Datorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se

Transkript

1 Föreläsning 10 Datorlaboration 8/5 Jobba i grupper om 2-3 personer Vi jobbar i Minitab Lämna in rapport via fronter senast 22/5 Förbered er genom att läsa och se vad som skall göras

2 Föreläsning 10 Inferens för genomsnitt, t-fördelningen (okänt σ), 7.1 konfindensintervall hypotesprövning stickprov i par

3 Medelvärdet repetition Gäller då x N(µ, σ/ n), x µ σ/ N(0, 1) n

4 Medelvärdet repetition Gäller då x N(µ, σ/ n), x är normalfördelad, eller x µ σ/ N(0, 1) n

5 Medelvärdet repetition Gäller då x N(µ, σ/ n), x är normalfördelad, eller x µ σ/ N(0, 1) n vi har många observationer i vårt stickprov (n stort)

6 Känt σ, rep Konfidensintervall för µ: x ± z σ/ n, z väljs från normalfördelningen

7 Känt σ, rep Konfidensintervall för µ: x ± z σ/ n, z väljs från normalfördelningen Hypotesprövning: H 0 : µ = µ 0, H a : µ µ 0 Beräkna z = x µ 0 σ/, P-värdet = 2 P(Z > z ) n från normalfördelningen.

8 Känt σ, rep Konfidensintervall för µ: x ± z σ/ n, z väljs från normalfördelningen Hypotesprövning: H 0 : µ = µ 0, H a : µ µ 0 Beräkna z = x µ 0 σ/, P-värdet = 2 P(Z > z ) n från normalfördelningen. Vad göra om σ är okänt?

9 Okänt σ Vi skattar σ med stickprovsstandardavvikelsen s = s x. x µ σ/ N(0, 1) n x µ s/ n?

10 Okänt σ Vi skattar σ med stickprovsstandardavvikelsen s = s x. x µ σ/ N(0, 1) n ( s/ n kallas för standard felet ) x µ s/ n?

11 t-fördelningen, s401 Om stickprovet kommer från en N(µ, σ)fördelnings så gäller: t = x µ s/ n (t-fördelning med n-1 frihetsgrader) t(n 1)

12 t-fördelningen forts t-fördeningen liknar N(0,1) fördelningen men har mer area i ändarna

13 t-fördelningen forts t-fördeningen är: symmetrisk kring 0 mer och mer lik N(0,1) när antalet frihetsgrader växer

14 Okänt σ. Hur gör vi? s402

15 Okänt σ. Hur gör vi? s402 Betrakta t = x µ s/ t(n 1) n Beräkna s (kräver observationsvärden) och x och räkna som vanligt Exempel: Konfidensintervall för µ: I stället för x ± z σ/ n, får vi

16 Okänt σ. Hur gör vi? s402 Betrakta t = x µ s/ t(n 1) n Beräkna s (kräver observationsvärden) och x och räkna som vanligt Exempel: Konfidensintervall för µ: I stället för x ± z σ/ n, får vi x ± t s/ n där t kommer från t(n-1)-fördelningen.

17 Exempel 7.4 i minitab, s

18 Exempel 7.4 i minitab, s

19 Stickprov i par, s 410 Exempel: Ger våg A och våg B lika mätvärden?

20 Stickprov i par, s 410 Exempel: Ger våg A och våg B lika mätvärden? Låt n personer väga sig på båda vågarna och ge mätdata (a i, b i ), i = 1,..., n.

21 Stickprov i par, s 410 Exempel: Ger våg A och våg B lika mätvärden? Låt n personer väga sig på båda vågarna och ge mätdata (a i, b i ), i = 1,..., n. Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. Gör analys på d-datat Om d-värdena är normalfördelade? Använd t-test.

22 Stickprov i par, s 410 Exempel: Ger våg A och våg B lika mätvärden? Låt n personer väga sig på båda vågarna och ge mätdata (a i, b i ), i = 1,..., n. Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. Gör analys på d-datat Om d-värdena är normalfördelade? Använd t-test. H 0 : µ = 0, H a : µ > 0 konfidensintervall för µ

23 Vad gör vi om populationen inte är normalfördelad?

24 Vad gör vi om populationen inte är normalfördelad? Transformera datat. T.ex. titta på log(x) i stället för x

25 Vad gör vi om populationen inte är normalfördelad? Transformera datat. T.ex. titta på log(x) i stället för x Använd metoder för andra fördelningar.

26 Vad gör vi om populationen inte är normalfördelad? Transformera datat. T.ex. titta på log(x) i stället för x Använd metoder för andra fördelningar. Använd icke-parametrisk metod (utnyttjar ej ngn fördelning). T.ex. teckentest

27 Teckentest för stickprov i par

28 Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0).

29 Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0). X är binomialfördelad

30 Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0). X är binomialfördelad H 0 : p = 0.5 är samma sak som H 0 : median för d-värden är 0.

31 Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0). X är binomialfördelad H 0 : p = 0.5 är samma sak som H 0 : median för d-värden är 0. Ex: H 0 : p = 0.5 H a : p > 0.5.

32 Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0). X är binomialfördelad H 0 : p = 0.5 är samma sak som H 0 : median för d-värden är 0. Ex: H 0 : p = 0.5 H a : p > 0.5. Vi har 8 positiva och 3 negativa av 15 st d-värden.

33 Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0). X är binomialfördelad H 0 : p = 0.5 är samma sak som H 0 : median för d-värden är 0. Ex: H 0 : p = 0.5 H a : p > 0.5. Vi har 8 positiva och 3 negativa av 15 st d-värden. P-värde = P(X 8) när X B(11, 0.5). = 1 P(X 7) = = 11%

34 Teckentest för stickprov i par Bilda skillnaderna d i = a i b i, i = 1,..., n. x= antal d-värden är positiva (ignorera d-värden som är 0). X är binomialfördelad H 0 : p = 0.5 är samma sak som H 0 : median för d-värden är 0. Ex: H 0 : p = 0.5 H a : p > 0.5. Vi har 8 positiva och 3 negativa av 15 st d-värden. P-värde = P(X 8) när X B(11, 0.5). = 1 P(X 7) = = 11% Vi utnyttjar dock inte mätvärderna fullt ut. Om nästan normalfördelat så använd t-test.