Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 4: Flerdim

Transkript

1 Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 4: Flerdim Johan Lindström 3+4 september 26 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim /5

2 Transformer Inversmetoden Transformation av stokastiska variabler Givet en s.v. X. Vilken fördelning får Y = g(x)? Om Y är diskret kan man räkna ut sannolikhetsfunktionen p Y (k) = p X (j) j;g(j)=k dvs P(Y = k) fås genom att lägga ihop p X (j) för alla j sådana att g(j) = k. Metod om Y är kontinuerlig:. Sätt upp F Y (y) = P(Y y). 2. Stoppa in Y = g(x) och uttryck F Y (y) som fkn av F X ( ). 3. Derivera för att få f Y (y) som fkn av f X ( ) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim 2/5

3 Transformer Inversmetoden Inversmetoden För att dra slumptal från en fördelning med fördelningsfunktion F Y (y):. Räkna ut F Y (y) 2. Dra slumptal från en R(, )-fördelning. 3. Beräkna F (y) för varje slumptal. Y Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim 3/5

4 Transformer Inversmetoden Kontinuerlig fördelning Exp(/2) Inversmetoden f X (x) Önskad täthet f Y (y) F Y (y) Önskade slumptal Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim 4/5

5 Tvådim. stokastisk variabel (X, Y) Simultan fördelningsfunktion: F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) Simultan sannolikhetsfunktion: p X,Y (j, k) = P(X = j, Y = k) Simultan täthetsfunktion: f X,Y (x, y) = Några egenskaper: P[(X, Y) A] = (j,k) A P[(X, Y) A] = p X (j) = k A p X,Y (j, k) p X,Y (j, k) f X,Y (x, y) dxdy 2 x y F X,Y(x, y) Marginell slh.funkt. för X f Y (y) = f X,Y (x, y) dx Marginell täthet för Y Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim 5/5

6 Sannolikheten att hamna i A är integral av tätheten över A P(X A) = A f X (x) dx P((X, Y) A) = A f X,Y (x, y) dxdy f X (x) A x Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim 6/5

7 Ex: Radioaktivt sönderfall Vid observation av sönderfall beskrivs den simultana fördelningen för tidpunkten för första, X, och andra, Y, sönderfallet av f X,Y (x, y) = e y, x y f X,Y (x,y) = e y, x y Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim 7/5

8 Ex: Om f X,Y (x, y) = e y, x y Vad blir f X (x) och f Y (y)? f X (x) = e x, x.4 f Y (y) = y e y, y x y Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim 8/5

9 Oberoende stokastiska variabler Oberoende Händelserna A och B är oberoende P(A B) = P(A) P(B) X och Y är oberoende stokastiska variabler F X,Y (x, y) = F X (x) F Y (y) för alla (x, y) p X,Y (j, k) = p X (j) p Y (k) f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y) alla (j, k) alla (x, y) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim 9/5

10 Betingade fördelningar Betingad slh P(A B) = P(A B) P(B) Betingad sannolikhetsfunktion för X givet att Y = k p X Y=k (j) = p X,Y(j, k) p Y (k) Betingad täthetsfunktion för X givet att Y = y f X Y=y (x) = f X,Y(x, y) f Y (y) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim /5

11 Ex (forts): Om f X,Y (x, y) = e y, x y Vad blir f Y X=x (y) och f X Y=y (x)? f X Y=y (x) = /y, x y f Y X=x (y) = e (y x), y x.8 y= y=2 y=3.8 x= x=2 x= x y Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim /5

12 Simulering av tvådim. fördelning mha betingning Vet man fördelningen för X och för Y X = x kan man först simulera X och sedan Y via Y X = x. Om f X,Y (x, y) = e y, x y blir (enligt ex. på tavlan) f X (x) = e x, x dvs X Exp() f Y X=x (y) = e (y x), y x dvs Y X = x x + Exp() N stycken par (X, Y) kan då simuleras med x = exprnd(,n,); y = x + exprnd(,n,); Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim 2/5

13 8 Simulerade (X,Y) då f X,Y (x,y) = e y, x y 7 6 y = x + exprnd(,8,) x = exprnd(,8,) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim 3/5

14 Satsen om total sannolikhet igen Total slh P(A) = i P(A H i) P(H i ) För sannolikhetsfunktioner p X (j) = k p X Y=k (j) p Y (k) För täthetsfunktioner f X (x) = f X Y=y (x) f Y (y) dy Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim 4/5

15 Exempel: kombinera diskret och kontinuerligt Vi är intresserade av Y = antalet fel hos en komponent under h men vi vet att felintensiteten varierar slumpmässigt från komponent till komponent. Vi antar att X = felintensiteten (h ) för en komponent är X Exp() och Y X = x Po(x), dvs f X (x) = e x, x resp. Vilken fördelning har då Y? p Y X=x (k) = e x xk, k =,, 2,... k! p Y (k) = = p Y X=x (k) f X (x) dx = x k k! e 2x dx = [y = 2x] = x xk e 2 k+ k! k! e x dx y k e y dy = 2 k+ = 2 ( 2 )k, k =,, 2,... dvs Ge(/2). Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim 5/5