kursens övergripande mål är att ge
Läs merFöreläsning 11, Matematisk statistik Π + E
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition
Läs merEtt exempel från fysikalisk kemi. Föreläsning 13: Multipel Regression. Enkel linjär regression. Mätningar från laborationer 2014
Ett exempel från fysikalisk kemi Föreläsning 3: Multipel Regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 5, 28 Hastigheten för en kemisk reaktion ökar ofta då temperaturen höjs.
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merKap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen
Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande
Läs mer1. För tiden mellan två besök gäller. V(X i ) = 1 λ 2 = 25. X i Exp (λ) E(X i ) = 1 λ = 5s λ = 1 5
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tentamen: 29 7 kl 8 3 Matematikcentrum FMSF45 Matematisk statistik AK för D,I,Pi,F, 9 h Lunds universitet MASB3 Matematisk statistik AK för fysiker, 9 h. För tiden mellan
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merDatorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se
Föreläsning 10 Datorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se vad som skall göras Föreläsning 10 Inferens
Läs merFöreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 8 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Enkel linjär regression (kap 17.1 17.5) o Skatta regressionslinje (kap 17.2) o Signifikant lutning? (kap 17.3, 17.5a) o Förklaringsgrad
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Normalfördelning, Centrala gränsvärdessatsen, Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 06.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Anna Lindgren 28+29 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F15: multipel regression 1/22 Linjär regression
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-20 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merF22, Icke-parametriska metoder.
Icke-parametriska metoder F22, Icke-parametriska metoder. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Tidigare när vi utfört inferens, dvs utifrån stickprov gjort konfidensintervall
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merUppgift 1. f(x) = 2x om 0 x 1
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I Matematisk statistik SF1907, SF1908 OCH SF1913 TORSDAGEN DEN 30 MAJ 2013 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, 073 321 3745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 1, kap Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20
732G71 Statistik B Föreläsning 1, kap. 3.1-3.7 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20 Exempel, enkel linjär regressionsanalys Ett företag vill veta
Läs merJesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014
Föreläsning 1. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Varför tillämpad statistik? Användningsområden i medicin, naturvetenskap
Läs merMatematisk statistik, Föreläsning 5
Matematisk statistik, Föreläsning 5 Ove Edlund LTU 2011-12-09 Ove Edlund (LTU) Matematisk statistik, Föreläsning 5 2011-12-09 1 / 25 Laboration 4 Jobba i grupper med storlek 2 Ove Edlund (LTU) Matematisk
Läs merFÖRELÄSNINGSMATERIAL. diff SE. SE x x. Grundläggande statistik 2: KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING. Påbyggnadskurs T1. Odontologisk profylaktik
Grundläggande statistik Påbyggnadskurs T1 Odontologisk profylaktik FÖRELÄSNINGSMATERIAL : KORRELATION OCH HYPOTESTESTNING t diff SE x 1 diff SE x x 1 x. Analytisk statistik Regression & Korrelation Oberoende
Läs mer1 Förberedelseuppgifter
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMS086 & MASB02 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: bli
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson (examinator) VT2017 TENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2017-04-20 LÖSNINGSFÖRSLAG Första version, med reservation för tryck-
Läs merFACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski
FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 15:E AUGUSTI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval
TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Repetition (t-test för H 0 : β i = 0) Residualanalys Modellval Framåtvalsprincipen
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merTMS136. Föreläsning 7
TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna
Läs merFöreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.
Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga
Läs mer