Stokastiska signaler. Mediesignaler

Transkript

1 Stokastiska signaler Mediesignaler

2 Stokastiska variabler En slumpvariabel är en funktion eller en regel som tilldelar ett nummer till varje resultatet av ett experiment Symbol som representerar resultatet av ett experiment X = antal klavar när man singlar slant 20 gånger C = den dagliga förändringen i en börskurs R = antalet liter per mil när man kör sin bil Y = mängden medicin i ett blodtryckspiller

3 Stokastiska variabler Ett numeriskt värde för varje resultat av ett experiment S R

4 Diskret stokastisk variabel Vanligtvis data som räknas (antal) Alla värden kan definieras och ha en sannolikhet X = värden från två tärningar X måste vara antingen 2, 3, 4,..., eller 12 Y = antalet olyckor i trafiken varje vecka Y måste vara 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... "riktiga många" P( X x ) p i E( X ) pixi i i

5 Kontinuerlig stokastisk variabel Vanligtvis mätdata (tid, vikt, avstånd, etc.) Ett oräkneligt antal värden X = tid det tar att köra hem från affären X > 0 Kan vara 30,1 minuter mätt till närmaste tiondel, men i verkligheten är den faktiska tiden är 30, Minuter? E( X ) xf ( x) dx state space

6 x Kontinuerliga stokastiska variabler Symmetriska stokastiska variabler f(x) har en fördelning som är symmetrisk kring en punkt så att f ( x) f ( x) Då är medelvärdet EX ( ) f( x) EX ( ) Det förväntade värdet på den stokastiska variabeln är lika med punkten för symmetri

7 Kontinuerliga stokastiska variabler E( X ) xf ( x) dx - xf ( x) dx + xf ( x) dx y 2 x xf ( x) dx + yf ( y) dy - -

8 Väntevärde Medelvärdet av en funktion E(f) E(c) = c Det förväntade värdet av en konstant (c) är bara värdet på konstanten

9 Väntevärde E(X + c) = E(X) + c Det förväntade värdet av en slumpmässig variabel plus en konstant är det förväntade värdet av den slumpmässiga variabeln plus konstanten E(CX) = CE(X) Det förväntade värdet av en konstant gånger en slumpmässig variabel är en konstant gånger det förväntade värdet av den stokastiska variabeln

10 Väntevärde E(c 1 X 1 + c 2 X 2 + c 3 X 3 + c 4 X 4 + c 5 X 5 ) = c 1 E(X 1 ) + c 2 E(X 2 ) + c 3 E(X 3 ) + c 4 E(X 4 ) + c 5 E(X 5 ) Gäller enbart för oberoende variabler!

11 Vad är varians? Varians () 2 En positiv kvantitet som mäter spridningen av distributionen av den slumpmässiga variabeln runt dess medelvärde Större värden på varians visar att fördelningen är mer 2 utspridd Standardavvikelse Var( X ) E(( X E( X )) ) E( X ) ( E( X )) 2 2 Den positiva kvadratroten av variansen betecknad med σ

12 Varians V(c) = 0 Variansen för en konstant (c) är noll V(X + c) = V(X) Variansen för en slumpmässig variabel och en konstant är bara variansen för den stokastiska variabeln V(cx) = c 2 V(X) Variansen för en slumpmässig variabel och en konstant koefficient är koefficienten i kvadrat gånger variansen för den stokastiska variabeln

13 Beräkning av varians Var( X ) E(( X E( X )) ) p ( x E( X )) 2 2 i i i 0.3(50 230) 0.2( ) 0.5( ) 17, ,

14 Varians Två fördelningar med samma medelvärde men olika varianser f( x) x

15 Utfallsrum De värden som en stokastisk variabel kan anta -,.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,., x x=

16 Sannolikhetsfunktion En sannolikhetsfördelning (täthetsfunktion) är en tabell, formel eller diagram som beskriver värdena för en slumpvariabel och sannolikheten associerad med dessa värden pdf Probability Density Function f( x) 0 f ( x ) dx 1 statespace

17 Diskret sannolikhetsfördelning Sannolikheter, P(x), i samband med diskret slumpvariabler har följande egenskaper X P(X) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

18 Kontinuerlig sannolikhetsfunktion Ett område Kan integrera över sannolikhetsfunkionen för att få sannolikheten för ett område 7.18

19 Diskret sannolikhetsfördelning Medel 0 * (.008) + 1 * (.096) + 2 * (.384) + 3 * (.512) = 2,4 Varians X P(x) (0-2.4) 2 * (.008) + (1-2.4) 2 * (.096) + (2-2.4) 2 * (.384) + (3-2.4) 2 * (.512) = =.479 Standardavvikelse 0,479 = 0,692

20 Kumulativ fördelningsfunktion Kumulativ fördelningsfunktion (cdf) Fx ( ) x($cost)

21 Kumulativ fördelningsfunktion F( x) P( X x) f ( y) dy x df( x) f( x) dx P( a X b) P( X b) P( X a) F( b) F( a) P( a X b) P( a X b)

22 Kumulativ fördelningsfunktion x 50 F( x) P(cost x) 0 50 x 200 F( x) P(cost x) x 350 F( x) P(cost x) x F( x) P(cost x)

23 Kumulativ fördelningsfunktion 1 P(49.7 X 50.0) PX ( 50.0) 0.5 Fx ( ) PX ( 49.7) x

24 Oberoende och kovarians Två slumpmässiga variabler X och Y sägs vara oberoende om Diskret p p p for all values iof Xand jof Y ij i j Kontinuerlig f ( x, y) f ( x) f ( y) for all x and y X Y

25 Oberoende och kovarians Cov( X, Y) E(( X E( X ))( Y E( Y))) E( XY ) E( X ) E( Y) Cov( X, Y) E(( X E( X ))( Y E( Y ))) E( XY XE( Y ) E( X ) Y E( X ) E( Y )) E( XY ) E( X ) E( Y ) E( X ) E( Y ) E( X ) E( Y ) E( XY ) E( X ) E( Y ) Kan vara positiv eller negativ Oberoende stokastiska variabler har kovarians = 0 Vad händer om kovariansen är noll?

26 Oberoende och kovarians E( X ) 2.59, E( Y) 1.79 E( XY ) 4 3 i1 j1 ijp ij ( ) ( ) (430.07) 4.86 Cov( X, Y) E( XY ) E( X ) E( Y) 4.86 ( ) 0.224

27 Oberoende och kovarians Korrelation Corr( XY, ) Cov( XY, ) Var( X)Var( Y) Värden mellan -1 och 1 Oberoende slumpvariabler har en korrelation = 0

28 Oberoende och kovarians Vad händer om slumpmässiga variabeln X och Y har linjärt förhållande Cov( X, Y) E[ XY ] E[ X ] E[ Y] E[ X ( ax b)] E[ X ] E[ ax b] ae X be X ae X be X 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] a E X E X avar X 2 2 ( [ ] [ ]) ( ) Corr( X, Y) Y ax b Corr(X, Y) = 1 om a > 0 Corr(X, Y) = -1 om a <0 a 0 Cov( X, Y) avar( X ) Var X Var Y 2 ( ) ( ) Var( X ) a Var( X )

29 Gemensamma stokastiska variabler Gemensamma sannolikhetsfördelningar Diskret P( X x, Y y ) p 0 Kontinuerlig i j ij satisfying p 1 f ( x, y) 0 satisfying f ( x, y) dxdx 1 state space i j ij

30 Gemensamma stokastiska variabler Y= Antal enheter X=Tillverkningstid F(2,2) p p p p

31 Villkorliga sannolikhetsfördelningar De probabilistiska egenskaperna hos den slumpmässiga variabeln X om vi känner till variabeln Y Diskret P( X i, Y j) p pij P( X i Y j) P( Y j) p Kontinuerlig f X Y y ( x) f ( x, y) f ( y) Y Den villkorliga sannolikhetsfördelningen är en sannolikhetsfördelning ij j