SAMMANFATTNING TAMS65

Transkript

1 SAMMANFATTNING TAMS65 Matematisk statistik, fortsättigskurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, VT 016 Seast reviderad: Författare: Viktor Cheg

2 Iehållsförteckig Itroduktio till statistikteori... 4 Modellerig... 4 Lägesmått för stickprov... 4 Spridigsmått för stickprov... 4 Stadardiserad ormalfördelig... 4 Regler för ormalfördelig... 5 Egeskaper hos ormalfördelade stokastiska variabler... 5 Vätevärde, varias och stadardavvikelse för X (oberoede... 5 Räkeregler för vätevärde och varias för oberoede s.v Räkeregler för s.v Puktskattigar... 6 Vätevärdesriktighet (v.v.r... 6 Kosistet skattig... 6 Effektivitet... 6 Skattig av vätevärde och varias... 7 Skattig av μ... 7 Skattig av σ... 7 Mometmetode (MM... 8 Mista-kvadrat-metode (MK... 8 Maximum-likelihood-metode (ML... 9 ML-skattigar vid ormalfördelig... 9 på medelfel för e skattig... 9 Kofidesitervall Kostruktio av kofidesitervall Esidigt kofidesitervall, simulta kofidesgrad Kofidesitervall för μ Kofidesitervall för σ eller σ... 1 Modellerig av parvisa skillader Kofidesitervall vid två stickprov Jämförelse av variaser Normalapproximatio Biomialfördelig kofidesitervall för p Biomialfördelig kofidesitervall för p1 p Normalapproximatio via cetrala gräsvärdessatse Avädig av CGS Hypergeometrisk fördelig kofidesitervall för p Sida av 4

3 Hypotesprövig E- och tvåsidiga test Slutsatser frå kofidesmetode... 0 Hypotesprövig uta ormalapproximatio... 0 Jämförelse mella C-metode och p-metode... 0 Hypotesprövig med ormalapproximatio... 1 Normalapproximatio - allmät... 1 Hypotesprövig vid ett stickprov σ käd... Hypotesprövig vid ett stickprov σ okäd... Hypotesprövig vid ett stickprov H0: σ = σ0... Hypotesprövig vid flera stickprov μi... 3 Hypotesprövig vid flera stickprov σi... 3 Stokastiska vektorer... 4 Flerdimesioell ormalfördelig... 4 Kovariasmatris... 4 Regressiosaalys... 4 Sida 3 av 4

4 Itroduktio till statistikteori Defiitio Beteckig Betydelse Populatio N Samtliga möjliga observatioer Stickprov Utvalt atal ur populatio Observatio x x är ett givet tal, är stickprovet har tagits. Parameter p p är e okäd parameter som ska skattas Puktskattig p Ett tal som är e skattig av p Itervallskattig Kofidesitervall Hypotesprövig Sigifikastest Slumpmässigt stickprov I p Ett itervall som med e viss give säkerhet (% iehåller det okäda värdet p, t.ex. I p = (a b = [a b, a + b] Ställ upp hypotes att p < p 0, där 0 p 0 1 är ett givet tal. Pröva hypotes mha stickprovet, dvs. om stickprovets utseede stämmer överes med hypotese eller om hypotese ska förkastas. Ett slumpmässigt stickprov x 1,, x utgörs av observatioer av oberoede och likafördelade s.v. X 1,, X Modellerig Verklighet Mätvärde x 1,,x Okäd kostat μ Modell Oberoede s.v. X 1,, X x 1,, x är observatioer av dessa s.v. Kostate μ är vätevärdet för X 1,, X Lägesmått för stickprov Medelvärde x = 1 x i = x 1 + x + + x Spridigsmått för stickprov Varias s = 1 1 (x i x Stadardavvikelse s = 1 1 (x i x Stadardiserad ormalfördelig Låt Φ(y vara (de fyrkatiga fördeligsfuktioe för Y~N(0,1 Låt X vara e s.v. med vätevärde μ och stadardavvikelse σ, dvs. X~N(μ,σ Då kallas Y = Χ μ e stadardiserad s.v. och Y~N(0,1 σ a μ P(a < X b = P ( σ < X μ b μ μ b μ μ μ = P (a < Y = Φ (b Φ (a σ σ σ σ σ σ Sida 4 av 4

5 Regler för ormalfördelig Atag att a > 0, b > 0 och Χ~N(0,1. Då gäller: Regel P(Χ a = = Φ( a = 1 Φ(a P(Χ > a = = 1 P(Χ a = 1 Φ(a P( a < Χ b = = Φ(b Φ( a = Φ(b (1 Φ(a = Φ(b + Φ(a 1 Egeskaper hos ormalfördelade stokastiska variabler X~N(μ, σ Y = ax + b Förutsättigar X~N(μ 1,σ 1 Y~N(μ,σ X och Y oberoede X 1,, X är oberoede X 1 ~N(μ 1, σ 1,, X ~N(μ,σ Resultat Y~N(a μ + b, a σ (Χ ± Y~N (μ 1 ± μ, σ 1 + σ ( a i Χ i + b ~N ( a i μ i + b, a i σ i Vätevärde, varias och stadardavvikelse för X (oberoede Förutsättigar X 1,, X har alla samma vätevärde μ X 1,, X har alla samma varias σ X 1,, X har alla samma stadardavvikelse σ Resultat E[X ] = μ V(X = σ X ~N (μ, σ D(X = σ Räkeregler för vätevärde och varias för oberoede s.v. Vätevärde Varias E(aX + by + C = a E(X + b E(Y + C V(aX + by + C = a V(X + b V(Y Räkeregler för s.v. Diskret sv. Y = g(x E[Y] = E[g(X] = g(k p Χ (k Kotiuerlig sv. Y = g(x E[Y] = E[g(Χ] = g(x f Χ (x dx Varias V(X = E[X ] (E[X] k Sida 5 av 4

6 Puktskattigar Beteckig Betydelse θ obs θ Puktskattig av okäd parameter θ Är ett utfall av de s.v. θ (dvs. ett tal θ obs är e fuktio av mätdata x 1, x,, x Stickprovsvariabel Är e s.v. som beror av de s.v. X 1, X,, X θ obs = x 1000 = 0.35 θ = X 1000 E(θ Vätevärdet för fördelige av θ E(θ = E ( X 1000 V(θ Variase för fördelige av θ V(θ = V ( X θ(1 θ = D(θ Stadardavvikelse för fördelige av p D(p = D ( X 1000 = θ(1 θ 1000 d(θ Medelfelet för θ obs d(θ = D(θ obs Numerisk skattig av osäkerhete i skattige θ obs d(θ = θ obs (1 θ obs = ( = Vätevärdesriktighet (v.v.r E puktskattig θ obs är vätevärdesriktig om: Dess tillhörade stickprovsvariabel θ har vätevärde θ Det förvätade utfallet av stickprovsvariabel θ är det saa värdet på θ E(θ = θ för alla värde som θ ka ata Kosistet skattig E puktskattig θ obs är kosistet om: P( θ θ > ε 0 då stickprovsstorleke Alterativt: E(θ = θ V(θ 0 då stickprovsstorleke Ju fler observatioer, desto midre blir felet För varje fixt θ som θ ka ata och för varje givet ε > 0 Vätevärdesriktighet Miskad varias (avvikelse frå det saa värdet Effektivitet E skattig θ 1 sägs vara e mer effektiv skattig ä θ om: θ 1,obs och θ,obs är vätevärdesriktiga skattigar θ 1 och θ uppfyller V(θ 1 < V(θ Midre varias bättre/mer effektiv skattig För alla θ som θ ka ata För alla θ som θ ka ata Sida 6 av 4

7 Skattig av vätevärde och varias Okäd parameter är atige vätevärde μ eller varias σ för de fördelig som stickprovet kommer ifrå Skattig av μ Beräkig Beskrivig Puktskattig Stickprovsvariabel Betrakta de s.v. X i som oberoede och likafördelade med vätevärde μ och stadardavvikelse σ μ obs = 1 x i = x μ = 1 X i = X Aväd stickprovsmedelvärdet som puktskattig Betrakta μ obs = x som e observatio av e s.v. μ = X E(μ = E ( 1 X i = 1 E ( X i = 1 μ = μ V(μ = V ( 1 X i = 1 V ( X i = 1 σ = σ Vätevärde E(μ = μ Vätevärdesriktig Varias V(μ = σ För stora ligger skattige trolige ära det rätta värdet μ Sats 11.1: Stickprovsmedelvärdet M = X är e vätevärdesriktig och kosistet skattig av μ. Skattig av σ Beräkig Beskrivig Puktskattig (σ obs = 1 1 (x i x Stickprovsvariabel (σ = 1 1 (X i X Betrakta de s.v. X i som oberoede och likafördelade med vätevärde μ och stadardavvikelse σ = s = S E(S = E ( 1 1 (X i X = σ Aväd stickprovsvariase som puktskattig Betrakta (σ obs = s som e observatio av e s.v. (σ = S Vätevärde E((σ = σ Vätevärdesriktig Sats 11.: Stickprovsvariase s är e vätevärdesriktig skattig av σ. OBS: Skattige σ obs = s = 1 1 (x i x är ite vätevärdesriktig! Sida 7 av 4

8 Mometmetode (MM Förutsättigar Ta fram E(X E(X = μ(θ Beskrivig μ(θ obs = x x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X Täthets- eller saolikhetsfuktio som beror av θ θ obs är MM-skattige av θ Q(θ atar sitt mista värde i θ obs dvs. μ(θ obs = x Amärkigar Fukar alltid att skatta med MM-metode! Dock ite ödvädigtvis alltid e bra skattig Förstamomet: μ 1 = E(X = 1 x 1 i = x Adramomet: μ = E(X = 1 x 1 i Mista-kvadrat-metode (MK Förutsättigar Beskrivig x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X E(X i = μ(θ V(X i = σ Bilda Q(μ(θ = Q(θ Q(θ = (x i μ(θ Söker mista fel/avvikelse miimera Q(θ dq dθ = 0 (x i μ(θ = 0 (x i μ(θ = 0 x i μ(θ = 0 μ(θ = 1 x i = x θ obs är MK-skattige av θ Q(θ atar sitt mista värde i θ obs dvs. μ(θ obs = x Amärkigar Miimum ty fuktioe Q(θ är strikt kovex Sida 8 av 4

9 Maximum-likelihood-metode (ML Förutsättigar Beskrivig Bilda likelihoodfuktioe L(θ L(θ = Maximera L(θ x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X Täthetsfuktio f(x; θ eller saolikhetsfuktio p(x; θ p(x i ; θ = p(x 1 ; θ p(x ; θ (diskret f(x i ; θ = f(x 1 ; θ f(x ; θ (kotiuerlig { Ofta lättare att maximera l L(θ ty summa istället för produkter Detta bevarar de optimala pukte θ obs Kalla l(θ = l L(θ dl dθ = 0 Betrakta θ som variabel och x i som kostat Lös med avseede på θ θ obs är ML-skattige av θ L(θ atar sitt största värde i θ obs Kotrollera maximum Amärkigar Säkerställ att θ obs verklige är ett maximum mha. d l < 0 dθ I allmähet: θ är kosistet och har goda asymptotiska egeskaper ML-skattigar vid ormalfördelig x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X, där X i ~N(μ, σ μ σ Resultat Okäd Käd μ = x Käd Okäd (σ = 1 (x i μ Okäd Okäd l μ = 0 l { σ = 0 μ = x { (σ = 1 (x i x på medelfel för e skattig X 1,, X är oberoede s.v X i ~N(μ, σ μ, σ är okäda Vill veta medelfel för skattig = stadardavvikelse för skattig. Svårt att ta fram stadardavvikelse direkt ka bero på okäd parameter (ofta σ. Därför: Ta fram eller skatta variase σ för skattige. Aväd D(X = V(X på framtage varias, så fås medelfelet Vi vet att e skattig av μ är μ = x. Vi vill veta medelfelet för dea skattig. E skattig av stadardavvikelse D(θ kallas medelfelet för θ och beteckas d = d(θ Vår skattig har stadardavvikelse D(M = D(X = σ, vilke beror på σ (som är okäd! Därför skattar vi äve variase σ med stickprovsvariase s och medelfelet blir: d(m = d(x = s Sida 9 av 4

10 Kofidesitervall Itervall I 1 α θ = (θ obs, lower boud, θ obs, upper boud där: o θ obs, lower boud = a 1 (x 1,, x o θ obs, upper boud = a (x 1,, x o α är saolikhete för fel Och sådat att o P(θ obs, lower boud < θ < θ obs, upper boud = 1 α Kallas ett kofidesitervall för θ med kofidesgrad 1 α Kostruktio av kofidesitervall Bestäm e lämplig puktskattig θ obs θ obs = x Ta fram fördelig för motsvarade s.v. θ θ σ = X ~N (θ, Kostruera e hjälpvariabel som iehåller θ me iga adra okäda parametrar (Hjälpvariabel ska ha e käd fördelig Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α Beräka gräsera (a etc. mha. tabell Skriv om itervallet till ett villkor på θ (isolera θ På forme P(a 1 (x 1,, x < θ < a (x 1,, x Sätt i observatioer och beräka I θ 1 α Z = X θ σ/ ~N(0,1 P( a Z a = 0.95 P( a Z a = 0.95 P(Z a = Φ(a = a = 1.96 P( a Z a P ( a X θ σ/ a σ P (X a θ X σ + a I θ 1 α = (a 1 (x 1,, x, a (x 1,, x I θ 1 α = (x 1.96 σ Esidigt kofidesitervall, simulta kofidesgrad Sida 10 av 4

11 χ -fördelig Förutsättigar X~χ (f Resultat E(X = f X~χ (f 1 Y~χ (f X och Y oberoede X 1,, X oberoede X 1,, X ~N(μ, σ X + Y~χ (f 1 + f 1 σ (X i μ ~χ ( ( 1S σ ~χ ( 1 σ X ~N (μ, X och S är oberoede s.v. t-fördelig Förutsättigar X~t(f Resultat t(f-fördelig kovergerar mot N(0,1-fördelig då f Gossets sats X~N(0,1 Y~χ (f X och Y oberoede X Y/f ~t(f X μ σ/ ~N(0,1 X 1,, X oberoede X 1,, X ~N(μ, σ X μ S/ = = ( 1S σ ~χ ( 1 Gossets sats ger u (X μ/(σ/ ( 1S σ /( 1 ~t( 1 Kofidesitervall för μ x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X, där X i ~N(μ, σ σ käd / okäd σ käd σ okäd Hjälpvariabel X μ σ/ ~N(0,1 X μ ~t( 1 S/ Sida 11 av 4

12 Kofidesitervall för σ eller σ x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X, där X i ~N(μ, σ μ kät / okät μ kät μ okät Hjälpvariabel 1 σ (X i μ ~χ ( Vid stickprov frå två ormalfördeligar där σ 1 = σ = σ me σ är okäd: s = ( 1 1s 1 + ( 1s ( ( 1 s kallas pooled stadard deviatio ( 1S σ ~χ ( 1 s är de bästa skattige av σ Om ma har två (eller flera stickprov frå ormalfördeligar med samma σ, aväder ma de sammavägda σ -skattige för samtliga stickprov äve om ma t.ex. bara ska kostruera I µ1 Parvisa mätigar x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X, där X i ~N(μ, σ x i mätvärde y i mätvärde X i ~N(μ i,σ 1 Y i ~N(μ i +, σ Bilda differeser d i T.ex. före vs. efter Skatta med d i = y i x i D i = Y i X i ~N(, σ = d Skatta σ med s s = 1 1 (d i d Hjälpvariabel (σ okäd Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α Beräka gräsera (a etc. mha. tabell Skriv om itervallet till ett villkor på (isolera På forme P(a 1 (d 1,, d a (d 1,, d Sätt i observatioer och beräka I 1 α s = s, där s, s är obs. av S respektive S Dra slutsatser om (och därigeom μ 1 och μ utifrå I Z = D ~t( 1 S/ P( a Z a = 0.95 P( a Z a = 0.95 P(Z a = P( a Z a P ( a D S/ a S P (D a D S + a I 1 α = (a 1 (x 1,,x, a (x 1,, x I 1 α = (d.3 s I = (4.9, 15.6, dvs. med stor saolikhet gäller att > 0 μ i < μ i + μ 1 < μ Sida 1 av 4

13 Modellerig av parvisa skillader Givet att mätseriera är lika låga och ma vill udersöka om det fis e systematisk skillad Om mätigara häger ihop parvis o bilda differeser o Miskar variase för de skattigsvariabel som beskriver de systematiska skillade Om mätseriera är helt frikopplade frå varadra (dvs. oberoede o bilda I μ1 μ Kofidesitervall vid två stickprov x 1,, x är observatioer av oberoede s.v. X 1,, X, där X i ~N(μ 1,σ 1 y 1,, y är observatioer av oberoede s.v. Y 1,, Y, där Y i ~N(μ, σ Båda stickprov är helt frikopplade frå varadra (dvs. oberoede Vill udersöka om μ 1 = μ eller μ 1 μ kostruera kofidesitervall för μ 1 μ σ 1 och σ σ 1 = σ eller σ 1 σ? Hjälpvariabel Övrigt Käda σ 1 σ X Y (μ 1 μ ~N(0,1 σ 1 + σ 1 Valig lijärkombiatio Okäda σ 1 = σ = σ ( 1 + S σ ~ χ ( 1 + OBS: För I σ och I σ Via sammavägd σ -skattig Okäda σ 1 = σ = σ X Y (μ 1 μ S ~t( 1 + Frihetsgrader frå ova, för σ Okäda σ 1 = σ = σ c 1 X c Y (c 1 μ 1 c μ ~t( 1 + S c 1 + c 1 OBS: För I c1 μ 1 +c μ Geeraliserig av ova Okäda σ 1 σ X Y (μ 1 μ ( S 1 + S t(v v = 1 S 1 + S (S 1 / (S / 1 Kallas Welch-Aspis metod Sida 13 av 4

14 F-fördelig Förutsättigar Y 1 och Y oberoede Y 1 ~χ (r 1 Y ~χ (r Resultat Z = Y 1 /r 1 Y /r ~ F(r 1, r Jämförelse av variaser σ 1 och σ okäda σ 1 och σ är ite ödvädigtvis lika (detta ska udersökas Ta fram variasskattigar ( 1 1S 1 σ 1 ~ χ ( 1 1 ( 1S σ ~ χ ( 1 Aväd sats om F-fördelig Z = Y 1 /( 1 1 Y /( 1 ~ F( 1 1, 1 Hjälpvariabel blir därmed Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α S 1 /σ 1 S /σ ~ F( 1 1, 1 P(a < Z < b = 0.95 Beräka gräsera (a, b etc. mha. tabell P( a < Z < a = 0.95 Skriv om itervallet till ett villkor på σ 1 /σ (isolera σ 1 /σ På forme P(a 1 (s 1,, x < σ 1 /σ < a (s 1,, x 1 α Sätt i observatioer och beräka I σ1 /σ Dra slutsatser om σ 1 σ (och därigeom σ 1 och σ utifrå I σ1 /σ P( a < Z < a P (a < S 1 /σ 1 S /σ < b P (a σ 1 σ σ 1 σ b σ 1 σ 1 α I σ1 /σ = (a 1 (s 1,, x,a (s 1,, x I 1 α σ1 /σ = (a s 1 s, b s 1 s I σ1 /σ = (0.09, 1.91 OBS: 1 I σ1 /σ, dvs. går ite att utesluta att σ 1 σ = 1 σ 1 ka vara lika med σ Sida 14 av 4

15 Normalapproximatio Vid observatioer frå adra fördeligar ä ormalfördelig Skattigsvariabel θ N(θ, D Hjälpvariabel: Biomialfördelig kofidesitervall för p θ θ N(0,1, D käd { D θ θ D N(0,1, D okäd Ta fram s.v. och observatio x = 37 är e observatio frå X~Bi(1015,p Skatta p mha. p och ta fram p obs Vill ta fram hjälpvariabel Börja med att hitta e fördelig för X Aväd ormalapproximatio ty 1015 ej med i biomialtabell p = X p obs = x = = X~Bi(1015,p N (p, p(1 p eftersom p obs (1 p obs > 10 E(p = E ( X = 1 E(X = 1 p = p Ka u ta fram (approximativ fördelig för p V(p = V ( X = 1 V(X = 1 p(1 p p(1 p = p = X N (p, p(1 p Stadardisera p så fås e hjälpvariabel för p Okäda parametrar i ämare på hjälpvariabel, vilket blir krågligt Bilda y hjälpvariabel: Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α Isolera p och beräka gräsera mha. tabell Ersätt med observatioer Detta ger itervallet: p(1 p p N (p, p p N(0,1 p(1 p Z = p p p (1 p N(0,1 eftersom p är e kosistet skattig av p P( a < Z < a = 0.95 P ( a < I p = (p obs p p p (1 p < a = p obs (1 p obs Sida 15 av 4

16 Biomialfördelig kofidesitervall för p 1 p Puktskattig Ta fram motsvarade s.v. Då gäller att Sök μ Sök σ p 1,obs p,obs = x 1 x 1 p 1 och p är N(p, p(1 p eftersom i p i,obs (1 p i,obs > 10 p 1 p N(μ, σ E(p 1 p = E ( X 1 X = E(X 1 E(X 1 1 = 1 p 1 p = p 1 1 p V(p 1 p = V ( X 1 X = V(X 1 V(X 1 1 = 1 p 1 (1 p 1 p (1 p 1 = p 1 (1 p 1 p (1 p 1 Sammafattigsvis p 1 p N (p 1 p, p 1 (1 p 1 1 p (1 p Stadardiserig ger Z = p 1 p (p 1 p p 1 (1 p 1 p (1 p 1 N(0,1 Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α Isolera p och beräka gräsera mha. tabell Ersätt med observatioer Detta ger itervallet: eftersom p i är kosisteta skattigar av p i P( a < Z < a = 0.95 P ( a < I p1 p = (p 1,obs p p p (1 p < a = 0.95 p,obs 1.96 p 1 (1 p 1 p (1 p 1 Dra slutsatser om p 1 p utifrå I p1 p I σ1 /σ = ( , OBS: Om 0 I p1 p, dvs. går ite att utesluta att p 1 p = 0 p ka vara lika med p 1 Sida 16 av 4

17 Normalapproximatio via cetrala gräsvärdessatse x 1,, x är observatioer av oberoede och likafördelade s.v. X 1,, X X 1,, X är ite ormalfördelade me har E(X i = μ och V(X i = σ Puktskattig μ obs = x Ta fram motsvarade s.v. μ = X = 1 X i Eligt CGS Hjälpvariabel Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α Isolera μ och beräka gräsera mha. tabell Ersätt med observatioer σ X N (μ, om 30 X μ N(0,1 om σ är käd σ/ Aars ersätts σ med lämplig skattigsvariabel σ vis σ = S me ite alltid (beror på fördelig för X i P( a < Z < a = 0.95 P ( a < X μ < a = 0.95 σ / I μ = (x a σ Avädig av CGS Puktskattigar Ta fram motsvarade s.v. x 1,, x 1 obs. frå X i ~Exp(μ 1 y 1,, y obs. frå Y i ~Exp(μ μ 1,obs = x och μ,obs μ 1 = X och μ = Y = y Eligt CGS X N (μ 1, och Y N (μ, ty i 30 1 Hjälpvariabel Ka ej isolera μ 1 μ ty kvadrat i ämare Approximera mha. μ 1 = X och μ = Y (OK eftersom de är kosisteta skattigar av μ 1 respektive μ Stäg i hjälpvariabel Isolera μ 1 μ och beräka gräsera mha. tabell Ersätt med observatioer frå puktskattigar Detta ger itervallet: μ 1 X Y (μ 1 μ μ 1 + μ N(0,1 ty käda stadardavvikelser 1 X Y (μ 1 μ N(0,1 X 1 + Y I μ1 μ μ = (μ 1 μ a X 1 + Y I μ1 μ = (x y 1.96 x 1 + y Sida 17 av 4

18 Hypergeometrisk fördelig kofidesitervall för p Ta fram s.v. och observatio Ta fram approximatio (via tabell x är e observatio frå X~Hyp(N,, p N X~Hyp(N., p N (p, p(1 p N 1 Skatta p mha. p och ta fram p obs p = X p obs = x Vill ta fram hjälpvariabel Börja med att hitta e fördelig för X Aväd ormalapproximatio N X~Hyp(N,, p N (p, p(1 p N 1 eftersom N p(1 p 10 N 1 Ka u ta fram (approximativ fördelig för p E(p = E ( X = 1 E(X = 1 p = p V(p = V ( X = 1 V(X = 1 N p(1 p N 1 N p(1 p = N 1 p = X N (p, N N 1 p(1 p Stadardisera p så fås e hjälpvariabel för p Okäda parametrar i ämare på hjälpvariabel, vilket blir krågligt Bilda y hjälpvariabel: Stäg i hjälpvariabel i ett itervall med saolikhetsmassa 1 α Isolera p och beräka gräsera mha. tabell Ersätt med observatioer Detta ger itervallet: p N N (p, N 1 p(1 p Z = p p N N 1 p (1 p N(0,1 eftersom p är e kosistet skattig av p P( a < Z < a = 0.95 P ( a < I p = (p obs p p N N 1 p (1 p p p N p(1 p N 1 < a = 0.95 N 1.96 N 1 p obs (1 p obs N(0,1 Sida 18 av 4

19 Hypotesprövig Observatioer x 1,, x av oberoede och likafördelade s.v. X 1,, X (iblad är = 1 Beteckig Betydelse H 0 Nollhypotes Påståede om att parameter θ har ett bestämt värde θ 0 I regel det ma tror är falskt Mothypotes H o : θ = θ 0 H 1 t(x 1,, x Påståede om att parameter θ har ett aat värde ä θ 0 I regel det ma vill visa Teststorhet (TS observatio frå s.v. Teststorhetes s.v. då H 0 är sa T(x 1,, x Teststorhetes s.v. C = [a,b] α h(θ Fel av typ I Fel av typ II P-värde E- och tvåsidiga test Kritiskt område (C H 0 förkastas om t(x 1,, x C H 0 förkastas ej om t(x 1,, x C Sigifikasivå α = P(H 0 förkastas om H 0 är sa α = P(t(X 1,, X C om H 0 är sa Styrka för ett värde θ 1 (i H 1 P(H 0 förkastas om θ 1 ärdet saa värdet P(t(X 1,, X C om θ 1 är detsaa värdet Styrkefuktio P(H 0 förkastas om θ ärdet saa värdet P(t(X 1,, X C om θ ärdet saa värdet Styrkefuktioe ska vara stor för p-värde som tillhör mothypotes Att förkasta H 0 då de är sa Sigifikasivå α = risk för fel av typ I Att ite förkasta H 0 då de är falsk P är saolikhete (då H 0 är sa att få ett mist lika extremt värde på TS som det ma har observerat. Lågt P-värde tyder på stor avvikelse frå H 0 H 1 : θ > θ 0 eller θ < θ 0 z = x μ 0 σ/ då H 0 är sa Z = X μ σ/ ~N(0,1 då H 0 är sa C = I θ = [a, [ 10 α = 5% Styrka = 81% h(θ = ( 10 k θk (1 θ 10 k k=6 H 0 förkastas P < α Fall Kriterium Metod H 1 : θ > θ 0 eller θ < θ 0 H 1 : θ θ 0 H 0 förkastas om t(x 1,, X > a respektive t(x 1,, X < a H 0 förkastas om t(x 1,, X < b 1 eller t(x 1,, X > b Sida 19 av 4 Nedåt/uppåt begräsat kofidesitervall för θ H 0 förkastas om θ 0 I θ Kofidesgrad = 1 α α = P(t(X 1,, X < b 1 om θ = θ 0 α = P(t(X 1,, X > b om θ = θ 0 Gör tvåsidigt kofidesitervall för θ H 0 förkastas om θ 0 I θ

20 Slutsatser frå kofidesmetode Teststorhet Beslut Betydelse Lågt borta, Osaolikt Har fuit e sigifikat avvikelse frå H t C H 0 förkastas (till förmå för H 1 0 Avvikelse är på ivå α Med felrisk α så gäller H 1 Ite tillräckligt lågt borta eller osaolikt Ige sigifikat avvikelse frå H t C H 0 förkastas ej 0 Sett till ivå α H 0 ka vara sa (eller falsk Hypotesprövig uta ormalapproximatio Observatioer Hypoteser Sigifikasivå Ta fram observatio av p Välj teststorhet Ställ upp uttryck för att se om t(x > a ( förkasta H 0 Beräka tröskelvärdet a Jämför tröskelvärde med teststorhet Tolka resultat x = 7 är e observatio frå X~Bi(, p H 0 : p = 0.3, H 1 : p > 0.3 α = 5% p obs = x 10 = 7 10 = 0.7 t(x: x P(X a om H 0 är sa 0.05 P(X a om p = Bi(10,0.3 ger P(X 6 = P(X = P(X = 6 = x = 7 > 6 = a H 0 förkastas Med felrisk 4.73% 5% ka vi påstå att H 1 : p > 0.3 gäller Jämförelse mella C-metode och p-metode C-metode Ata att H 0 är sa: Detta leder till e give fördelig för teststorhete X Ata att vi får resultatet (observatioe x Är saolikhete att vi fick detta resultat tillräckligt lite? Beräka α: P(X a = α eller P(X a = α (där vi söker a så att saolikhete blir α Om x a eller x a: Beräka p-värdet: p = P(X x eller p = P(X x Om p α eller p α: p-metode Resultatet är osaolikt uder H 0 Detta är sigifikat H 0 ka förkastas Aars: Resultatet är ej tillräckligt osaolikt uder H 0 Detta är ej sigifikat H 0 ka ej förkastas Resultatet är osaolikt uder H 0 Detta är sigifikat H 0 ka förkastas Aars: Resultatet är ej tillräckligt osaolikt uder H 0 Detta är ej sigifikat H 0 ka ej förkastas Sida 0 av 4

21 Hypotesprövig med ormalapproximatio Observatioer Hypoteser Sigifikasivå x = 7 är e observatio frå X~Bi(, p H 0 : p = p 0, H 1 : p p 0 α = 5% X~Bi(, p 0 N (p 0, p 0 (1 p 0 Ta fram fördelig för X (uder H 0 p = X N (p 0, p (1 0 p 0 Bilda hjälpvariabel Z Välj teststorhet z Ställ upp uttryck för att se om p stor ( förkasta H 0 p stor z stor testa z Beräka tröskelvärdet a Jämför tröskelvärde med teststorhet Tolka resultat p p Z = 0 p 0 (1 p 0 / N(0,1, då H 0 är sa p t: z = obs p 0 p 0 (1 p 0 / P( Z > a om H 0 är sa α = 0.05 P( Z > a om p = p N(0,1 ger P( Z > a = P( a < Z < a = 0.05 a = 1.96 z > a eller z < a H 0 förkastas Med felrisk α ka vi påstå att H 1 : p p 0 gäller Normalapproximatio - allmät E eller flera stickprov ger e puktskattig θ obs Tillhörade s.v. θ N(θ, D Vill pröva H 0 : θ = θ 0 Bilda hjälpvariabel och teststorhet: o Teststorhete är i pricip hjälpvariabel för I θ fast med villkoret att H 0 är sat θ θ N(0,1, D käd Z = { D θ θ D N(0,1, D okäd z = { där d är e skattig av D som gäller då H 0 är sa θ obs θ obs θ N(0,1, D θ N(0,1, d Esidigt eller tvåsidigt test beror på hur mothypotese ser ut om D käd då H 0 är sa om D okäd Sida 1 av 4

22 Hypotesprövig vid ett stickprov σ käd Observatioer S.v. x 1,, x frå oberoede och likafördelade s.v. X 1,, X X i = μ + ε i och ε i ~N(0, σ Hypoteser H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0 Sigifikasivå Puktskattig Tillhörade s.v. Bilda hjälpvariabel Z Bilda därefter teststorhet z (Z uder villkoret att H 0 är sat Ställ upp uttryck för att se om μ obs avviker μ obs stor x stor z stor testa z α μ obs = x μ σ = X ~N (μ, μ σ = X ~N (μ 0, då H 0 är sa (ty H 0 μ = μ 0 Z = X μ σ/ ~N(0,1 då H 0 är sa z = x μ 0 σ/ observatio frå Z~N(0,1 om H 0 är sa P( Z > a om H 0 är sa α Tvåsidigt med α på vardera sida pga. H 1: μ μ 0 Beräka tröskelvärdet a N(0,1 ger P( Z > a = P( a < Z < a = α a = λ α/ Jämför tröskelvärde med teststorhet z Tolka resultat Om z > a eller z < a H 0 förkastas Med felrisk α ka vi påstå att H 1 : p p 0 gäller Ekvivalet: riske att teststorhet av slump hamar i kritiska området Z > a är lika med α Hypotesprövig vid ett stickprov σ okäd Bilda hjälpvariabel Z Bilda därefter teststorhet z (Z uder villkoret att H 0 är sat T = X μ S/ ~t( 1 då H 0 är sa t = x μ 0 s/ observatio frå T~t( 1 om H 0 är sa Hypotesprövig vid ett stickprov H 0 : σ = σ 0 Bilda hjälpvariabel S Bilda därefter teststorhet s Atag att H 1 : σ > σ 0 Förkasta H 0 då s > c Bestäm c mha. följade: S = 1 1 (X i X s = 1 1 (x i x α = P(S > c om H 0 är sa {( 1S ~χ ( 1 om H 0 är sa σ 0 α = P ( ( 1S σ 0 > ( 1c σ 0 om H 0 är sa Sida av 4

23 Hypotesprövig vid flera stickprov μ i Observatioer S.v. Hypoteser Kofidesitervall-metode Teststorhet-metode x 1,, x frå oberoede och likafördelade s.v. X i ~N(μ 1,σ 1 y 1,, y frå oberoede och likafördelade s.v. Y i ~N(μ, σ H 0 : μ 1 = μ μ 1 μ = 0 H 1 : μ 1 μ eller H 1 : μ 1 > μ eller H 1 : μ 1 < μ Kostruera kofidesitervall för μ 1 μ Förkasta H 0 om 0 I μ1 μ Esidigt itervall { Tvåsidigt itervall { H 1 : μ 1 > μ eller H 1 : μ 1 < μ H 1 : μ 1 μ Vid flera stickprov jämför kofidesitervall Teststorhet: T = X Y S ~t( 1 + uder H 0 1 Förkasta H 0 om T < c och/eller T > c (beroede på H 1 Hypotesprövig vid flera stickprov σ i Hypoteser H 0 : σ 1 = σ 1 = σ (alterativt σ 1 = σ = σ Bilda hjälpvariabel V Bilda därefter teststorhet v (V uder villkoret att H 0 är sat H 1 : μ 1 μ eller H 1 : μ 1 > μ eller H 1 : μ 1 < μ ( 1 1S 1 σ /( 1 1 V = 1 ~F( ( 1S 1 1, 1 då H 0 är sa σ /( 1 1 v = s 1 s obs. frå V~F( 1 1, 1 om H 0 är sa Esidigt eller tvåsidigt test { H 1: σ 1 > σ eller H 1 : σ 1 < σ H 1 : σ 1 σ 1 Esidigt itervall { Tvåsidigt itervall Jämför tröskelvärde c med teststorhet Förkasta H 0 om T < c och/eller T > c (beroede på H 1 Sida 3 av 4

24 Stokastiska vektorer Vätevärde E[X + Y] = E[X] + E[Y] Varias V(X + Y = V(X + Cov(X,Y + V(Y E[aX + by + c] = a E[X] + b E[Y] + c V(aX + by + c = a V(X + ab Cov(X,Y + b V(Y E[X Y] = E[X] E[Y] om Χ och Y är oberoede V(X + Y = V(X + V(Y om Χ och Y är oberoede Kovarias Korrelatio Cov(Χ, Y = E[Χ Y] E[Χ] E[Y] ρ(χ, Y = Cov(X, X = V(X Cov(X, Y = Cov(Y,X Cov(aX,bY = a b Cov(X, Y Cov(X, Y = 0 om Χ och Y är oberoede Cov(Χ, Y D(X D(Y = Cov(Χ, Y V(Χ V(Y Mått på lijärt beroede mella Χ och Y 1 ρ 1 gäller alltid! Täk X är 100% respektive 100% beroede av Y Χ och Y är oberoede Cov(X, Y = 0 Χ och Y är okorrelerade ρ(χ, Y = 0 Flerdimesioell ormalfördelig Kovariasmatris Täk V(aX + by + c = a V(X + ab Cov(X,Y + b V(Y o Fast geeraliserat till tre eller fler dimesioer i form av X, Y, Z, Därav matrisform C(X, X C(X, Y C(X, Z V(X C(X, Y C(X, Z C X = ( C(Y, X C(Y, Y C(Y, Z = ( C(Y, X V(Y C(Y, Z C(Z, X C(Z, Y C(Z, Z C(Z, X C(Z, Y V(Z Notera symmetri pga. C(X, Y = C(Y,X samt att C(X, X = V(X Regressiosaalys Sats: Kompoetera i e ormalfördelad vektor är oberoede kovariasmatrise är e diagoalmatris. Följdsats: Två simultat ormalfördelade s.v. X, Y är oberoede X, Y är okorrelerade, ρ(χ, Y = 0 Sats: Om Y = AX + B där X har flerdimesioell ormalfördelig Y är ormalfördelad E lijärkombiatio av oberoede ormalvariabler, som är kompoeter i e ormalfördelad vektor, är ormalfördelad Sida 4 av 4