(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna.

Transkript

1 1 0,5 0 LÖSNINGAR till tetame: Statistik och saolikhetslära (LMA120) Tid och plats: 08:30-12:30 de 6 april 2016 Hjälpmedel: Typgodkäd miiräkare, formelblad Betygsgräser: 3: 12 poäg, 4: 18 poäg, 5: 24 poäg. Maximalt atal poäg: 30 poäg Telefovakt: Aa Johig 1. I ett tryckhållfasthetstest av betogpelare mäts var på pelare brottet sker. Låt X vara hur högt upp frå golvet pelare spricker. Saolikhete för brott är likformigt fördelad över hela pelare, alltså X~Uiform(0, L) där L är pelares lägd. (a) Skissa täthets-/frekvesfuktioe och fördeligsfuktioe för X. Glöm ite att age värde på axlara. 1/L Frekvesfuktio Fördeligsfuktio 1 0 L , L 2 (b) Vad är det förvätade värdet av X och dess stadardavvikelse? (1p) För e uiformt fördelad slumpvariabler på itervallet (0, L) gäller att, E[X] = 0+L 2 = L 2 Var(X) = σ 2 = (L 0)2 12 = L2 12 σ = σ 2 = L2 12 = L 12 (c) Visa att 2X är e vätevärdesriktig skattare av pelarlägde L, och beräka e skattig L av L givet följade data för X (i meter): 1,1 1,2 1,3 3,3 2,4 0,5 3,2 1,4 1,6 3,6 Låt dubbla stickprovsmedelvärdet vara e skattig av L, L = 2X Är L e vätevärdesriktig skattig av L? E[L ] = E[2X ] = 2E[X ] = 2E [ X 1+X 2 + +X ] = 2 E[X 1 ]+E[X 2 ]+ +E[X ] = L 2 = 2 +L 2 + +L 2 = 2 (L) = L 2 Alltså är L = 2X e vätevärdesriktig skattig av L. Skattig av L för give data, L = 2x = 2 i=1 x i = 2 10 (1,1 + 1,2 + 1,3 + 3,3 + 2,4 + 0,5 + 3,2 + 1,4 + 1,6 + 3,6) = 3,92

2 (d) Atag istället att 108 pelare testas där alla är 4 meter höga. Fi saolikhete att medelhöjde för pelarbrott är midre ä 1,8 meter upp frå marke. Eftersom stickprovet är stort kommer medelvärdet X approximativt följa e ormalfördelig med samma vätevärde som X och varias σ X /, X ~Normal (μ X, σ X ) = 108 μ X = E[X] = L 2 = 2 σ X = 1 Var(X) = 1 L2 12 = = 1 9 X ~Normal (2, 1 9 ) Sökt är saolikhete att X < 1,8. P(X < 1,8) = P ( X μ X < 1,8 μ X σ X σ X ) = P (Z < 1,8 2 ) = Φ( 1,8) = 1 Φ(1,8) = 1 9 = 1 0,9641 = 0, Emilia har e Batma & Robi-seriebok. Av alla sidor så förekommer Batma på 60 % av dem, Robi på 40 %, Joker på 30 %, och 10 % av sidora har ige av dessa karaktärer. Joker förekommer aldrig esam på e sida, uta är alltid teckad tillsammas med atige Batma eller Robi. Batma och Robi ka däremot förekomma både själva och tillsammas. (a) Illustrera problemet i ett Ve-diagram där följade hädelser är markerade. B: E slumpmässigt vald sida visar Batma R: E slumpmässigt vald sida visar Robi J: E slumpmässigt vald sida visar Joker B J R (b) Vad är saolikhete att e slumpmässigt vald sida visar både Batma och Robi? (Tips: tag hjälp av Ve-diagrammet) Givet i uppgifter är följade: P(B) = 0,6 P(R) = 0,4 P(J) = 0,3 P(ige) = 0,1 Sökt är P(B och R). Saolikhete för att atige Batma eller Robi förekommer på e slumpmässig sida ka beräkas eligt, P(B eller R) = P(B) + P(R) P(B och R) P(B och R) = P(B) + P(R) P(B eller R)

3 Eftersom Joker aldrig förekommer esam på e sida ka P(B eller R) beräkas, P(B eller R) = 1 P(ige) = 1 0,1 = 0,9 P(B och R) = P(B) + P(R) P(B eller R) = 0,6 + 0,4 0,9 = 0,1 (c) Vad iebär det att två hädelser är oberoede? Är hädelsera B och R oberoede? För att hädelsera B och R skall vara oberoede måste, P(B och R) = P(B)P(R) Givet iformatioe i uppgifte ka vi beräka, P(B)P(R) = 0,6 0,4 = 0,24 I uppgift (a) kom vi fram till att P(B och R) = 0,1. P(B och R) P(B)P(R) B och R är alltså ite oberoede hädelser. (d) Givet att e slumpmässigt vald sida visar atige Batma eller Robi, vad är saolikhete att äve Joker förekommer på sida? Sökt är P(J B eller R). För betigade saolikheter gäller att, P(J B eller R) = P(J och (B eller R)) P(B eller R) Joker förekommer dock aldrig uta Batma eller Robi, alltså P(J och (B eller R)) = P(J) P(J B eller R) = P(J) = 0,3 = 1 P(B eller R) 0, Efter ett tag har Emilia läst si Batma & Robi-bok till leda och bestämmer sig för att göra ett collage. På slump river ho ut 20 sidor frå boke, klipper ut alla karaktärer på sida och klistrar upp dem på sitt collage. Atag att varje karaktär edast förekommer e gåg per sida. Låt X, Y och Z betecka atalet Batma, Robi respektive Jokers som fis på det färdiga collaget. (a) Vilke fördelig har X, Y och Z? (Aväd iformatioe frå uppgift 2.) X är atalet lyckade försök i e serie av =20 oberoede experimet, som alla har saolikhet p=0,6 att lyckas. Alltså är X~Biomial(=20, p=0,6). På samma sätt är Y~Biomial(20, 0,4) och Z~Biomial(20, 0,3).

4 (b) Vad är det förvätade totala atalet karaktärer på collaget (X+Y+Z)? Sökt är förvätat värde av summa av X, Y och Z, E[X + Y + Z] = E[X] + E[Y] + E[Z] Förvätat värde för e biomialfördelad slumpvariabel ges av p. E[X] + E[Y] + E[Z] = X p X + Y p Y + Z p Z = = 20 0, , ,3 = För att testa e y isolerig gjordes temperaturmätigar precis vid utsida av husväggar där de ya isolerige aväds. Försöke var kotrollerade så att iomhusoch utomhustemperatur var lika i alla försöke. Låt X vara temperature vid vägges utsida och ata att observatioera är oberoede och ormalfördelade. Följade värde för X uppmättes (i C): 9,92 10,0 9,82 9,93 10,1 10,1 (a) Beräka ett 98%-igt dubbelsidigt kofidesitervall för det förvätade värdet av X, om stadardavvikelse är bestämd till σ=0.1 frå tidigare mätigar. Ett 100(1 α) %-igt kofidesitervallför det förvätade värdet av X, är stadardavvikelse är käd ges av, X ± z α/2 σ Stickprovsmedelvärdet beräkas, x = 1 i=1 x i = 1 5 (9, ,0 + 9,82 + 9, ,1 + 10,1) = 9,98 För ett 98%-igt kofidesitervall, alltså α = 0,02, behöver vi, Φ(z α/2 ) = Φ(z 0,01 ) = 1 0,01 = 0,99 Tabell z 0,01 = 2,33 Vi får därmed itervallet, [9,98 2,33 0,1 6, 9,98 + 2,33 0,1 6] = [9,88, 10,1] (b) Beräka ett 98%-igt dubbelsidigt kofidesitervall för det förvätade värdet av X, om stadardavvikelse är okäd. Ett 100(1 α) %-igt kofidesitervallför det förvätade värdet av X, är stadardavvikelse är okäd ges av, X ± t df,α/2 s Stickprovsstadardavvikelse beräkas, s = i=1 (x i x ) 2 1 = = 1 5 ((9,92 9,98)2 + (10,0 9,98) 2 + (9,82 9,98) 2 + (9,93 9,98) 2 + (10,1 9,98) 2 + (10,1 9,98) 2 ) = = 0,110

5 Stickprovsstorleke =6, så vi har df=6-1=5 frihetsgrader. Vi har samma sigifikasgrad α = 0,02 som i (a). För ett 98%-iga kofidesiterfall behöver vi, t df,α/2 = t 5,0.01 Tabell t 5,0.01 = 3,36 Vi får därmed itervallet, [9,98 3,36 0,110 6, 9,98 + 3,36 0,110 6] = [9,83, 10,1] 5. Ytskiktet på 70 slumpmässigt valda värmepaor udersökts för defekter. Atalet defekter oteras för varje paa och resultatet fis beskrivet i följade tabell. Atal defekter Atal paor Eligt e föreslage modell ka atalet defekter på e värmepaa beskrivas med e slumpvariabel som är Poisso-fördelad med parameter λ = 2. Geomför ett χ 2 -test för att udersöka om dea modell är rimlig. Sigifikasivå ska vara 0,10. (4p) För att kua beräka förvätat atal observatioer behöver vi saolikhete att ett visst atal defekter uppstår. För Poissofördelade slumpvariabler ges detta av, P(X = x) = e λ λ x x! = e 2,11 2,11 x x!, x = 0, 1, 2, 3, Beräka dessa saolikheter för de observerade värdea för X och förvätat atal observatioer, Atal defekter, x i 0 e ! 1 e ! 2 e Saolikhet, P(X=x i) Förvätad frekves, P(X=x i)* = e 2 1 = 0,135 0,135*70=9,47 1 2! = e = 0,271 0,271*70=18,9 = e = 0,271 0,271*70=18,9 3 1 P(X 2) = 1 (0, ,323*70=22,6 0, ,271) = 0,323 Total I vårt Goodess of fit-test vill vi testa hypotesera, H 0 : Atalet defekter är X~Poisso(λ) H 1 : Atalet defekter är ite X~Poisso(λ)

6 Sätt upp χ 2 -tabell för försöket, Atal Observerad Förvätad (O i E i ) 2 defekter, x i frekves, O i frekves, E i [X] E i 0 5 9,47 (5 9,47) 2 = 2,11 9, ,9 3, ,9 1, ,6 1,81 Total = 9,19 Vår teststatistika är alltså, χ 2 = (O i E i ) 2 E i = 9,19 Atalet olika utfall är 4 (0, 1, 2, och 3) vilket iebär att vi har df=4-1=3 frihetsgrader. Sigifikasivå är satt till α = 0,10. Formelsamlige ger oss att de kritiska regioe, då vi förkastar ollhypotese, är, 2 χ 3,0.10 > 6,251 Eftersom teststatistika ligger i de kritiska regioe (9,19 > 6,251) ka vi förkasta ollhypotese och dra slutsatse att atalet defekter på värmepaora ite följer e Poisso-fördelig.