TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen med lösningar

Transkript

1 TMS36: Dataaalys och statistik Tetame med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser: För betyg 3 krävs 4 poäg, för 4 krävs 0 poäg och för betyg 5 krävs 7 poäg. Totalt fis 35 poäg. Om du vill att jag skall mejla dig resultatet är jag rättat klart di teta ka du skriva di mejladress på det sista pappret du lämar i. Skriv i så fall gära läsligt. Observera att teta i detta fall kaske ite blir aoym, så struta i det om det käs viktigt. Fullstädiga och välmotiverade lösigar skall ges till varje uppgift!. Defiiera följade begrepp: a) Bias. p) Lösig: Om ˆθ är e skattare ) ite skattig) för parameter θ ges skattares bias av E ˆθ θ. Bias är alltså ett mått hur stor e evetuell systematisk avvikelse är i medeltal. b) Styrka. p) Lösig: Saolikhete att förkasta e falsk ollhypotes. Ett mått på ett hypotestests förmåga att upptäcka avvikelser frå ollhypotese. c) Typ I-fel. p) Lösig: Att förkasta e sa ollhypotes. d) Kofidesgrad för ett tvåsidigt kofidesitervall. p) Lösig: Om ett tvåsidigt kofidesitervall har kofidesgrade α)00% kommer upprepade observatioer kofidesitervallet täcka de aktuella populatiosparameter i α)00% av falle.. I e mörk garderob ligger olika par skor huller om buller. Du sträcker i hade och tar två skor på måfå. Lös följade både för fixt och då : a) Saolikhete att få ett sammahörade par? p)

2 Lösig: Att välja två skor blad skor ka göras på ) sätt så det fis ) möjliga utfall. Det fis precis sammahörade par så ett sammahaörade par ka väljas på precis sätt. Alltså är atalet gysamma utfall. Det följer att saolikhete för att få ett sammahörade par är ) )!! )! ) 0, 0. Så för ett fixt är saolikhete då växer. och saolikhete går mot 0 b) Saolikhete att få e högersko och e västersko? p) Det fis västerskor och högerskor så atalet möjligheter att välja e av varje är. Det fis alltså gysamma utfall. Det följer att de sökta saolikhete är ) )!! )! ), 0. Så för ett fixt är saolikhete då växer. och saolikhete går mot 3. Före e opiiosudersökig krig hur ma skulle rösta om det vore val idag förmodar ma att 36% skulle rösta på Socialdemokratera, 5% skulle rösta på Moderatera, % skulle rösta på Folkpartiet och resterade skulle rösta på de midre partiera eller blakt. Det visade sig blad 0000 tillfrågade att 377 persoer skulle rösta på Socialdemokratera, 48 skulle rösta på Moderatera, 3 skulle rösta på Folkpartiet och att resterade skulle rösta på de midre partiera eller blakt. Fis det aledig att ädra de förmodade fördelige? 4p) Lösig: Här är det lämpligt att göra ett Goodess-of-fit-test då det hadlar om hur måga eheter som hamar i olika kategorier. Då det är 0000 som till frågats följer att de förvätade frekvesera är 3600, 500, 00 och 700 för Socialdemokratera, Moderatera, Folkpartiet respektive övriga partier eller blakt. Vi får då att de observerade testfuktioe O E) E ) ) 3 00) ) Eftersom vi ite skattat ågra parametrar är atalet frihetsgrader 3. Eligt chi-två-tabell är det kritsiska värdet på 0.05-ivå 7.85 så på de ivå skulle vi förkasta ollhypotese om att de förmade fördelige stämmer och har således skäl att ädra de förmodade fördelige. Skulle vi exemplevis välja att göra testet på sigifikasivå 0.0 skulle det kritiska värdet vara.345 och då skulle ma ite förkasta ollhypotese.

3 4. När ma överför iformatio i form av ettor och ollor på e brusig kaal häder iblad att skickade ollor tas emot som ettor och skickade ettor tas emot som ollor. Saolikhete att e skickad olla tas emot som e etta är δ och saolikhete att e skickad etta tas emot som e olla är ǫ. Ma skickar ugefär lika måga ollor som ettor. Låt X vara det som säds och Y vara det som tas emot. a) Bestäm massfuktioe för Y 3p) Lösig: Ur texte fås PY X 0) δ, PY 0 X ) ǫ och PX ) PX 0). Eligt defiitioe av betigad saolikhet följer att PY ) PY X 0)PX 0)+PY X )PX ) Vi får då att δ + ǫ) ǫ + δ. PY 0) PY ) δ + ǫ, och det följer att massfuktioe för Y är ) y ǫ + δ δ + ǫ fy) b) Bestäm korrelatioe mella X och Y 3p) Lösig: Korrelatioe mella X och Y ges av EXY ) EX)EY ) V X)V Y ). ) y Vi har att EXY ) PX,Y ) PY X )PX ) ǫ, och att EX), EY ) ǫ + δ, V X) E X ) EX)) 4 4 V Y ) E Y ) EY )) ǫ + δ Det följer att korrelatioe mella X och Y är ǫ ǫ+δ ǫ+δ 4 ǫ+δ ) ǫ + δ. ) ) ǫ δ ǫ δ) 3

4 5. Tidera mella kuders akomster till kassa 8 på ICA Maxi är oberoede och expoetialfördelade med vätevärde 45 sekuder. Atag att e kud just kom till kassa. Vad är saolikhete att det uder uder ästkommade fyra timmar kommer åtmistoe 330 kuder till kassa? 4p) Lösig: Att tidera mella kuderas akomster är oberoede och expoetialfördelade med vätevärde 45 sekuder betyder att atalet kuder som kommer till kassa uder 45 sekuder är Poissofördelade med vätevärde λ. Det följer att atalet kuder som kommer till kassa uder fyra timmar är Poissofördelat med vätevärde λ / Vi har då med hjälp av CGS, om X är atalet kuder uder fyra timmar, att ) PX 330) P Z Φ0.56) Saolikhete att åtmistoe 330 kuder kommer till kassa uder fyra timmar är alltså ugefär 9 procet. 6. Frå två oberoede grupper av bilar har bräsleförbrukige i liter per mil mätts upp med följade stickprovsresultat a) 0.9,.0, 0.86, 0.95,.03,., 0.9, 0.86 b) 0.7, 0.67, 0.7, 0.63, 0.58, 0.65, 0.59, 0.7, 0.57 Är detta tillräckligt för att på sigifikasivå 0.05 och uder atagade om lika populatiosvariaser säga att de ormalfördelade gruppb) har lägre förvätad bräsleförbrukig ä de ormalfördelade gruppa)? 4p) Lösig: Vi låter idexet betecka gruppe frå vilke stickprovet av storlek 8 kommer och betecka gruppe frå vilke stickprovet av storlek 9 kommer. Vi ska testa hypotesera H 0 : µ µ 0 H : µ µ > 0. Då vi ka ata att populatiosvariasera är lika aväder vi testfuktioe X X 0, S p + där X är medelvärdet för stickrpovet frå grupp, X är medelvärdet för stickrpovet frå grupp, 0 är ollhypoteses värde på skillade i populatiosmedelvärde µ µ och S p är de poolade stickprovsstadardavvikelse som ges av S p ) S + ) S. + Vi observerar x 0.96, x 0.65, s och s så s p 0.075, 5 4

5 vilket, med 0 0 ger de observerade testfuktioe De kritiska värdet är t 0.05,5.753 så vi ka förkasta ollhypotese. Så bilgruppe varifrå stickprovet av storlek io kommer har alltså e sigifikat lägre medelförbrukig ä bilgruppe varifrå stickprovet av storlek åtta kommer. 7. I VLE-uppgiftera har vi sett att ma givet ett stickprov X,...,X frå e likformig fördelig på itervallet [0,b] ka skatta ett okät b med exempelvis ML-skattare maxx,...,x ) eller mometskattare X. Fi ett argumet som talar för att aväda mometskattare över ML-skattare. Fi mist två argumet som talar för att aväda ML-skattare över mometskattare. Argumete måste motiveras väl. 5p) Lösig: Mometskattare är ubiased eftersom E X ) E X) E X i ) b b. i ML-skattare är ite ubiased eftersom E maxx,...,x )) b b x b + där vi fått täthete, fx) x b för 0 < x < b och 0 aars, för MLskattare som derivata m.a.p. x av dess fördeligsfuktio Fx) PmaxX,...,X ) x) PX x,...,x x) PX i x)) x ),0 < x < b b och Fx) 0 aars. Så ur biassypukt är mometskattare bättre ä ML-skattare. ML-skattare är bättre ä mometskattre eftersom som de aldrig ka ge de orimliga skattige att b skulle vara midre ä e av stickprovsmedlemmara. ML-skattare är bättre ä mometskattare eftersom MSE för ML-skattare är E maxx,...,x ) b) ) E maxx,...,x )) ) b b + + b, där E maxx,...,x )) ) b b så MSE för ML-skattare blir 0 0 x b +, b + b + + b b + ) + ), meda MSE för mometskattare är ) ) ) E X b 4E X) be X ) + b 5

6 4V X) + 4 E X)) b + b 4 b + 4b 4 b b 3 så kvote av MSE för ML-skattare och MSE för mometskattare blir 6,,,... + ) + ) med likhet för, och olikhet för > så i alla praktiskt relevata situatioer har ML-skattare lägre MSE ä mometskattare. 8. Låt X,...,X vara ett stickprov frå e fördelig med täthetsfuktioe fx) x θ e x /θ), x 0, θ > 0. a) Bestäm ML-skattare för θ. p) Lösig: Likelihood-fuktioe ges av Lθ) x i θ e x i i /θ) i x i θ e θ P i x i. Det är behädigare att maximera log-likelikelihood-fuktioe istället så vi tar fram de; lθ) llθ) lx i l θ θ i Vi deriverar lθ) och får ekvatioe θ + θ x i 0, i och det följer att ML-skattare är ˆθ i X i. och V X i) 4 π θ. Vad blir ML- b) Ma ka visa att EX i ) skattares bias? p) Lösig: Vi har att E i X i ) θπ x i. i i V X i ) + E X i )) ) så ML-skattare är ubiased. Lycka till! E Xi ) E Xi ) 4 π θ + θπ ) θ, 6