Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

Transkript

1 Repetition och förberedelse Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

2 F8.1 Kvantiler (3)

3 F8.1 Kvantiler (3)

4 F8.2 Räkna regler för väntevärdet (3)

5 F8.3 Olikheter (X)

6 F8.4 Sannolikgenererande funktioner (X)

7 F8.5 Centrala gränsvärdessats (4)

8 F11.1 Egenskaper hos normal fördelningen (3)

9 Exempel av frågor i tentamen 4. En kaffemaskin säljer kaffe för 13kr per kopp. Antalet sålda koppar kaffe per dag anses vara Poissonfördelat med väntevärde 100. Att hålla maskinen i drift en dag kostar k kronor, där k anger antalet koppar sålda under dagen. Vad är sannolikheten att kaffemaskinen en given dag drar in en vinst? 4. Antalet bilar som passerar Berras Mack i byn Nedre Snålvattnet under ett dygn kan beskrivas av en slumpvariabel X Po(10). Vi kan också anta att antalet bilar som passerar under olika dygn är oberoende av varandra. (a) Beräkna sannolikheten för att det passerar minst 12 bilar under ett dygn. (b) Beräkna sannolikheten för att det passerar minst 84 bilar under en vecka. (c) Beräkna sannolikheten för att det passerar minst 12 bilar under minst 2 dygn under en vecka.

10 Approximationer npq N n N 1 > 5 Bin(n, p) npq > 5 N(µ, σ 2 ) (E(X) =µ, V (X) =σ 2 ) n N < 0.1 p <0.1 λ > 15 Hyp(N,n,p) p + n N < 0.1 Po(λ) (λ = np)

11 F10.2 Väntevärdesriktig och effektivare (3)

12 Exempel av frågor i tentamen 5. Man har ett stickprov x 1,x 2,x 3 från en slumpvariabel X som har väntevärde µ och varians 1. Tre skattningar av µ är föreslagna, µ 1 = 1 3 x x x 3 µ 2 = 1 6 x x x 3 µ 3 = 1 8 x x x 3 (a) Två av de tre föreslagna skattningarna är väntevärdesriktiga. Vilka? (b) Vilken av de väntevärdesriktiga skattningarna är effektivast?

13 F11.1 KonNidens intervall: känd varians (3)

14 F11.2 KonNidens intervall: exponential med ett observation (4)

15 F11.3 KonNidens intervall: normal med okänd variansen (3)

16 F11.4 KonNidens intervall: exponential (4)

17 Exempel av frågor i tentamen 99% 99%

18 F12.1 Räknar regler för normala fördelning (X)

19 F12.2 Hypotesproving: känd varians (3)

20 F12.3 Hypotesproving: okänd varians (3)

21 Exempel av frågor i tentamen 6. En liten solfångare kan ges två olika konfigurationer, A och B. För att utreda vilken som är effektivast användes A och B varannan dag under en 12-dagarsperiod, vars dagar bedömdes vädermässigt ekvivalenta. (Solen sken från en, i stort sett, molnfri himmel alla försöksdagarna.) Energiutbytet (i kwh) under försöksdagarna redovisas nedan: Konfiguration A 10.0, 10.2, 12.1, 12.7, 11.5, 10.7 Konfiguration B 13.7, 11.5, 10.7, 14.4, 12.3, 13.8 Utgående från mätvärdena, kan (med 5% felrisk) någon av A och B anses vara bättre än den andra? (Antaganden om normalfördelning och lika varianser må göras.) 95%

22 12.4 Stickprov i par (3)

23 12.5 Teckentestet (4)

24 Exempel av frågor i tentamen 6. Utvärdering skall ske av två radarsystem, ett äldre och ett nyutvecklat. Dessa skall användas för att upptäcka inflygande flygplan. Mätvärdet för respektive system (i km) är avståndet till flygplanet när detta detekteras; värden för det äldre systemet ses som observationer av en slumpvariabel X, medan observationerna från det nyare systemet ses som observationer av Y.Syftet är att undersöka en eventuell systematisk avvikelse för medelavstånd för detektion mellan systemen. Vid tio tillfällen har man funnit följande observationer: Tillfälle Äldre system Nyare system Man antar att systemen inte påverkar varandra när de används vid mättillfällena. Inför en lämplig statistisk modell och utred om en systematisk avvikelse är statistiskt säkerställd (signifikansnivå 0.95). S.ckprov I par och teckentestet!

25 14 Kovarians och korrelation (X)

26 14 Linjärregression (X)

27 14 Linjärregression (3)

28 Exempel av frågor i tentamen y x 15P i=1 x = ȳ =4.92 (x i x)(y i ȳ) = P i=1 (x i x) 2 P = (y i ȳ) 2 = y i = + x i + i i N(0, 2 ) i=1

29 Tack!