Matematisk statistik

Transkript

1 Tetame TEN, HF, 8 aug Kursod: HF Srivtid: 8:-: Lärare och examiator: Armi Halilovic Matematis statisti Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statisti ") och miiräare av vile typ som helst Sriv am och persoummer på varje blad Dea tetameslapp får ej behållas efter tetamestillfället uta sa lämas i tillsammas med lösigar Poägfördelig och betygsgräser: Tetame ger maximalt 3 poäg Betygsgräser: För betyg A, B,, D, E rävs 3, 4,, 6 respetive poäg Kompletterig: poäg på tetame ger rätt till ompletterig (betyg Fx) Vem som har rätt till ompletterig framgår av betyget Fx på MINA SIDOR Kompletterig ser c:a två vecor efter att tetame är rättad Om ompletterig är godäd rapporteras betyg E, aars rapporteras F Uppgift (3p) Bara för dem som ite larat s För hädelsera A och B gäller att P ( A B) 8, P( A B) 3 och P ( B) Bestäm a) P ( A ), b) P( A B ), c) P( A B ) Uppgift (3p) Bara för dem som ite larat s 8 x, f ( x) < x för övrigt vara täthetsfutioe för e stoastis variabel ξ a) Visa att b) Bestäm vätevärdet E (ξ ) c) Bestäm mediae för ξ Uppgift 3 (3p) Bara för dem som ite larat s3 E forsare gjorde 6 mätigar för e ormalfördelade stoastis variabel X N(μ,σ) och fic följade resultat (σ oät): X:, 34, 6, 4, 4, 3 Bestäm ett % ofidesitervall för medelvärdet μ Uppgift 4 (3p) Vi sa placera 6 idetisa bollar i lådor L, L, L3, L4L a) På hur måga olia sätt a vi göra detta? b) I hur måga placerigar är både L och L4 tomma lådor? Var god väd

2 Uppgift (3p) Vid tillverig av e viss typ motståd blir resistase N(,) fördelad (ehet iloohm) Vad är saolihete att serieopplade sådaa motståd sall få e resistas mella och iloohm? Uppgift 6 (4p) Livslägde hos e eletrois ompoet K är e expoetialfördelad sv med medelvärdet 4 år a) Hur stor saolihete är att ompoete fugerar i mer ä 3 år? b) Ett system B som består av sådaa ompoeter fugerar om mist e, av de ompoeter, fugerar Bestäm saolihete att systemet B fugerar i mer ä 3 år Uppgift 7 (4p) Ma vill jämföra två metoder för mätig av e vis variabel som ases ormalfördelad med oäd stadardavvielse Ma har gjort mätigar med Metod och 7 mätigar med Metod Ma har fått följade observatioer: Metod : 6, 66, 66, 66, 67 Metod : 6, 6, 64, 68, 6, 68, 7 Ka ma med % saolihet påstå att det fis sillad mella metodera? Uppgift 8 (3p) Ett betjäigssystem a modelleras som M/M/3/ (dvs 3 betjäare och öplatser) Aomstitesitete är uder/miut och betjäigsitesitete för e betjäare är µ uder/miut a) Bestäm saolihetera p, p, p, p 3, p 4 och p b) Vad är saolihete att e ud avvisas Uppgift (3p) E ommuiatiosaal i ett datorät har apacitete K bitar/seud Till aale aommer meddelade eligt e Poissoprocess med aomstitesitete 4 meddelade/miut Meddeladea har e lägd som är expoetialfördelad med medelvärdet v bitar Vi atar att vi a modellera systemet som ett valigt M/M/ system med ödiscipli FFS ( First- ome- First- Served) Bestäm det mista värdet på K som erfordras, för att medelvärdet av totala tide i systemet blir T seuder Tips: Medeltid i systemet för e ud är T där µ betecar betjäigsitesitet ( µ betecar aomstitesitet) Uppgift (3p) Låt X vara e följd av biomialfördelade sv sådaa at P( X ) p ( p) Ata att p är er ostat då Visa att X går mot Poissofördelig dvs visa att lim( P( X )) e! Lyca till

3 FAIT Uppgift (3p) Bara för dem som ite larat s För hädelsera A och B gäller att P ( A B) 8, P( A B) 3 och P ( B) Bestäm a) P ( A ), b) P( A B ), c) P( A B ) Lösig: a) Frå P( A B) P( A) + P( B) P( A B) får vi 8 P ( A) + 3 P( A) 6 Därmed P( A c ) P( A) 4 b) Eligt De Morgas lagar gäller P ( A B ) P(( A B) ) 3 7 c) Frå ovaståede diagram har vi P( A B ) P( A) P( A B) Svar: a) P ( A c ) 4 b) P ( A B ) 7 c) P ( A B ) 3 Uppgift (3p) Bara för dem som ite larat s x f ( x) 8, < x för övrigt vara täthetsfutioe för e stoastis variabel ξ a) Visa att b) Bestäm vätevärdet E (ξ ) c) Bestäm mediae för ξ

4 Lösig: 8 x a) x dx 8 x b) E( x ) x x dx x dx c) Mediae är lösige till evatioe m m 8 x x dx m m Svar: a) Se bevis b) E ( ξ ) c) m Uppgift 3 (3p) Bara för dem som ite larat s3 E forsare gjorde 6 mätigar för e ormalfördelade stoastis variabel X N(μ,σ) och fic följade resultat (σ oät): X:, 34, 6, 4, 4, 3 Bestäm ett % ofidesitervall för medelvärdet μ Lösig: Lösig: x x + x + + x,

5 variase s ( x i x) i 6 / 4 s Variase Frå formelsamlig (sida 6 rad - 6- har vi α / t 76 Kofidesitervall: σ σ x tα /, x + tα / ) ( 76, + 76 ) 6 6 ( (4, 366) Svar: (4, 366) Uppgift 4 (3p) Vi sa placera 6 idetisa bollar i lådor L, L, L3, L4L a) På hur måga olia sätt a vi göra detta? b) I hur måga placerigar är både L och L4 tomma lådor? Lösig: a) Vi betratar evivalet problem: Atalet permutatioer av bostäver I, väggar ( 6 st) och O ( 6 st) där varje permutatio måste börja och sluta med I (aars hamar bollar utaför lådora) T ex följade placerig svarar mot permutatioe I O O I O I I O O I O I Eftersom varje permutatio måste börja och sluta med I, permuterar vi fatist 4 bostäver I och 6 bostäver O (totalt bostäver)! Atalet sådaa permutatioer är P 4,6() (4!) (6!) b) Om två lådor är alltid tomma, placerar vi 6 bollar i tre lådor med samma resoemag som i 8! a-dele har vi att atalet sådaa permutatioer är P,6(8) 8 (!) (6!)

6 Svar: a) b) 8 Uppgift (3p) Vid tillverig av e viss typ motståd blir resistase N(,) fördelad (ehet iloohm) Vad är saolihete att serieopplade sådaa motståd sall få e resistas mella och iloohm? Lösig: Låt ξ vara resistase av motståd ummer och η ξ + + ξ + ξ Då gäller ηη NN( ; ), d v s ηη NN(; ) Saolihete P( η ) F() F() Φ( ) Φ( ) Φ ( 4) Φ( 4) 87 7 Svar: 7 Uppgift 6 (4p) Livslägde hos e eletrois ompoet K är e expoetialfördelad sv med medelvärdet 4 år a) Hur stor saolihete är att ompoete fugerar i mer ä 3 år? b) Ett system B som består av sådaa ompoeter fugerar om mist e, av de ompoeter, fugerar Bestäm saolihete att systemet B fugerar i mer ä 3 år Lösig: Låt ξ,,, beteca livslägde hos e ompoet Då är ξ Eξp() Vätevärdet av ξ är µ µ 4 Därmed x Exp( ) 4 Därmed (olla formelblad) t t / 4 F( t) e e 4 3/ 4 a) p P( ξ > 3) ( 3) (3) ( 3/ P ξ F e ) e 474 b) Saolihete att ige ompoet fugerar i mer ä 3 år är P( ige) ( p) ( p) ( p) ( p) Saolihete för mist e fugerade ompoet är ( 474) 4

7 P (mist e) P(ige) 4 6 Svar a) 474 b) 6 Uppgift 7 (4p) Ma vill jämföra två metoder för mätig av e vis variabel som ases ormalfördelad med oäd stadardavvielse Ma har gjort mätigar med Metod och 7 mätigar med Metod Ma har fått följade observatioer: Metod : 6, 66, 66, 66, 67 Metod : 6, 6, 64, 68, 6, 68, 7 Ka ma med % saolihet påstå att det fis sillad mella metodera? Lösig: Problemet hadlar om två sticprov med oät σ Vi aväder följade formler (se formelblad): x y t * där σ α / ( ( Beräigar ger + * ) σ ) σ x + ( ) σ + +, y x y + t α / ( + * ) σ + x 6, σ x 7 y , σ y 86, * σ 7734 t () α / 8 Kofidesitervallet för sillade mella medelvärdea är K[ 44, ] Eftersom ligger i itervallet a vi INTE påstå med % saolihet att det fis sillad mella metodera Svar: Eftersom ligger i itervallet a vi INTE påstå med % saolihet att det fis sillad mella metodera Uppgift 8 (3p) Ett betjäigssystem a modelleras som M/M/3/ (dvs 3 betjäare och öplatser) Aomstitesitete är uder/miut och betjäigsitesitete för e betjäare är µ uder/miut a) Bestäm saolihetera p, p, p, p 3, p 4 och p b) Vad är saolihete att e ud avvisas Lösig: a) Diagrammet med övergågsitesiteter:

8 Med hjälp av teori för födelsedödsprocesser har vi följade relatioer mella de statioära saolihetera p och p : 3, p p, p 3 p, p 4 p, µ µ µ µ µ µ µ µ µ p p µ 3 4 p p µ µ µ 33µ Härav p p, p 3 p, p p, p p, p 8844 p För att bestämma p aväder vi relatioe p + p + p + p + p + p och får p p 7736 Därefter p p 8874 p 3 p ,

9 p p 76, p p 64373, p 8844 p 3637 b) Saolihete att e ud avvisas är p 3637 Uppgift (3p) E ommuiatiosaal i ett datorät har apacitete K bitar/seud Till aale aommer meddelade eligt e Poissoprocess med aomstitesitete 4 meddelade/miut Meddeladea har e lägd som är expoetialfördelad med medelvärdet v bitar Vi atar att vi a modellera systemet som ett valigt M/M/ system med ödiscipli FFS ( First- ome- First- Served) Bestäm det mista värdet på K som erfordras, för att medelvärdet av totala tide i systemet blir T seuder Tips: Medeltid i systemet för e ud är T där µ betecar betjäigsitesitet ( µ betecar aomstitesitet) Lösig: a) Vi sa aväda miut som tidsehet Vi har 4 meddelade/miut Betjäigsitesitet som rävs för att få Tsec /6 / mi bestämmer vi med hjälp av formel T som ger µ 4 µ µ 4 µ Alltså för att få T/ mi rävs det betjäigsitesitet µ meddelade per miut Eftersom meddelade har i geomsitt bitar drar vi slutsats att vi behöver e överförigsapacitet med mist K bitar per miut86667 bitar per seud Svar: K bitar per miut86667 bitar per seud Uppgift (3p) Låt X vara e följd av biomialfördelade sv sådaa at P( X ) p ( p) Ata att p är er ostat då Visa att X går mot Poissofördelig dvs visa att lim( P( X Bevis: )) e!

10 Låt vara ett fixt tal Vi har p p X P ) ( lim )) ( ( lim +! ) )( ( im + ) )( ( im! im! (*)! e e! VSB Förlarig av (*): Om, eftersom är ett fixt tal, har vi i uttrycet (*) i, e ad