S0005M V18, Föreläsning 10

Transkript

1 S0005M V18, Föreläsig 10 Mykola Shykula LTU Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15 Hypotesprövig ett stickprov, σ okäd. Stadardiserig av stickprovsmedelvärdet då σ är okäd Kofidesitervall och hypotesprövig där populatiosmedelvärdet µ aalyseras med hjälp av stickprovsmedelvärdet x bygger på att stickprovsmedelvärdet stadardiseras z = x µ σ/ där Z = X µ σ/ är N(0, 1)-fördelad (Tabell A). Detta kräver dock att stadardavvikelse σ är käd. Om σ är okäd skattas de med s = 1 (x i x) 1 2 och stadardiserige blir i=1 t = x µ s/, där T = X µ S/ är t( 1) fördelad (Tabell D). Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15 Saolikhetsfördelig för T Saolikhetsfördelige som beskriver variatioera i T kallas t-fördelige. Det fis e t-fördelig för varje frihetsgrad 1, kallad t( 1) (Table D i Moore-kursbok). Om frihetsgrade är väldigt stor, är t-fördelige väldigt ära N(0, 1). Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15

2 Kofidesitervall för µ då σ är okäd Ett kofidesitervall som iehåller µ med kofidesgrad C ges av [ x t s, x + t s ] eller x ± t s där t läses av tabell D med rätt kofidesgrad och frihetsgrad. Frihetsgrad (df) ska vara 1. Felmargiale ges av t s Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15 Hypotesprövig för µ då σ är okäd Givet att X k är N(µ, σ) betraktar vi teststatistika T = X µ 0 S/ som är t( 1)-fördelad om gäller. Givet följade fall av mothypoteser, desigar vi test för att kullkasta H 0, på sigifikasivå α. H a : µ < µ 0 t < t med α i svase. Där t är kritisk gräs. H a : µ > µ 0 t > t med α i svase. Där t är kritisk gräs. H a : µ µ 0 t < t eller t > t alt t > t med α/2 i svase. Där t och t är kritiska gräser. Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15 Hypotesprövig för µ med P-värde, σ är okäd Sigifikas ivå är α. Givet ollhypotes, att populatiosmedelvärdet är lika med µ 0, dvs skatta populatiosmedelvärdet med stickprovsmedelvärdet x. statistika blir då T = X µ 0 S/ t( 1), där S är stickprovs stadardavvikelse, och är storleke på stickprovet. Mothypotes P-värde (Tabell D, appr) H a : µ > µ 0 P(T t), t = x µ0 s/ frå data H a : µ < µ 0 P(T t) H a : µ µ 0 P(T t eller T t ) = 2 P(T t ) Beslutsregel: förkasta ollhypotes H 0 om P-värde < α Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15

3 Exempel Joha är brottare. För att kua tävla i si viktklass får ha ite väga mer ä 78 kg. Johas våg är ite helt tillförlitlig. Avvikelse mella has faktiska vikt och de vikt som våge visar är ormalfördelad med vätevärde oll. Joha väger sig sex gåger direkt efter varadra. Våge visar då värdea Bestäm ett 99% kofidesitervall för Johas vikt 2 Joha vill verifiera att has vikt uderstiger 78 kg, för att i aat fall bada bastu för att säka si vikt iför tävlige. Kostruera ett test som med sigifikasivå 5% verifierar om Joha väger tillräckligt lite. Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15 Exempel: lösig Modell: Johas vikt X N(µ, σ), σ är okäd. Vi vill veta kofidesitervall (kofidesgrad=99%). Vi vet: = 6, x = , s = , t = t α/2 ( 1) = t (5) = Ger k.i.-itervallet: I µ (0.99) = x ± t s/ = [77.711, ] (sigifikasivå = 5%): H 0 : µ = 78 H a : µ < 78 Förkasta H 0 om t-statistika observerad är midre ä t = t 0.05 (5) = t-statistika observerad: t = x 78 s/ = Vi ka ej förkasta H 0. Joha väger ej tillräckligt lite (på 5% sig.ivå). Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15 Stickprov i par Om ma för varje idivid udersöker två fall, och vill ha reda på om det är e systematisk skillad då ma går frå ea fallet till adra, har vi situatioe stickprov i par. Stickprov i par Vid stickprov i par tas för varje idivid, differese mella de två falle, så det blir e differes per idivid. Seda görs ett valigt kofidesitervall på dessa differeser. Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15

4 Stickprov i par, s 419 i Moore Exempel: Ger våg A och våg B lika mätvärde? Låt persoer väga sig på båda vågara och ge mätdata (a i, b i ), i = 1,...,. Atagade: a i observatio frå N(µ i, σ 1 ) b i observatio frå N(µ i +, σ 2 ), Skatta Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15 Stickprov i par, forts Bilda skilladera d i = a i b i, i = 1,..., d i observatio frå N(, σ), σ = σ1 2 + σ2 2 okät Gör aalys på d-datat. Aväd t-test. H 0 : = 0, H a : > 0 (< 0, 0) Kofidesitervall eller hypotesprövig för Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15 Två stickprov (ästa föreläsig) Om vi i ea fallet udersöker 1 stycke idivider, där observatioera X 1 k har okät popoulatiosmedelvärde µ 1 och (okäd) stadardavvikelse σ 1. Och i adra fallet udersöker 2 stycke idivider, där observatioera X 2 k har okät popoulatiosmedelvärde µ 2 och (okäd) stadardavvikelse σ 2. Om vi då är itresserade av storleke på skillade µ 1 µ 2 aväder vi aalysmetode för två stickprov (tex två stickprov kofidesitervall, två stickprov hypotesprövig H 0 : µ 1 = µ 2 ). Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15

5 Felaktiga slutsatser vid ett test (s ) Typ I fel: Förkastar H 0 fastä H 0 är sa. P(Typ I fel) = α. Typ I fel är alltså sigifikasivå. Typ II fel : Förkastar ite H 0 fastä H 0 är falsk. Coclusio based o sample Reject H 0 Fail to reject H 0 Truth about the populatio H 0 true Type I error Correct coclusio H 0 false (H a true) Correct coclusio Type II error Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15 Styrka hos ett test (s , Ex 6.29 och 6.30) Styrka hos ett test är P(förkastar H 0 H 0 falsk) Styrka beräkas i e viss istas av H a, tex H a : µ = 5.5 i ex med ikotihalt. Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15 Ex 6.29, s Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig / 15