Stickprovsvariabeln har en fördelning / sprindning
|
|
- Inga Dahlberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 unktskattning räcker ofta inte Sannolikhet och statistik Intervallskattning HT uwe/ Figur: Mätresultat me stor varians Stickprovsvariabeln har en förelning / sprinning Repetition från kapitel 6 Hur stor är osäkerheten i var skattning? I µ1 µ 2 = 0.22 ± 0.01?? I µ1 µ 2 = 0.19 ± 0.03?? I µ1 µ 2 = 0.20 ± 0.45?? Kvantiler för N0, 1 Stanariserae slumpvariabel för normalförelning Sannolikhetsmassan inom kvantilgränser Förelning för meelväret och ierensen av meelvären Figur: unktskattningen styrs av slumpen
2 Kvantiler för en stanariserae normalförelningen Allmän och stanarisera normalförelning För gotyckliga a, b me a < b gäller: b µ a µ a < X b = F X b F X a = Φ Φ σ σ Sätt a = µ λ α/2 σ och b = µ + λ α/2 σ : Figur: Kvantiler för N 0, 1: Φλ α X Nµ, σ : µ λα/2 σ < X µ + λ α/2 σ α λ α Y N0, 1 : λα/2 < Y λ α/2 Sannolikhet inom kvantilgränser Sannolikhet inom kvantilgränser Y N0, 1 : λα/2 < Y λ α/ < Y 1.96 = 0.95 α = < Y 2.58 = 0.99 α = < Y 3.29 = α = Figur: Sannolikhetsmassan i intervallet λ α/2, +λ α/2 för N0, 1 α λ α
3 Intervallskattning / Konensintervall Skattning utan konensintervall: Bensinförbrukningen av en bil är 0.65 l/mil. Nackel: stämmer inte! Skattning me konensintervall: Bensinförbrukningen av en bil är 0.65 ± 0.05 l/mil. Ännu bättre: Sannolikheten är 95% att en bil av enna typ förbrukar 0.65 ± 0.05 l/mil. Förelar: 1 innehåller info om spriningen 2 är ärlig Konensintervall Storheten som ska skattas stängs in mellan unre och övre konensgräns, t.ex. θ = x 0.05, x Intervallgränserna kan bara konstrueras ur stickprovet - e är slumpvariabler. Me varje nytt stickprov får man ett annat konensintervall KI. Det är ock möjligt att ange me vilken sannolikhet gränserna omfattar et sanna väret, t.ex. = % KI 95% KI betyer: om vi tar 100 stickprov och beräknar konensintervallet 100 gånger, så omfattar 95 av essa intervaller et sanna väret. Exempel: Normalförelning, kän σ En maskin förpackar margarin i askar. Maskinen arbetar förstås inte exakt: nettovikten är förela me X Nµ, 2.5. Genom att ta ett stickprov n=25 vill vi kolla hur stor meelväret av nettovikten är ska vara 250 gram. Skattning för µ: X N x = 1/25 25 x i = µ, = X µ 0.5 N0, 1 95% av alla observationer av en N0, 1-variabel hamnar i intervallet 1.96, +1.96: 1.96 < x µ 0.5 < = 95% Exempel: Normalförelning, kän σ 95% av alla observationer av en N0, 1-variabel hamnar i intervallet 1.96, +1.96: 1.96 < x µ 0.5 < = 95% Omformning av uttrycket i parantesen ger: x < µ < x = 95% Sannolikheten är 95% att intervallet x ± omfattar et sanna väret µ. Eller: tar jag 100 stickprov me n = 25 och beräknar KI:er, så innehåller 95 av essa et sanna meelväret µ. Konensintervall: I µ ± 1 = 249.5, 251.5
4 95% konensintervall för en skattning Det viktigaste: att hitta en referensvariabel X N µ, σ/ n = X µ σ/ n N0, 1 σ kän Uttrycket X µ σ/ n använs som referensvariabel när σ kän. Referensvariabeln måste vara kän så nära som på en parameter vi vill skatta µ Referensvariabelns förelning måste vara fullstänigt kän inga parametrar, här N0, 1 Referensvariabeln stängs sean in inom enna förelningens kvantiler se nere Figur: Sannolikheten är 95% att vara konstruerae gränser omfattar et sanna väret θ, eller: i 95 av 100 stickprov har vi fånga et rätta väret Skatta vänteväret för Nµ, σ me KI är σ är kän X N µ, D me D = σ/ n = X µ N0, 1 För en observation av referensvariabeln, som är N0, 1, gäller: λ α/2 < x µ < λ α/2 D Omformning av uttrycket inom parantesen ger: D Omformning av uttrycket inom parantesen 1 α = = = λ α/2 < x µ λ α/2 D λα/2 D < x µ λ α/2 D λα/2 D µ x > λ α/2 D D 1 + x x λα/2 D < µ < x + λ α/2 D Det sanna vänteväret omfattas alltså me slh. 1 α av: I µ = x λ α/2 D, x + λ α/2 D D = σ/ n Konensintervall för µ me konensgraen 1 α = = x + λα/2 D µ > x λ α/2 D x λα/2 D < µ x + λ α/2 D vän om
5 Skatta vänteväret för Nµ, σ me KI är σ okän Om σ är kän gäller D = σ/ n Är σ okän ersätts D me meelfelet: = s/ n Meelfelet är ock en komplicera funktion av slumpvariabler: = 1 s = 1 1 n 2 X i X n n n 1 Uttrycket X µ/ är ärför inte normalförela: Skatta vänteväret för Nµ, σ me KI är σ okän Uttrycket X µ/ kan änå använas som referensvariabel: X µ tf me f = n 1 frihetsgraer Även för t-förelningen nns kvantiler tabellerae: t α/2 f < X µ < t α/2 f X tα/2 f < µ < X + tα/2 f X µ / N Det sanna vänteväret omfattas alltså me slh. 1 α av: I µ = x t α/2 f, x + t α/2 f = s/ n ; f = n 1 Skatta vänteväret för Nµ, σ me KI är σ okän Sammanfattning för skattning av µ för Nµ, σ Slumpmässigt stickprov x 1,... x n från Nµ, σ är µ är okänt. Skattningar för µ me konensgraen 1 α är: σ Konensintervall Förkortningar kän I µ = x ± λ α/2 D D = σ/ n okän I µ = x ± t α/2 n 1 = s/ n
6 Exempel för skattning av µ för Nµ, σ Jämförelse av normal- och t-förelning Vi vet eller har skäl att tro att X är normalförela. x = 15.7, 14.3, 12.65, 13.2, 16.85, 16.05, 16.55, 16.05, 16.6, Sökes: 95% konensintervall för µ Om et är känt att σ = 1.56 : D = σ/ n 0.5 λ α/2 = λ = 1.96 I µ = x ± λ α/2 D = 15.5 ± ± 1 = 14.5, 16.5 Om σ är okän: s = 1.56 = s/ n 0.5 t α/2 f = t = 2.26 I µ = x ±t α/2 n ± ±1.1 = 14.4, 16.6 Skatta σ för Nµ, σ me KI är µ är okän Tabell för χ 2 -förelningen Referensvariabel: 1 σ 2 n X i X 2 χ 2 n 1 Även för χ 2 -förelningen nns kvantiler tabellerae f = n 1: 1 χ 2 α/2 f n χ 2 1 α/2 f < 1 σ 2 X i X 2 < σ 2 < n 2 X i X < χ 2 α/2 f 1 χ 2 1 α/2 f n 2 X i X OBS!: χ 2 -förelningen är inte symmetrisk.
7 Sammanfattning för skattning av σ för Nµ, σ Sickprov x 1,... x n från Nµ, σ är µ och σ är okäna. Skattningar för σ me konensgraen 1 α är: Exempel för skattning av σ för Nµ, σ Vi vet att X är normalförela, men µ och σ är okäna x = 15.7, 14.3, 12.65, 13.2, 16.85, 16.05, 16.55, 16.05, 16.6, Sökes: 95% konensintervall för σ Skattn. Konensintervall Förkortningar s = 1.56 f = 9 σ 2 I σ 2 = Q/χ 2 α/2 f, Q/χ21 α/2 f Q = n 2 X i X χ 2 α/2 f = χ = 19 χ 2 1 α/2 f = χ = 2.7 f σ I σ = χ 2 α/2 f s, f χ 2 1 α/2 f s s = Q n 1 I σ = f χ 2 α/2 f s, f χ 2 1 α/2 f s 9 = , = 1.07, 2.85 f = n 1 χ 2 -förelning för olika frihetsgraer Konensintervall för ierens mellan väntevären av två normalförelae storheter x 1, x 2,... x nx från Nµ X, σ X y 1, y 2,... y ny från Nµ Y, σ Y Figur: Mätresultat me stor varians
8 Konensintervall för µ; σ x och σ y käna Skattning för µ: µ obs = x ȳ ; µ = X Ȳ X Ȳ N µ X µ Y, D me D = Referensvariabel: σ 2 X /n X + σ 2 Y /n Y X Ȳ µ X µ Y N0, 1 λ α/2 < X Ȳ µ X µ Y < λ α/2 D D Konensintervall för µ; σ = σ X = σ Y okän Om σ är kän gäller: D = σ 1/n X + 1/n Y Är σ okän ersätts D me meelfelet: = s xy 1/nX + 1/n Y Stickprovs-stanaravv. för två stickprov som antas ha samma σ: s xy = nx 2 X i X + n Y 2 Y i Ȳ n X 1 + n Y 1 Q x + Q y = n X 1 + n Y 1 x ȳ λα/2 D < µ X µ Y < x ȳ + λ α/2 D Uttrycket X Ȳ µ X µ Y är ärför inte normalförela: Den sanna ierensen omfattas alltså me slh. 1 α av: I µx µ Y = x ȳ λ α/2 D; x ȳ + λ α/2 D D = σ 2 X /n X + σ 2 Y /n Y X Ȳ µ X µ Y / N Konensintervall för µ; σ = σ X = σ Y okän Man kan visa att X Ȳ µ X µ Y är t-förela: X Ȳ µ X µ Y tf me f = n X 1 + n Y 1 Stäng in referensvariabeln mellan t-förelningens kvantiler: t α/2 f < X Ȳ µ X µ Y < t α/2 f x ȳ tα/2 f < µ X µ Y < x ȳ + t α/2 f Den sanna ierensen omfattas alltså me slh. 1 α av: I µx µ Y = x ȳ ± t α/2 f = s xy 1/n X + 1/n Y Sammanfattning: Normalförelning, KI för µ Två normalförelae stickprov är µ är okänt. Skattningar för µ me konensgraen 1 α är: σ X, σ Y Konensintervall Förkortningar båa käna I µ = x ȳ ± λ α/2 D D = σ 2 X /n X + σ 2 Y /n Y båa lika, I µ = x ȳ ± t α/2 f = s 1/nX + 1/n Y ock okäna Q X = n X 2 X i X ; f = nx 1 + n Y 1 s = Q X + Q Y /f
9 Moell för parae observationer arae observationer Exempel: Blotryck före och efter använning av en preparat. Exempel: Blotryck hos 10 personer före och efter använning av en preparat. erson Blotryck före Blotryck efter ar X Nµ 1 +, σ 1 Nµ 2 +, σ 1 Nµ 3 +, σ 1... Y Nµ 1, σ 2 Nµ 2, σ 2 Nµ 3, σ 2... Z = X Y N, σ z N, σ z N, σ z... Z = X Y N, σ z me σ z = σ σ2 2 Mest intressant är t.ex skillna mellan blotrycken före/efter Alla Z kommer från samma normalförelning och et kan utnyttjas för att skatta! KI för µ är X och Y är parae observationer Z = X Y N, σ z Z N, σz / n Vi har en observation z 1, z 2,... z n alla ierenser z i = x i y i Stanarsituation: KI för vänteväret för N är σ okän. Referensvariabel: Z tf me f = n 1 frihetsgraer t α/2 f < Z < t α/2 f Z tα/2 f < < Z + tα/2 f Den sökte parametern omfattas alltså me slh. 1 α av: I = z t α/2 f, z + t α/2 f = s z / n ; f = n 1 Exempel för KI för µ för parae observationer Två personer utföre mätningar av 11 olika objekt: B A z Mätningarna antas vara observationer från Nµ j, σ 1 resp. Nµ j +, σ 2 är är en systematiska ierensen mellan båa. z = 1.34 f = n 1 = 10 t α/2 f = t = 2.23 s = 1 n n 1 z i z 2 = 1.33 = s/ 11 = I = z ± t α/2 f = 1.34± = 1.34±0.89 = 0.45, 2.23
10 Normalapproximationen för intervallskattning Normalapproximationen för intervallskattning roblem: Stickprovsvariabel inte normalförela Är stickprovet stor gäller approximationen: θ N Låt θ vara en punktskattning för θ, me E θ = θ och stanaravvikelsen D. Låt θ vara ungefär normalförela stort stickprov. Konensintervaller för θ me konensgraen 1 α är: Exempel: X AsNµ, σ n även om komponenterna X i normalförelae Centrala gränsväressatsen inte är D Allmän θ θ = X Referensvariabel: θ θ Dθ N0, 1 D kän I θ = θ obs ± λ α/2 D I µ = x ± λ α/2 D me D = σ/ n Approximationen är esto bättre ju större stickprovet är. D = Dθ I θ = θ obs ± λ α/2 I µ = x ± λ α/2 me = s/ n s 2 = 1/n 1 x i x 2 Normalapproximation, KI för µ Två stora stickprov, µ 1, µ 2 resp. σ 1, σ 2. Skattningar för µ me konensgraen 1 α är: σ 1, σ 2 Konensintervall Förkortningar båa käna I µ = x ȳ ± λ α/2 D D = båa okäna I µ = x ȳ ± λ α/2 = s 2 = 1/n 1 x i x 2 σ 2 1 /n 1 + σ 2 2 /n 2 s 2 1 n 1 + s2 2 n 2 Exempel för normalapproximation, KI för µ Test av två beövningsmeel A och B, beövningstien minuter: A = 195, 240, 154, 95, 65, 82, 132, 155, 125, 119, 155, 345, 145, 200, 130, 223, 145, 207, 183, 190, 137, 210 B = 88, 73, 165, 188, 145, 158, 195, 165, 140, 145, 203, 196, 230, 225, 128, 190, 170, 158, 72, 135, 105, 155, 165, , 125, 188, 145, 208, 75 99% konensintervall för skillnaen mellan meelvären? x A = s A = x B = s B = x A x B = = s 2 A n A + s 2 B n B = = meelfelet α = 0.99 α = 0.01 λ α/2 = λ = 2.58 I µ = x A x B ± λ α/2 = ± = 27, 51
11 Normalapproximation för binomialförelningen Stickprov: p obs = x/n = p = X /n Normalapproximation för binomialförelningen p AsNp, me = p obs 1 p obs /n X Binn, p X AsNn p, n p 1 p n stor p = X /n AsNp, p 1 p/n p AsNp, D me D = p 1 p/n D = p1 p/n = p 1 obs p obs /n Stickprovsvariablen p är alltså asymptotiskt normalförela och vi kan anväa va vi har hittat förut. Ett konensintervall för p me konensgraen 1 α är: I p = p obs λ α/2, p obs + λ α/2 Exempel för normalapproximationen för Binn,p Opinionsuners.: n = 250, x = 42 obs p obs = x/n = 42/250 = = p obs 1 p obs /n = /250 = Normalapproximationen för Binn,p: beräkning av n Önskemål: 95% KI för p som ska inte vara breare än 0.1 Hur stor måste n vara KI:et blir ju smalare me större stickprov I p = p ± λ obs α/2 = w = 2 λ α/2 with 95% konensintervall för p: λ α/2 = λ = 1.96 I p = p obs λ α/2, p obs + λ α/2 w = 2 λ α/2 = 2 λ α/2 0.1 n 2 λ α/2 p 1 obs p obs p obs 1 p obs n 0.1 = ± = ± = 0.12, 0.21 n λ Me mer information om p kan p 1 obs p 1/4 förbättras. obs
12 KI för ierens av två väntevären för Bin p 1 AsN p 1, p 1 1 p 1 /n 1 och p 2 AsN p 2, p 2 1 p 2 /n 2 Exempel: Två opinionsunersökn. vi olika tier, n 1, n 2 stora Unersökning 1 Unersökning 2 p 1,obs = x 1/n 1 p 2,obs = x 2/n 2 X 1 Bin n 1, p 1 X 2 Bin n 2, p 2 X 1 AsN n 1 p 1, p 1 1 p 1 n 1 p 1 AsN p 1, p 1 1 p 1 /n 1 X 2 AsN n 2 p 2, p 2 1 p 2 n 2 p 2 AsN p 2, p 2 1 p 2 /n 2 Skatta ierensen me p 1,obs p 2,obs : p 1 p 2 AsN p 1 p 2, D me D = Referensvariabel: p 1 p 2 p 1 p 2 N0, 1 D p 1 1 p 1 n 1 + p 21 p 2 n 2 n 2 D λ α/2 < p 1 p 2 p 1 p 2 < +λ α/2 p p λ 1,obs 2,obs α/2 < p 1 p 2 < p p + λ 1,obs 2,obs α/2 I p1 p 2 = p 1,obs p 2,obs ± λ α/2 = D p, 1,obs p 2,obs Sammanfattning Begrepp konensintervall Referensvariabel KI för vänteväret av Nµ, σ, σ kän eller okän KI för µ av två normalförelae s.v., σ kän eller okän arae observationer: KI för Normalapproximation för intervallskattning... för binomialförelning Appenix
13 Ensiiga intervaller för normalförelning För gotyckliga a, b me a < b gäller: b µ a µ a < X b = F X b F X a = Φ Φ σ σ Sätt a = och b = µ + λ α σ och använ Φ = 0 Symmetri för ensiiga intervaller Unre gräns: X µ + λ α σ X µ + λ α σ = Φ λ α Sätt a = µ λ α σ och b = + och använ Φ+ = 1 Övre gräns: X µ λ α σ X > µ λ α σ = Φ λ α Beakta när olikheter omformas!
Thomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH INTERVALLSKATTNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 24 april 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 11 INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 24 april 2018 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Vad är en intervallskattning? (rep.) Den allmänna metoden för
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x
Läs merMatematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall
Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett
Läs merF9 Konfidensintervall
1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merFöreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall
Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F9: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett stickprov, x 1, x 2,...,
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merFöreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, FMSF45 Konfidensintervall Stas Volkov 2017-11-7 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F11: Konfidensintervall
Läs merFöreläsning 11, Matematisk statistik Π + E
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition
Läs meren observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.
February 6, 2018 1 Föreläsning VIII 1.1 Punktskattning Punktskattning av µ Vi låter {ξ 1, ξ 2,..., ξ n } vara oberoende likafördelade stokastiska variabler (med ett gemensamt µ). ξ =: µ är en punktskattning
Läs merMer om konfidensintervall + repetition
1/14 Mer om konfidensintervall + repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/2 2011 2/14 Dagens föreläsning Skattningar som slumpvariabler Väntevärde Varians
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs mer10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov
TNG006 F0-05-06 Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ,
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 6 Johan Lindström 13 september 2017 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF70/MASB02 F6 1/22 : Rattonykterhet Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 11 Johan Lindström 13 november 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F11 1/25 Repetition Stickprov & Skattning Maximum likelihood
Läs merInledning till statistikteorin. Skattningar och konfidensintervall för μ och σ
Inledning till statistikteorin Skattningar och konfidensintervall för μ och σ Punktskattningar Stickprov från en population - - - Vi vill undersöka bollhavet men får bara göra det genom att ta en boll
Läs merFöreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning
Föreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning Stas Volkov 2017-11-14 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F12: Hypotestest 1/1 Konfidensintervall Ett konfidensintervall för en parameter θ täcker rätt
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning
Läs merTMS136. Föreläsning 10
TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merLÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5
Läs merFÖRELÄSNING 7:
FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merTenta i Statistisk analys, 15 december 2004
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Johan Lindström Repetition Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Grundläggande begrepp (Kap.
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merTryckfel i K. Vännman, Matematisk Statistik, upplaga 2:13
Tryckfel i K. Vännman, Matematisk Statistik, upplaga 2:13 Kasper K. S. Andersen 11 oktober 2018 s. 10, b, l. 8: 1 4 17.62 1 5 17.62 s. 25, Tabell 1.13, linje 1, kolonn 7: 11 111 s. 26, Figur 1.19 b, l.
Läs merFöreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)
Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika
Läs merEXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF50: Matematisk statistik för L och V OH-bilder på föreläsning 7, 2017-11-20 EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):
Läs merF10 Problemlösning och mer om konfidensintervall
1/13 F10 Problemlösning och mer om konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 22/2 2013 2/13 Dagens föreläsning Problemlösning Skattningar Konfidensintervall
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merF14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva
Stat. teori gk, ht 006, JW F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10., 10.4-10.5, 11.5) Hypotesprövning för en proportion Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva H 0 : P = P 0 mot någon av H 1 : P P 0 ; H
Läs merExempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler
Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merESS011: Matematisk statistik och signalbehandling Tid: 14:00-18:00, Datum:
ESS0: Matematisk statistik och signalbehandling Tid: 4:00-8:00, Datum: 20-0-2 Examinatorer: José Sánchez och Bill Karlström Jour: Bill Karlström, tel. 070 624 44 88. José Sánchez, tel. 03 772 53 77. Hjälpmedel:
Läs merFöreläsning 7. Statistikens grunder.
Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merFöreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2
Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2 Kasper K. S. Andersen 4 oktober 208 Jämförelse av två väntevärden Ofte vil man jämföra två eller fler) produkter, behandlingar, processer etc. med varandra.
Läs merTAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning
TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning p-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/36
Läs merTMS136. Föreläsning 11
TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för
Läs merTentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (92MA1, STN2) 21-1-16 kl 8 12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merTillåtna hjälpmedel: Räknedosa. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Broman, Jesper Rydén TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Sannolikhet och statistik 1MS5 214-1-11 Skrivtid: 8.-13.. För betygen 3, 4 resp. 5 krävs 18, 25 resp.
Läs merF13 Regression och problemlösning
1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell
Läs merLinjär regression - kalibrering av en våg
Lijär regressio Saolikhet och statistik Regressiosaalys HT 2008 Uwe.Mezel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Samba mella två storheter ofta av itresse:... solarium hucacer... BN växelkurs... rökaet
Läs merRepetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)
Repetition och förberedelse Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) F8.1 Kvantiler (3) F8.1 Kvantiler (3) F8.2 Räkna regler för väntevärdet (3) F8.3 Olikheter (X) F8.4 Sannolikgenererande funktioner (X) F8.5
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merF8 Skattningar. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 14/ /17
1/17 F8 Skattningar Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 14/2 2013 Inledande exempel: kullager Antag att diametern på kullager av en viss typ är normalfördelad N(µ,
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merEXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIKTE- ORIN (INFERENSTEORIN):
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 2018-09-19 EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIKTE- ORIN (INFERENSTEORIN):
Läs merFACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski
FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merDel I. Uppgift 1 Låt X och Y vara stokastiska variabler med följande simultana sannolikhetsfunktion: p X,Y ( 2, 1) = 1
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1920/SF1921 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 11 MARS 2019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merFöreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs merFöreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Föreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess Stas Volkov 217-1-3 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och
Läs merFöreläsning 5: Hypotesprövningar
Föreläsning 5: Hypotesprövningar Johan Thim (johan.thim@liu.se) 24 november 2018 Vi har nu studerat metoder för hur man hittar lämpliga skattningar av okända parametrar och även stängt in dessa skattningar
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1913 MATEMATISK STATISTIK FÖR IT OCH ME ONSDAGEN DEN 12 JANUARI 2011 KL 14.00 19.00. Examinator: Camilla Landén, tel. 7908466. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merDel I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:...
Avd. Matematisk statistik EXEMPELTENTAMEN I SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik (utdelas vid tentamen). Tentamen består av två delar,
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 28:E OKTOBER 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn Olof Skytt 08-790 86 49. Tillåtna
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs mera) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 14:E MARS 017 KL 08.00 13.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merF9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT
Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion
Läs merTeoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005
Teoretisk statistik Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Vt 2005 Inledning Vi skall kortfattat behandla aspekter av teoretisk statistik där framför allt begreppet uttömmande (ibland kallad tillräcklig
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning
Läs merJesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014
Föreläsning 1. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Varför tillämpad statistik? Användningsområden i medicin, naturvetenskap
Läs merTentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 2: Statistik 7.5 hp
Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 2: Statistik 7.5 hp 15 januari, 2014 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Typgodkänd miniräknare
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merFöreläsning 3: Konfidensintervall
Föreläsning 3: Konfidensintervall Johan Thim (johan.thim@liu.se) 5 september 8 [we are] Eplorers in the further regions of eperience. Demons to some. Angels to others. Pinhead Intervallskattningar Vi har
Läs merF11 Två stickprov. Måns Thulin. Uppsala universitet thulin@math.uu.se. Statistik för ingenjörer 26/2 2013 1/11
1/11 F11 Två stickprov Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 26/2 2013 2/11 Dagens föreläsning Konfidensintervall när man har ihopparade stickprov Att väga samman skattningar
Läs merTENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-01 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:
Läs merUppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik
Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik Π + E
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Föreläsning 8, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 9 december 214 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 1/23 Repetition Binomial Poisson
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson,
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, 5--9 Lösningförslag skriftlig hemtentamen i Fortsättningskurs i statistik, moment, Statistisk Teori, poäng. Deltentamen : Sannolikhetsteori
Läs merSkattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?
Skattig / Iferes Saolikhet och statistik Puktskattig Försöket att beskriva e hel populatio pga ågra få mätvärde! Oberservatio = Populatio HT 2008 UweMezel@mathuuse http://wwwmathuuse/ uwe/ Populatio har
Läs merLufttorkat trä Ugnstorkat trä
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 och SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 18:E OKTOBER 2012 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 20 FACIT: Tentamen L9MA0, LGMA0 Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 20-0-2
Läs merUrvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap )
F3 Urvalsmetoder: Sannolikhetsurval resp. icke-sannolikhetsurval, OSU (kap 9.1-9.4) Urval Anta att vi ska göra en urvalsunderökning och samla in primärdata Totalundersökning ofta inte möjlig För dyrt Tar
Läs merTentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle
Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs mer1. En kortlek består av 52 kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg.
Tentamenskrivning för TMS63, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 1 juni, 16, Eklandagatan 86. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: 7-88113. Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 5:E APRIL 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 TILLÄMPAD STATISTIK, ONSDAGEN DEN 7:E APRIL 09 KL 8.00 3.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 8649 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2019-06-07 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson Jourhavande
Läs mer