Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

Transkript

1 Repetition och förberedelse Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

2 Formellsamling och teori Nästa varje ekva.on som vi använder under kursen finns I samlingen. Tricket i examen är hica räc metod/fördelning.ll räc problem. För ac göra det måste ni förstår hur man använder teori.

3 Kurssammanfattning X Bakgrund. (Ingår inte i tentan) 3 Grund kunskap 4 Vik.g kunskap 5 Avancerad kunskap

4 F1 Utfallsrum (X)

5 F2.1 Träddiagram (3)

6 Exempel av frågor i tentamen 2 { }

7 Exempel av frågor i tentamen 1. Putte har fyra lådor framför sig. I den första lådan finns det fyra biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, i den andra lådan finns det fem biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, i den tredje lådan finns det sex biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, 6, i den fjärde lådan finns det sju biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (a) Putte väljer en låda slumpmässigt och drar en boll ur denna låda. Vad är sannolikheten att bollen har nummer 5? (b) Givet händelsen i a, dvs att Putte drog en boll med nummer 5, vad är då sannolikheten att han drog den ur låda nummer 3? (c) Antag nu som i a. att Putte väljer en låda slumpmässigt, men att han istället drar två bollar (utan återläggning). Vad är sannolikheten att båda bollarnas nummer är 4 eller mindre?

8 F2.2 Kombinatorik (3)

9 F2.2 Kombinatorik (3)

10 F2.2 Kombinatorik (3)

11 F2.2 Kombinatorik (5)

12 F2.2 Kombinatorik (5)

13 F2.2 Kombinatorik (3)

14 F2.3 Pascal s triangel (3)

15 Exempel av frågor i tentamen 1. Putte har fyra lådor framför sig. I den första lådan finns det fyra biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, i den andra lådan finns det fem biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, i den tredje lådan finns det sex biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, 6, i den fjärde lådan finns det sju biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (a) Putte väljer en låda slumpmässigt och drar en boll ur denna låda. Vad är sannolikheten att bollen har nummer 5? (b) Givet händelsen i a, dvs att Putte drog en boll med nummer 5, vad är då sannolikheten att han drog den ur låda nummer 3? (c) Antag nu som i a. att Putte väljer en låda slumpmässigt, men att han istället drar två bollar (utan återläggning). Vad är sannolikheten att båda bollarnas nummer är 4 eller mindre?

16 F2.3 Pascal s triangel (3)

17 F2.3 Pascal s triangel (4)

18 F3.1 Betingning (3)

19 F3.2 Oberoende (3)

20 F3.3 Bayes sats (5)

21 F3.3 Bayes sats (4)

22 Exempel av frågor i tentamen 1. Låt A vara händelsen: Ett flygplan passerar en radar, och B vara händelsen: Radarn registrerar något. Givet att P(A) = 0.05 och att tillverkaren har angivit: P(B A) =0.99 och P(B A c )=0.10. (a) (2p) Beräkna P(B). (b) (3p) Beräkna P(A B) { }

23 Exempel av frågor i tentamen 1. Putte har fyra lådor framför sig. I den första lådan finns det fyra biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, i den andra lådan finns det fem biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, i den tredje lådan finns det sex biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, 6, i den fjärde lådan finns det sju biljardbollar numrerade 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (a) Putte väljer en låda slumpmässigt och drar en boll ur denna låda. Vad är sannolikheten att bollen har nummer 5? (b) Givet händelsen i a, dvs att Putte drog en boll med nummer 5, vad är då sannolikheten att han drog den ur låda nummer 3? (c) Antag nu som i a. att Putte väljer en låda slumpmässigt, men att han istället drar två bollar (utan återläggning). Vad är sannolikheten att båda bollarnas nummer är 4 eller mindre?

24 F4 Diskreta slumpvariabler (X)

25 F4 Diskreta slumpvariabler (3) Defini&on: Fördelnings funk.on, väntevärdet, variansen, standard avvikelse, och varia.onskoefficient. Beräkningar:

26 F4 Diskreta slumpvariabler (4)

27 F5 Kontinuerliga slumpvariabler (3) Defini&on: Fördelningsfunk.on, Täthetsfunk.onen, Väntevärdet, Variansen, Standard avvikelsen, Varia.onskoefficient.

28 F5 Kontinuerliga slumpvariabler (4) Beräkningar:

29 Exempel av frågor i tentamen 2. Låt X vara en kontinuerlig slumpvariabel som har täthetsfunktion på formen ( a 1 x 3, 0 apple x apple 1, f X (x) = 0, x /2 [0, 1]. (a) (2p) Bestäm värdet på konstanten a. (b) (2p) Beräkna E(X) och V(X). (c) (1p) Beräkna sannolikheten för händelsen {X > 0.5}.

30 F6 Bernoulli fördelning (4)

31 F6 Likforming fördelning (3)

32 F6 Binomial fördelning (3)

33 Exempel av frågor i tentamen 1. Flygbolag räknar med att en passagerare som köpt biljett inte dyker upp med sannolikhet 1/10 (oberoende av varandra). Bolagen säljer därför fler biljetter än det finns platser. Flygbolag A har små flygplan med 9 platser, och de säljer 10 biljetter till varje flygning. Flygbolag B har plan med 18 platser och säljer 20 platser. För vilket bolag är risken störst att det dyker upp fler passagerare än det finns platser till en slutsåld flygning? 8. Vi har 10 oberoende, symmetriska slantar, och utför följande. Först singlar vi alla slantar en gång; sedan singlar vi på nytt alla de som visade krona efter första singlingen. Beräkna väntevärdet för det totala antalet klave man ser. (5p)

34 F6 Binomial fördelning (5)

35 F6 Geometrisk fördelning (3)

36 F6 Negativ- binomial fördelning (4)

37 F6 Poisson fördelning (X)

38 F6 Poisson fördelning (5)

39 F6 Poisson fördelning (3)

40 Exempel av frågor i tentamen Z h i Z Z r 4. Lars skall köpa en ny maskin som han skall behålla under tio år. Han vet från tillgängliga data att maskinen kommer behöva repareras ett Poisson(10)-fördelat antal gånger under denna tioårsperiod. En reparation är mycket kostsam och maskinfirman ger honom därför följande försäkringserbjudanden: Erbjudande 1. Erbjudande 2. Varje reparation kostar 7000 kronor. Den första reparationen kostar kronor, den andra kostar (9/10) kr, den tredje kostar (9/10) kr osv. (a) Beräkna den förväntade totala reparationskostnaden för erbjudande 1 resp. 2. Tips: Den totala kostnaden för k reparationer i erbjudande 2 blir Xk 1 j=0 9 j = (9/10)k 1 9/10 = (1 (9/10) k ). (b) Beräkna sannolikheten att erbjudande 1 blir billigare än erbjudande 2.

41 X Lösning: (a) Låt X Po(10) vara antalet gånger som Lars måste få maskinen reparerad och låt K i vara den totala reparationskostnaden för alternativ i =1, 2. Vi har att E[K 1 ] = 7000E[X] = 70000, och att E[K 2 ]= 1X (1 (9/10) k )P(X = k) k=0 1X 1X = P(X = k) (9/10) k P(X = k) k=0 = k=0! 1X (9/10) k 10k k! e 10 k=0 = e 10 1 X k=0! 9 k k! = e (b) Den totala kostnaden för k reparationer blir 7000k för alt 1 och (1 (9/10) k ) för alt 2. Vi ser att (1 (9/10) k ) < 7000k för k = 9 medan (1 (9/10) 8 ) > Erbjudande 1 blir därför billigare om antalet reparationer är färre än eller lika med 8. Därför söker vi enligt tabell. P(X apple 8) = Foljande stickprov anses vara oberoende observationer av en slumpvariabel Re(0 ),

42 F6 Hypergeometrisk fördelning (4)

43 F7 Exponential fördelning (3)

44 F7 Exponential fördelning (4)

45 F7 Normal fördelning (X)

46 F7 Power law fördelning (3)

47 Approximationer npq N n N 1 > 5 Bin(n, p) npq > 5 N(µ, σ 2 ) (E(X) =µ, V (X) =σ 2 ) n N < 0.1 p <0.1 λ > 15 Hyp(N,n,p) p + n N < 0.1 Po(λ) (λ = np)

48 Exempel av frågor i tentamen 4. En kaffemaskin säljer kaffe för 13kr per kopp. Antalet sålda koppar kaffe per dag anses vara Poissonfördelat med väntevärde 100. Att hålla maskinen i drift en dag kostar k kronor, där k anger antalet koppar sålda under dagen. Vad är sannolikheten att kaffemaskinen en given dag drar in en vinst?