Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00. Kap 2: Sannolikhetsteorins grunder

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 10, HT-00 Saolikhetsteori Kap : Saolikhetsteoris gruder Följade gäller för saolikheter: 0 PA) 1 P ) = 1 PA B) = PA) + PB), om hädelsera A och B är disjukta Additiossatse för två hädelser: PA B) = PA) + PB) PA B) Betigad saolikhet: PB A) = PA B) PA) Satse om total saolikhet : PA) = PA H k ) PH k ), k=1 där hädelsera H 1,,H är disjukta och H k = k=1 A och B är oberoede PA B) = PA) PB) Atalet olika sätt, m, att dra elemet ur N är: Med återläggig, med häsy till ordig: m = N ) N + 1 Med återläggig, uta häsy till ordig: m = Uta återläggig, med häsy till ordig: m = N N 1) N + 1) ) N Uta återläggig, uta häsy till ordig: m = Kap 3: Edimesioella stokastiska variabler Fördeligsfuktio för X : F X x) = PX x) Saolikhetsfuktio för e diskret sv X : p X k) = PX = k) Täthetsfuktioe för e kotiuerlig sv X : f X x) = df X x) dx b p X k) om X är diskret, Pa < X b) = F X b) F X a) = k=a+1 b a f X x) dx om X är kotiuerlig

2 Formelsamlig: Matstat AK för I, HT-00 Kap 4: Flerdimesioella stokastiska variabler Simulta fördeligsfuktio: F X,Y x, y) = PX x, Y y) = y PgX, Y ) A) = f X,Y x, y) dx dy gx,y ) A j x, k y x p X,Y j, k) f X,Y t, u) dt du om X, Y ) är diskret, om X, Y ) är kotiuerlig Margiell täthetsfuktio för X : f X x) = f X,Y x, y) dy Om X och Y är oberoede så gäller F X,Y x, y) = F X x) F Y y) för alla x och y, samt p X,Y j, k) = p X j) p Y k) för alla j och k om X och Y diskreta f X,Y x, y) = f X x) f Y y) för alla x och y om X och Y kotiuerliga Betigad saolikhetsfuktio för X, givet Y = k: p X Y j k) = p X,Y j, k) p Y k) Betigad täthetsfuktio för X, givet Y = y: f X Y x y) = f X,Y x, y) f Y y) Kap 5: Fuktioer av stokastiska variabler Om X och Y är oberoede, så gäller för Z = X + Y, p Z k) = f Z z) = k p X i) p Y k i), i=0 Kap 6 och 7: Vätevärde f X x) f Y z x) dx Vätevärdet av gx, Y ): gj, k) p X,Y j, k) j,k EgX, Y )) = gx, y) f X,Y x, y) dx dy om X, Y ) är diskret, om X, Y ) är kotiuerlig Vätevärde är lijära, dvs EagX ) + bhx )) = aegx )) + behx )) Varias: VX ) = E[X EX )) ] = EX ) [EX )] Stadardavvikelse: DX ) = VX ) Kovarias: CX, Y ) = E[X EX ))Y EY ))] = EXY ) EX ) EY ) Korrelatioskoefficiet: X, Y ) = CX, Y ) DX ) DY )

3 Formelsamlig: Matstat AK för I, HT-00 Kovariase är bilijär, dvs C j a j X j, k b k Y k ) = j a j b k CX j, Y k ) k X, Y oberoede X, Y okorrelerade, dvs CX, Y ) = 0 Betigat vätevärde för X, givet Y = k: EX Y = k) = j j p X Y j k) Betigat vätevärde för X, givet Y = y: EX Y = y) = För betigade vätevärde gäller EX Y = k) p Y k), k EX ) = EX Y = y) f Y y) dy Gauss approximatiosformler: EgX 1,, X )) gex 1 ),, EX )) VgX 1,, X )) ci VX i ) + c i c j CX i, X j ), i<j där c i = g x 1,, x ) x i xk =EX k ), k Kap 8 och 9: Normalfördelig och cetrala gräsvärdessatse x f X Y x y) dx Om X 1,, X är oberoede och Nm 1, 1),, Nm, ) och c 1,, c R, så gäller att c i X i N c i m i, c i i ) Cetrala gräsvärdessatse CGS): Om X 1, X,, X är oberoede och likafördelade med EX i ) = m och DX i ) =, så gäller att då Y = X X AsNEY ), DY )), Med utyttjade av, blad aat, CGS gäller följade approximatioer Hypergeometrisk Biomial om /N 01 Hypergeometrisk Poisso om p + /N 01 och 10 Hypergeometrisk Normal om N pq 10 N 1 Biomial Poisso om p 01 och 10 Biomial Normal om pq 10 Poisso Normal om m 15 3

4 Formelsamlig: Matstat AK för I, HT-00 Kap 1: Poissoprocesse E homoge Poissoprocess {X t), t 0} har oberoede och statioära ökigar och X t + s) X s) Po t) Avståde mella kosekutiva hädelser är oberoede och Exp1/ )-fördelade E ihomoge Poissoprocess {X t), t 0} har oberoede ökigar och X t + s) X s) Po s+t s u) du) Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi, p) Hypergeometrisk fördelig pk) = pk) = ) p k k q k k = 0, 1,, p pq ) Np Nq k k ) N ) k Np, k Nq p N N 1 pq Poissofördelig, Pom) m mk pk) = e k! k = 0, 1,, m m Geometrisk fördelig pk) = pq k k = 0, 1,, q/p q/p ffg-fördelig pk) = pq k 1 k = 1,, 1/p q/p Normalfördelig, Nm, ) f x) = 1 e x m) x R m Gammafördelig, p, a) Expoetialfördelig, Expa), 1, a) f x) = 1 a p p) xp 1 e x/a ) x 0 ap a p f x) = 1 a e x/a x 0 a a Rektagelfördelig, Ra, b) f x) = 1 b a a x b a + b a b) 1 Dubbel expoetialfördelig Fx) = e e x b)/a OBS! fördeligsfuktio) x R, a > 0 b + a ) a 6 Weibullfördelig ) c Fx) = 1 e x b a OBS! fördeligsfuktio) x b, a, c > 0 b + a 1 + [ 1/c) a 1 + c ) ] c ) 4

5 Formelsamlig: Matstat AK för I, HT-00 Fördelig forts) Vätevärde Varias Logormalfördelig l X Nb, a) f x) = 1 x a l x b) e a x 0 e b+a / e b+a e b+a ) p) = 0 x p 1 e x dx, p > 0 p) = p 1) p 1) p) = p 1)! om p heltal 1 ) = ) 0577 Tvådimesioell ormalfördelig ) mx X, Y ) är tvådimesioellt ormalfördelad med vätevärdesvektor m = och kovariasmatris m ) Y = X X Y 1 om f X,Y x, y) = e Q/, x, y) R, X Y Y det ) ) T ) x där det ) = X Y 1 mx ) och Q = 1 x mx y m Y y m Y De betigade fördelige för X givet att Y = y är e edimesioell ormalfördelig med EX Y = y) = m X + X y m Y ), Y VX Y = y) = X 1 ) Fördeligar besläktade med ormalfördeligar -fördelig X 1,, X N0, 1), oberoede f ) = f /, ) X i ) t-fördelig, tf ) X N0, 1), Y f ), oberoede X Y /f tf ) F-fördelig, Ff 1, f ) X f 1 ), Y f ), oberoede X /f 1 Y /f Ff 1, f ) Additiosformler Om X 1 och X oberoede så gäller: X 1 Bi 1, p), X Bi, p) X 1 + X Bi 1 +, p) X 1 Pom 1 ), X Pom ) X 1 + X Pom 1 + m ) X 1 p 1, a), X p, a) X 1 + X p 1 + p, a) X 1 f 1 ), X f ) X 1 + X f 1 + f ) 5

6 Formelsamlig: Matstat AK för I, HT-00 Statistikteori Kap 0: Puktskattigar vid ormalfördelig och helt okäd fördelig Ett stickprov Låt x 1,, x vara observatioer av oberoede och likafördelade sv med vätevärde m och stadardavvikelse Vätevärdesriktiga skattigar av m och är då m = 1 ) = 1 x i = x Om X i Nm, ) så m Nm, ) x i m) då m käd Om X i Nm, ) så ) ) ) = s = Flera stickprov Q 1 = 1 1 x i x) då m okäd Om X i Nm, ) så Q 1) Låt x i1,, x ii vara ober obs frå Nm i, ) då i = 1,, k Då är ) = s = Q f = 1 1) s k 1) s k 1 1) + + k 1) Eftersom X ij Nm i, ) så Q f ) Valiga skattigsmetoder ML-skattig: Låt x 1,, x vara observatioer av X 1,, X, som är oberoede sv med täthets- saolikhets-) fuktio f x i ; ), i = 1,, px i ; ), i = 1,, ) ML-skattige av parameter är det ML som maximerar likelihood-fuktioe px 1 ; ) px ; ) px ; ), L ; x 1,, x ) = f x 1 ; ) f x ; ) f x ; ) MK-skattig: Låt x 1,, x vara oberoede observatioer av stokastiska variabler med EX i ) = m i ), där fuktioera m i är käda och parameter okäd MK-skattige av parameter är det MK som miimerar förlustfuktioe Q ; x 1,, x ) = x i m i )) Viktad MK-skattig: Förutsättigar eligt MK-skattig ova) De viktade MK-skattige av är det MK som miimerar förlustfuktioe Q ; x 1,, x ) = ix i m i )), där i är e följd av vikter, tex i = 1/ i, där i = VX i ) 6

7 Formelsamlig: Matstat AK för I, HT-00 Kap 1: Kofidesitervall Kofidesitervall med kofidesgrad 1 Om X 1,, X ) N, D )) så för vätevärdet i e ormalfördelig: I = ± / D )) om D ) är käd I = ± t /f ) d )) om D ) = c där = DX i ), c är e kostat och ) = s = Q med Q f f ) Kofidesitervall med kofidesgrad 1 för vätevärdet i e ormalapproximatio: Om X 1,, X ) N, D )) eligt CGS el dyl) så I ± / D )) om D ) är käd I ± / d )) om D ) skattas med d ) alltid rätt) I ± t /f ) d )) om D ) = c där = DX i ), c är e kostat och ) = s = Q går bra) f Kofidesitervall med kofidesgrad 1 för variase i e ormalfördelig: Om X 1,, X Nm, ) med ) = s = Q f och Q f ) så Kap : Hypotestest ) f s f I = s / f ), 1 / f ) Styrkefuktio: h ) = PH 0 förkastas är det rätta parametervärdet) Speciellt: Sigifikasivå, = PH 0 förkastas H 0 sa) -test H 0 preciserar fördelige Q = r x i p i ) p i Förkasta H 0 om Q > r 1) Kap 3 och 6: Ekel lijär regressio y i, i = 1,, ober obs frå Nm i, ), där m i = + x i = + x i x), i = 1,,, x = 1 x i, ȳ = 1 y i S xx = S yy = x i x) = y i ȳ) = ) xi 1 x i ) yi 1 y i 7

8 Formelsamlig: Matstat AK för I, HT-00 S xy = x i x)y i ȳ) = ) ) x i y i 1 x i y i = ȳ, N, = S xy S xx, / ), ) Q 0 = N, / S xx ), C, ) = 0 Q 0 = S yy S xy S xx, Q 0 ) Kalibrerigsitervall med approximativ kofidesgrad 1 p I x0 = x0 ± s p/ y 0 ȳ) ) ) S xx Kap 4: Korrelatio x 1, y 1 ),, x, y ) obs frå Nm X, m Y, X, Y, ) Puktskattig av : = r = S xy Sxx S yy r Fördelige för r om = 0: t ) 1 r 1 + r Fishers z-trasformatio: z = l 1 r Nl 1 + 1, 1 ) Kap 7: Multipel lijär regressio y i, i = 1,, ober obs frå Nm i, ), där m i = + 1x i1 + + kx ik = + 1x i1 x 1 ) + + kx ik x k ), i = 1,,,, med x j = 1 x ij = ) T 1 k = ) T 1 k Y = ) T y 1 y x 11 x 1 x 1k x 1 1 x 11 x 1 x 1k x 1 X = U = x 1 x x k x 1 x 1 x x k x = U T U ) 1 U T Y, N, D )), V ) = U T U ) 1 = ȳ, N, = X T X ) 1 X T Y, / ), C, j ) = 0, j = 1,, k ) = Q 0 k 1 N, D )), V ) = X T X ) 1 Q 0 = Y U ) T Y U ) = Y 1 X ) T Y 1 X ), Q 0 k 1) 8