Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Transkript

1 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20

2 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss sum/max/min Väntevärde Varians Summa av två oberoende, Z = X + Y p Z (k) = k p X (i) p Y (j) = p X (i)p Y (k i) f Z (z) = i+j=k i=0 f X (x)f Y (z x) dx Maximum/Minimum av fler oberoende n Z = max(x 1,..., X n ) F Z (z) = F Xi (z) Z = min(x 1,..., X n ) F Z (z) = 1 n [1 F Xi (z)] Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 2/20

3 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss sum/max/min Väntevärde Varians Väntevärde Väntevärdet anger tyngdpunkten för fördelningen och kan ofta tolkas som det värde man får i medeltal i långa loppet. { E(X) = xf X(x) dx Kont. k kp X(k) Diskr. Det betingade väntevärdet för X givet att Y = y blir (inget nytt) E(X Y = y) = Observera att xf X Y (x y) dx E(X Y = y) är en funktion av y E(X Y) är samma funktion av Y Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 3/20

4 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss sum/max/min Väntevärde Varians Satsen om total sannolikhet för väntevärde E(E(X Y)) = E(X), dvs E(X Y = y)f Y (y) dy E(X) = E(X Y = y) py (k) Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 4/20

5 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss sum/max/min Väntevärde Varians Varians Variansen anger hur utspridd X är kring sitt väntevärde. [ ] } 2 V(X) = E{ X E(X) = E(X 2 ) E(X) 2 Variansen är alltid positiv. Standardavvikelse, D(X), σ, σ X D(X) = V(X) Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 5/20

6 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Linjärkombination Oberoende Exempel Beroendemått Kovarians, C(X, Y) C(X, Y) = E{[X E(X)][Y E(Y)]} = E(XY) E(X)E(Y) Kovariansen anger hur mycket linjärt beroende som finns mellan X och Y. Ur definitionen fås C(X, X) = V(X) X och Y oberoende = C(X, Y) = 0 Obs. C(X, Y) = 0 X och Y oberoende Korrellationskoefficient, ρ, ρ X,Y 1 ρ X,Y 1 ρ X,Y = C(X, Y) D(X)D(Y) Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 6/20

7 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Linjärkombination Oberoende Exempel Korrellation Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 7/20

8 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Linjärkombination Oberoende Exempel Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 8/20

9 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Linjärkombination Oberoende Exempel Linjärkombination E(aX + b) = ae(x) + b V(aX + b) = a 2 V(X) D(aX + b) = a D(X) ( ) E a i X i = a i E(X i ) V ( ) a i X i = a 2 i V(X i ) + 2 a i a j C(X i, X j ) i<j }{{} =0 om oberoende Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 9/20

10 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Linjärkombination Oberoende Exempel Kovariansen är bilinjär dvs linjär i båda argumenten C a j X j, b k Y k = j k j a j b k C(X j, Y k ) k Exempel: 1. Räkna ut C(X 1 + 2X 2, 3Y 1 4Y 2 ) C(X 1 + 2X 2, 3Y 1 4Y 2 ) =1 3C(X 1, Y 1 ) 1 4C(X 1, Y 2 ) C(X 2, Y 1 ) 2 4C(X 2, Y 2 ) 2. Y = 2X 1 X 2. Uttryck V(Y) i V(X 1 ), V(X 2 ) och C(X 1, X 2 ). V(Y) =C(Y, Y) = C(2X 1 X 2, 2X 1 X 2 ) = =4C(X 1, X 1 ) 2C(X 1, X 2 ) 2C(X 2, X 1 ) + C(X 2, X 2 ) = =4V(X 1 ) 4C(X 1, X 2 ) + V(X 2 ) Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 10/20

11 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Linjärkombination Oberoende Exempel Specialfall av oberoende och likafördelade s.v. Låt E(X i ) = μ, V(X i ) = σ 2 Summa: Y = n X i ( ) E(Y) = E X i = E(X i ) = ( ) V(Y) = V X i = Medelvärde: X n = 1 n E(X n ) = V(X n ) = X i μ = nμ 1 2 V(X i ) = 1 n E(X i) = 1 n σ 2 = nσ 2 μ = 1 n nμ = μ 1 n 2 V(X i) = 1 n 2 σ 2 = 1 n 2 nσ2 = σ2 n Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 11/20

12 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Linjärkombination Oberoende Exempel Exempel: Brädor Kapa brädor med längder X i. E(X i ) = 1 m och V(X i ) = 0.1 m 2. Bestäm E(Y) och V(Y) om Y ges av a) Sammanlagda längden av 10 oberoende stycken. b) Sammanlagda längden om vi tar en bräda, och kapar nio till exakt lika långa. Lösning: a) Y = 10 X i E(Y) = 10 1 = 10 m V(Y) = 10 V(X i ) = 1 m 2 b) Y = 10X 1 E(Y) = E(10X 1 ) = 10E(X 1 ) = 10 m V(Y) = V(10X 1 ) = 10 2 V(X 1 ) = 10 m 2 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 12/20

13 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Tio oberoende realiseringar för succesiva medelvärden av standard exponential fördelning Vi har här E(X) = 1. 4 Succesiva medelvärden standard exponentialfördelning n Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 13/20

14 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Stora talens lag Om X 1, X 2,..., X n är oberoende och likafördelade med E(X i ) = μ så gäller P( X n μ > ε) 0, n för alla ε > 0. Det vill säga medelvärdet konvergerar i sannolikhet mot väntevärdet då n växer mot oändligheten! Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 14/20

15 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Exempel n variabler Exempel Linjärisering av g(x) kring punkten μ = E(X) g(x) g(µ) + g (µ)(x µ) g(µ) g(x) µ Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 15/20

16 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Exempel n variabler Exempel Gauss approximationsformler i en variabel Y = g(x). Taylorutveckla funktionen g kring μ = E(X) g(x) g(μ) + (X μ)g (μ) = E(Y) g(e(x)) V(Y) g [E(X)] 2 V(X) Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 16/20

17 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Exempel n variabler Exempel Exempel Låt E(X) = μ och V(X) = σ 2. a) Bestäm approximativt väntevärde och varians för Y = g(x) = πx 2. E(Y) g(e(x)) = πμ 2 V(Y) [g (E(X))] 2 V(X) = [g (X) = 2πX] = (2πμ) 2 σ 2 b) Bestäm väntevärdet för Y utan approximation. Eftersom V(X) = E(X 2 ) E(X) 2 fås E(X 2 ) = V(X) + E(X) 2 och det sökta väntevärdet blir E(Y) = E(πX 2 ) = πe(x 2 ) = π(v(x) + E(X) 2 ) = πσ 2 + πμ 2 Vi ser att approximationen av väntevärdet alltid är för liten men stämmer bra om σ är liten i förhållande till μ. Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 17/20

18 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Exempel n variabler Exempel Gauss approximationsformler i n variabler För en funktion av n variabler fås på samma sätt Y = g(x 1,..., X n ) E(Y) g(e(x 1 ),..., E(X n )) V(Y) c 2 i V(X i ) + 2 c i c j C(X i, X j ) i<j där c i = g x i (E(X 1 ),..., E(X n )) Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 18/20

19 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Exempel n variabler Exempel Gaussaproximation för två variabler För en funktion av två variabler g(x, Y) blir Gauss approximationsformler (med E(X) = μ X, E(Y) = μ Y ) E ( g(x, Y) ) g(μ X, μ y ) V ( g(x, Y) ) [ g X(μ X, μ Y ) ] 2 V(X) + [ g Y (μ X, μ Y ) ] 2 V(Y) + 2 [ g X(μ X, μ Y ) ][ g Y(μ X, μ Y ) ] C(X, Y) där sista termen är noll då X och Y är oberoende. g X och g Y är partiell derivata map X resp. Y. Jämför detta med det generella uttrycket för en funktion av n variabler. Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 19/20

20 Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Exempel n variabler Exempel Exempel Bestäm approximativa värden på variansen för X Y och X/Y om X och Y är oberoende av varandra. Uttryck svaren i μ X, μ Y, V(X) och V(Y). 1. g(x, Y) = X Y. g X (X, Y) = Y och g Y (X, Y) = X. V(X Y) [ g X(μ X, μ Y ) ] 2 V(X) + [ g Y (μ X, μ Y ) ] 2 V(Y) = = μ 2 YV(X) + μ 2 XV(Y) 2. Antag Y > c > 0 och g(x, Y) = X Y. g X (X, Y) = 1 Y och g Y (X, Y) = X Y 2. V ( ) X 1 Y μ 2 V(X) + μ2 X Y μ 4 V(Y) Y Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 20/20