10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov
|
|
- Stig Pålsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TNG006 F Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ, σ ). Antag vidare att stikproven är oberoende av varandra. Nedan ska vi bestämma ett konfidensintervall för linjärkombinationen µ + µ. Vi kommer att ta upp två fall. Det första oh enklaste är då σ oh σ är kända. Det andra är då σ oh σ är okända men lika, dvs σ = σ. 0.. Konfidensintervall för µ + µ då σ oh σ är kända Vi vet sen tidigare att X = m X j N(µ, σ / m) m oh Ȳ = n j= n Y j N(µ, σ / n). j= samt att linjärkombinationen är normalfördelat s.v. med X + Ȳ. väntevärdet E( X + Ȳ ) = E( X) + E(Ȳ ) = µ + µ.. variansen V ( X + Ȳ ) = V ( X) + V (Ȳ ) = σ /m + σ /n. Vi bildar en ny s.v. ( X + Ȳ ) ( µ + µ ) σ /m + σ /n N(0, ). Om vi söker ett intervall med konfidensgraden α, så kan vi ur tabellen för N(0, ) hitta kvantilen λ α/, så att ( P λ α/ ( X + Ȳ ) ( µ + µ ) ) σ /m + σ /n λ α/ = α. Vi säger då att I µ + µ = x + ȳ λ σ α/ m + σ n, x + ȳ + λ σ α/ m + σ ], n är ett tvåsidigt konfidensintervall för µ + µ med konfidensgraden α.
2 Exempel 0.. Vi har följande oberoende observationer från N(µ, 4) samt följande oberoende observationer från N(µ, 9) Bestäm ett 95% tvåsidigt konfidensintervall för µ µ. Lösning:
3 0.. Konfidenintervall för µ + µ då σ oh σ är okända Den tidigare bildade s.v. ( X + Ȳ ) ( µ + µ ) σ /m + σ /n N(0, ) duger inte nu då σ oh σ är okända. Låt oss anta att Då är linjärkombinationen normalfördelat med σ = σ = σ. X + Ȳ. väntevärdet E( X + Ȳ ) = E( X) + E(Ȳ ) = µ + µ.. variansen V ( X + Ȳ ) = V ( X) + V (Ȳ ) = σ /m + σ /n = σ ( /m + /n). Detta medför att s.v. ( X + Ȳ ) ( µ + µ ) σ /m + /n N(0, ). Vi ersätter nu σ med den sammanvägda stikprovs standardavvikelsen (m )s s = + (n )s, m + n där vi har använt stikprovens varianser s = m Vi bildar nu en ny s.v m j= (X j X) oh s = n n (Y j Ȳ ). j= ( X + Ȳ ) ( µ + µ ) s /m + /n t(m + n ). Ur tabell kan vi hitta kvantilen t α (m + n ), så att med sannolikheten α gäller dvs I µ + µ = t α/ (m + n ) ( x + ȳ) ( µ + µ ) s /m + /n t α/ (m + n ), x+ ȳ t α/ (m+n ) s m + n, x+ ȳ +t α/ (m+n ) s m + ] n är ett tvåsidigt konfidensintervall för µ + µ med konfidensgraden α. 3
4 Exempel 0.. Vikten av en tillverkad produkt A antas vara N(µ, σ). Följande värden är oberoende observationer på vikten för produkten A: Vikten av en annan tillverkad produkt B antas vara N(µ, σ). Följande värden är oberoende observationer på vikten för produkten B: Bestäm ett 95% tvåsidigt konfidensintervall för µ µ, dvs för den genomsnittliga skillnaden i vikt mellan produkt A oh produkt B. Lösning: 4
5 0.3. Konfidensintervall vid observationer i par Exemplet ovan beskriver situationen då två personer Linnéa oh Linus utför m = 5 respektive n = 8 mätningar på vikten hos en produkt. Stikproven var oberoende N(µ, σ ) respektive N(µ, σ ) oh vi kunde då studera den systematiska skillnaden µ µ mellan mätvärdena. Nedan ska vi studera situationen då Linnéa oh Linus utför en mätning var på vikten hos n olika produkter, Personer Objekt n Linnéa x x x n Linus y y y n Preis som tidigare är dessa två serier av mätvärden, men den tidigare modellen är oanvändbar, eftersom skillnader kan föreligga mellan objekten, oavsett om det föreligger skillnader mellan Linnéa oh Linus eller ej. Observationerna hänger ihop parvis från samma produkt. Antag att värdet x j för den j:te produkten kommer från en N(µ j, σ ) oh y j kommer från en annan fördelning N(µ j +, σ ). Vi har då okända parametrar µ, µ,..., µ n, σ, σ oh. Genom att bilda differenserna får vi z = y x, z = y x,..., z n = y n x n,. väntevärdet E(z j ) = E(y j x j ) = E(y j ) E(x j ) =.. variansen V (z j ) = V (y j x j ) = V (y j ) + ( ) V (x j ) = σ + σ. Alltså är z j N(, σ), där σ = σ + σ, oh de okända parametrar har därmed reduerts till enbart oh σ. Fallet med ett stikprov av oberoende z, z,..., z n som kommer från N(, σ) med okända oh σ har vi redan behandlat. Där har vi visat att om s är stikprovets standardavikelse s = n (z j z) n, j= så är I = z t α/ (n ) s n, z + t α/ (n ) s n ], ett konfidensintervall för med konfidensgraden α. 5
6 Exempel 0.3. Vid en studie vill man undersöka om ett visst preparat har någon effekt på järnbrist. I studien ingik nio personer på vilka järnhalten (i viss enhet) mättes vid studiens start samt efter tre vekors behandling med preparatet. Person nr: Ursprungligt värde x j Värde efter behandling y j Bestäm ett 95%- konfidensintervall för den genomsnittliga effekten av behandlingen. Lösning: 6
7 0.4. Konfidensintervall via normalapproximation Exempel 0.4. Ur en population väljes 400 personer slumpmässigt. Av dessa har 80 åsikten A. Bestäm ett 95% approximativt intervall för andelen p av populationen som har åsikten A. Lösning: 7
8 Exempel 0.5. Företaget Areo vill jämföra tillverkningstiden för två olika tillverkningsmetoder A oh B för en viss typ av kretskort. Tabellen nedan ger 7 tider med metod A oh 6 tider med metod B: A : B : Antag att tiderna utgör stikprov på N(µ A, σ) resp. N(µ B, σ) oh att stikproven är oberoende. Beräkna ett 95%-igt konfidensintervall för µ A µ B. Lösning: Om Xoh Y är tiderna för metod A resp. metod B, så är X N(µ A, σ) resp. Y N(µ B, σ). För linjärkombinationen X Ȳ gäller att samt att E( X Ȳ ) = µ A µ B V ( X Ȳ ) = V ( X) + ( ) V (Ȳ ) = σ /7 + 4σ /6 = σ (/7 + 4/6). Vi bildar nu s.v. ( X Ȳ ) (µ A µ B ) s t(7 + 6 ), där s = 6s A + 5s B är den sammanvägda σ -skattningen. Eftersom s = 5.4 oh t 0.05 () =., så är I µa µ B = x ȳ ± t 0.05 ()s ] = 0.9, 0.6] 6 ett 95%-igt konfidensintervall för µ A µ B. Eftersom konfidensintervallet I µa µ B täker 0 kan vi med felrisk 5% påstå att metod B är mer dubbel så snabb som B. Exempel 0.6. Man vill jämföra söktiden (µs) för två olika sökmotorer A oh B. Tabellen nedan ger 6 tider med sökmotor A oh 5 tider med sökmotor B: A : B : Antag att tiderna utgör stikprov på N(µ A, σ) resp. N(µ B, σ) oh att stikproven är oberoende.. Beräkna ett 99% konfidensintervall för µ A µ B.. Antag nu att σ är känt oh att σ =.3. Om man önskar ett tvåsidigt 99% konfidensintervall för µ A µ B vars längd är högst hur stora stikprov måste då tas på tiderna för A resp. B? Lösning: a) Om Xoh Y är tiderna för sökmotor A resp. sökmotor B, så är X N(µ A, σ) resp. Y N(µ B, σ). För linjärkombinationen X Ȳ gäller att E( X Ȳ ) = µ A µ B 8
9 samt att V ( X Ȳ ) = V ( X) + ( ) V (Ȳ ) = σ /6 + σ /5 = σ (/6 + /5). Vi bildar nu s.v. ( X Ȳ ) (µ A µ B ) s t(6 + 5 ), där s = 5s A + 4s B är den sammanvägda σ -skattningen. Eftersom s =. oh t (9) = 9 3.5, så är I µa µ B = x ȳ ± t (9) s 7 + ] =.9,.8] 6 ett 99%-igt konfidensintervall för µ A µ B. b) Eftersom σ är känt så är Z = ( X Ȳ ) (µ A µ B ) N(0, ) oh P (.58 Z s ) = Vi väljer lika stora stikprov med storleken n. Längden av konfidensintervallet blir.58.3 n + n = n Vi väljer n så att dvs vi väljer n = n n.5, Exempel 0.7. Vid intervjuer med personer slumpmässigt valda ur en stor population visade sig 50 ha en viss åsikt A. Låt p vara andelen i hela populationen som har åsikten A.. Beräkna ett 95% konfidensintervall för p.. Uppskatta hur många personer som måste intervjuas för att intervallet skall bli hälften så brett som det i a). Lösning: Låt händelsen A= en tillfrågad person har åsikten A. Om X = antalet personer av åsikten A, så är X Bin(, p). Vi antar att p är sådant att p( p) 0. Enligt CGS så är X därmed approximativt N(p, p( p)). Betrakta punktskattningen ˆp = X med avseende på p. Då är oh ( ) E(ˆp) = E X = E(X) = p = p, ( ) V (ˆp) = V X = E(X) = p( p) = p( p), 9
10 ( p( p) ) så att ˆp aproximativt N p, oh ˆp p N(0, ). p( p) p( p) ˆp( ˆp) Eftersom p är okänt skattar vi med. Som observerat punktskattning med avseende på p tar vi ˆp obs = 50 = 0.7. Detta ger att ˆpobs ( ˆp obs ) ˆpobs ( ˆp obs ) ] I p = ˆp obs.96, ˆp obs +.96 = 0., 0.] ett approximativt konfidensintervall för p med konfidensgraden Låt n vara antal interjuvade personer. Då har konfidensintervallet approximativt längd Denna längd skall vara hälften av det tidigare intervallets längd. Alltså n n = 68. 0
11 Exempel 0.8. Vi har följande oberoende observationer från N(µ, 4) samt följande oberoende observationer från N(µ, 9) Bestäm ett 95% tvåsidigt konfidensintervall för µ µ. Lösning: Vi vill bestämma ett konfidensintervall för µ µ med konfidengraden Betrakta därför punktskattningen som har X Ȳ = 5 5 X j 8 j= 8 j=. väntevärdet E( X Ȳ ) = E( X) E(Ȳ ) = µ µ.. variansen V ( X Ȳ ) = V ( X) + ( ) V (Ȳ ) = σ /5 + 4σ /8. Alltså är den s.v. X Ȳ N(µ µ, D), där D = σ /5 + 4σ /8. Vi bildar den s.v. Y j ( X Ȳ ) (µ µ ) D N(0, ). Ur tabellen för N(0, ) hittar vi kvantilen λ 0.05 =.96, så att P (( X Ȳ ).96D µ µ ( X Ȳ ) +.96D) = Med x = 5., ȳ = 37.0 oh D = σ /5 + 4σ /8 = 4 / /8 = 6.6 får vi I µ µ = x ȳ.96d, x ȳ +.96D] = , ] = 35.8, 9.9] ett tvåsidigt konfidensintervall för µ µ med konfidensgraden 0.95.
12 Exempel 0.9. Vikten av en tillverkad produkt A antas vara N(µ, σ). Följande värden är oberoende observationer på vikten för produkten A: Vikten av en annan tillverkad produkt B antas vara N(µ, σ). Följande värden är oberoende observationer på vikten för produkten B: Bestäm ett 95% tvåsidigt konfidensintervall för µ µ, dvs för den genomsnittliga skillnaden i vikt mellan produkt A oh produkt B. Lösning: Vi vill bestämma ett konfidensintervall för µ µ med konfidengraden Betrakta därför punktskattningen X Ȳ = 5 X j 8 Y j 5 8 som har j= j=. väntevärdet E( X Ȳ ) = E( X) E(Ȳ ) = µ µ.. variansen V ( X Ȳ ) = V ( X) + ( ) V (Ȳ ) = σ /5 + σ /8 = σ ( 5 + ). 8 Alltså är den s.v. X (µ Ȳ N µ, σ 5 + ) ( X Ȳ ) (µ µ ) N(0, ). 8 σ Eftersom σ är okänt ersätts den med den sammanvägda stikprovets standardavikelsen (5 )s s = + (8 )s, där Vi bildar därför s.v. s = 4 5 (X j X) oh s = 7 j= 8 (Y j Ȳ ). j= ( X Ȳ ) (µ µ ) t(5 + 8 ). s Ur tabellen för t-fördelningen hittar vi kvantilen t 0.05 () =.0, så att ( P ( X Ȳ ).0s µ µ ( X Ȳ ) +.0s 5 + ) = (5 )8 + (8 )49 Med x = 5., ȳ = 37.0 oh s obs = = 6.4 får vi I µ µ = x ȳ.s obs 5 + 8, x ȳ +.s obs 5 + ] 8 = , ] = 6.4,.8] ett tvåsidigt konfidensintervall för µ µ med konfidensgraden 0.95.
13 Exempel 0.0. Vid en studie vill man undersöka om ett visst preparat har någon effekt på järnbrist. I studien ingik nio personer på vilka järnhalten (i viss enhet) mättes vid studiens start samt efter tre vekors behandling med preparatet. Person nr: Ursprungligt värde x j Värde efter behandling y j Bestäm ett 95%- konfidensintervall för den genomsnittliga effekten av behandlingen. Lösning: Låt x j = värdet före för person j oh y j = värdet efter för person j. Då är x j N(µ j, σ ) oh y j N(µ j +, σ ), där µ, µ,..., µ n, σ, σ oh är okända parametrar. Vi bildar differenserna z j = y j x j. Då är oh så är E(z j ) = E(y j x j ) = E(y j ) E(x j ) = V (z j ) = V (y j x j ) = V (y j ) + ( ) V (x j ) = σ + σ, z j N(, σ + σ ), j =,,..., 9, ett stikprov där anger den okända genomsnittliga effekten av behandlingen. Bilda s.v. Eftersom z = 9 I = Person nr: Differensen z j z j s/ 9 t(8). 9 z j = 0. oh s = 8 (z j z) 8 = 0.79, så är j= j= z t 0.05 (8) s, z+t 0.05 (8) s ] = ] 9 9 3, = 0.83, 0.39] 3 ett konfidensintervall för med konfidensgraden
9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH INTERVALLSKATTNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 24 april 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 11 INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 24 april 2018 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Vad är en intervallskattning? (rep.) Den allmänna metoden för
Läs merLÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merFöreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning
Föreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning Stas Volkov 2017-11-14 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F12: Hypotestest 1/1 Konfidensintervall Ett konfidensintervall för en parameter θ täcker rätt
Läs merFöreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2
Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2 Kasper K. S. Andersen 4 oktober 208 Jämförelse av två väntevärden Ofte vil man jämföra två eller fler) produkter, behandlingar, processer etc. med varandra.
Läs merF10 Problemlösning och mer om konfidensintervall
1/13 F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 22/2 2013 2/13 Dagens föreläsning Problemlösning Skattningar Konfidensintervall
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs merTMS136. Föreläsning 13
TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs meren observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.
February 6, 2018 1 Föreläsning VIII 1.1 Punktskattning Punktskattning av µ Vi låter {ξ 1, ξ 2,..., ξ n } vara oberoende likafördelade stokastiska variabler (med ett gemensamt µ). ξ =: µ är en punktskattning
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs merMer om konfidensintervall + repetition
1/14 Mer om konfidensintervall + repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/2 2011 2/14 Dagens föreläsning Skattningar som slumpvariabler Väntevärde Varians
Läs merMatematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall
Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 07-0-04 kl..0-.0 Examinator
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merFöreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall
Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F9: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett stickprov, x 1, x 2,...,
Läs merFöreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall Stas Volkov 2017-11-7 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F11: Konfidensintervall
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 6 Johan Lindström 13 september 2017 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF70/MASB02 F6 1/22 : Rattonykterhet Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merF13 Regression och problemlösning
1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell
Läs merFÖRELÄSNING 7:
FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1913 MATEMATISK STATISTIK FÖR IT OCH ME ONSDAGEN DEN 12 JANUARI 2011 KL 14.00 19.00. Examinator: Camilla Landén, tel. 7908466. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merF3 Introduktion Stickprov
Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever
Läs merTMS136. Föreläsning 11
TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 216 FACIT: Matematik 3 för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik 3 för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 216-1-21 kl. 8.3-12.3
Läs merFöreläsning 11, Matematisk statistik Π + E
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merTAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning
TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning p-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/36
Läs merEXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF50: Matematisk statistik för L och V OH-bilder på föreläsning 7, 2017-11-20 EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 11 Johan Lindström 13 november 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F11 1/25 Repetition Stickprov & Skattning Maximum likelihood
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 15:E AUGUSTI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merF8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17
1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,
Läs merF11 Två stickprov. Måns Thulin. Uppsala universitet thulin@math.uu.se. Statistik för ingenjörer 26/2 2013 1/11
1/11 F11 Två stickprov Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 26/2 2013 2/11 Dagens föreläsning Konfidensintervall när man har ihopparade stickprov Att väga samman skattningar
Läs merFöreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs merFACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski
FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF194 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 1 AUGUSTI 019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merTENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004, TEN 06-06-0 Hjälpmedel: Formler oh tabeller i statistik, räknedosa Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter. Lösningarna skall vara
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal
Läs mera) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 14:E MARS 017 KL 08.00 13.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTMS136. Föreläsning 7
TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 5 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Konfidensintervall För andelar För medelvärden Vid jämförelser o Den statistiska felmarginalen o Stickprovsstorlek 2 Introduktion När man beräknar
Läs merTentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.
Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merTAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning
TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning P-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/33
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 20 FACIT: Tentamen L9MA0, LGMA0 Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 20-0-2
Läs merTentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (92MA1, STN2) 21-1-16 kl 8 12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2016-06-03 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson Jourhavande
Läs mer, s a. , s b. personer från Alingsås och n b
Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen
Läs mercx 5 om 2 x 8 f X (x) = 0 annars Uppgift 4
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 201 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 849. Tillåtna hjälpmedel: miniräknare,
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merEXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIKTE- ORIN (INFERENSTEORIN):
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 2018-09-19 EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIKTE- ORIN (INFERENSTEORIN):
Läs merTillåtna hjälpmedel: Räknedosa. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Broman, Jesper Rydén TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Sannolikhet och statistik 1MS5 214-1-11 Skrivtid: 8.-13.. För betygen 3, 4 resp. 5 krävs 18, 25 resp.
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl
Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 1 januari 006, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-
Läs mer(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merb) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF190 (f d 5B2501 ) SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR - ÅRIG MEDIA MÅNDAGEN DEN 1 AUGUSTI 2012 KL 08.00 1.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 21 7 45 Tillåtna
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merF14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva
Stat. teori gk, ht 006, JW F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10., 10.4-10.5, 11.5) Hypotesprövning för en proportion Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva H 0 : P = P 0 mot någon av H 1 : P P 0 ; H
Läs merStickprovsvariabeln har en fördelning / sprindning
unktskattning räcker ofta inte Sannolikhet och statistik Intervallskattning HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Figur: Mätresultat me stor varians Stickprovsvariabeln har en förelning
Läs merFöreläsning 5. Kapitel 6, sid Inferens om en population
Föreläsning 5 Kapitel 6, sid 153-185 Inferens om en population 2 Agenda Statistisk inferens om populationsmedelvärde Statistisk inferens om populationsandel Punktskattning Konfidensintervall Hypotesprövning
Läs merRepetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)
Repetition och förberedelse Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) F8.1 Kvantiler (3) F8.1 Kvantiler (3) F8.2 Räkna regler för väntevärdet (3) F8.3 Olikheter (X) F8.4 Sannolikgenererande funktioner (X) F8.5
Läs merUppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merDel I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:...
Avd. Matematisk statistik EXEMPELTENTAMEN I SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik (utdelas vid tentamen). Tentamen består av två delar,
Läs merTENTAMEN I SF2950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 2010 KL
TENTAMEN I SF950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 010 KL 14.00 19.00 Examinator : Gunnar Englund, tel. 790 7416, epost: gunnare@math.kth.se Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merUppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merLösningsförslag till Matematisk statistik LKT325 Tentamen
Lösningsförslag till Matematisk statistik LKT325 Tentamen 20190115 Kursansvarig: Reimond Emanuelsson Betygsgränser: för betyg 3 krävs minst 20 poäng, för betyg 4 krävs minst 30 poäng, för betyg 5 krävs
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2015-10-23 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Jesper Martinsson,
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 8 Johan Lindström 20 september 2017 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 1/20 : Poisson & Binomial för diskret data Johan
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 26:E OKTOBER 206 KL 8.00 3.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFöreläsningsanteckningar till kapitel 9, del 2
Föreläsningsanteckningar till kapitel 9, del 2 Kasper K. S. Andersen 17 oktober 2018 1 Hur väljar man hypotes och mothypotes? Allmänt finns två möjliga resultat av en statistik test: Nollhypotesen H 0
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merInledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ
Inledning till statistikteorin Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Punktskattningar Stickprov från en population - - - Vi vill undersöka bollhavet men får bara göra det genom att ta en boll
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 28 MAJ 2019 KL 8.00 13.00. Examinator för SF1922/SF1923: Tatjana Pavlekno, 08-790 86 44. Examinator för
Läs merLÖSNINGAR TILL P(A) = P(B) = P(C) = 1 3. (a) Satsen om total sannolikhet ger P(A M) 3. (b) Bayes formel ger
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tentamen: 2015 08 18 kl 8 00 13 00 Matematikcentrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB02 Matematisk statistik för
Läs mer