Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

Transkript

1 Matematisk Statistik Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Tetame TT091A KMASK14H 7,5 högskolepoäg Nam: (Ifylles av studet) Persoummer: (Ifylles av studet) Tetamesdatum: 2 jui 2015 Tid: 9:00-13:00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt atal poäg på tetame: För att få respektive betyg krävs: 3=20, 4= 30, 5=40 50 poäg Allmäa avisigar: Nästkommade tetamestillfälle: Rättigstide är i ormalfall 15 arbetsdagar, aars är det detta datum som gäller: Viktigt! Glöm ite att skriva am på alla blad du lämar i. Lycka till! Asvarig lärare: Sara Loré Telefoummer: ,

2 Fråga 1 (6p) a) Förklara skillade mella e populatio och ett stickprov. b) Vad meas med att två hädelser är disjukta. c) Illustrera sittet mella A och B i ett Ve digaram d) Förklara vad ma mear med e stokastisk variabel. e) Förklara vad ma mear med vätevärdet av e stokastisk variabel. f) Förklara begreppet spridigsmått och ge exempel på två olika spridigsmått Fråga 2 (2p) Ma vill jämföra två olika tillverkigsprocesser A och B för e produkt. Ma tar ut ett atal produkter frå processera. På dessa produkter mäter ma lägde och gör e boxplot över lägdera e för varje process, se figur 1. Besvara a)-b) utifrå figure a) Vilke av processera ger störst variatio i produkteslägd? Motivera svaret. b) Vilke av processe har mätigar som ma ite ka ata vara ormalfördelade? Motivera svaret. Figur 1: Boxplot över mätigara för process A respektive process B.

3 Fråga 3: (4p) Besvara följade två frågor a) E lärare har tre listor över problem frå tre olika område. Varje lista upptar 10 uppgifter. För att tillverka e skrivig skall lärare välja ut 2 uppgifter frå varje lista. Hur måga olika skrivigar ka lärare göra? (2p) b) E boksamlig omfattar 5 böcker på sveska, 4 på egelska och 3 på fraska. På hur måga sätt ka samlige ställas på e bokhylla om böcker på samma språk skall stå itill varadra. (2p) Fråga 4: (5p) I e fabrik tillverkas e produkt vid 3 olika maskier. Maski 1 tillverkar 20% av produktera, maski 2 tillverkar 35% av produktera och 45% av produktera tillverkar maski 3. Maskiera tillverkar e viss adel defekta produkter för maski 1 är det 5% defekta produkter, maski 2 är det 4% och för maski 3 är det 2%. a) Vad är saolikhete att e slumpmässigt vald produkt är defekt? (3p) b) E kud får e felaktig produkt. Hur stor är saolikhete att de har tillverkats i maski 2? (2p) Fråga 5: (5p) I medeltal sker 3 trafikolyckor per måad i e specifik korsig. Vad är saolikhete att uder e give måad i dea korsig a) exakt 5 olyckor kommer att iträffa? (1p) b) midre ä 3 olyckor kommer att iträffa? (2p) c) mist 2 olyckor kommer att iträffa? (2p) Fråga 6: (5p) Ierdiameter på e kolvrig ka ases vara ormalfördelad med ett vätevärde på 10 cetimeter och e stadardavvikelse på 0.03 cetimeter. a) Vad är saolikhete att e slumpvis vald kolvrig har e ierdiameter som överstiger cetimeter? (1p) b) Vad är saolikhete att e slumpvis vald kolvrig har e ierdiameter som ligger mella 9.97 och cm? (2p) c) Vilke ierdiameter kommer 15% av kolvrigara att uderstiga? (2p)

4 Fråga 7: (6p) Ma påstår att motstådet i tråd typ A är större ä motstådet i tråd typ B. Ett experimet gjordes på båda trådtypera för att testa detta påståede och tabelle visar resultatet i ohm. Typ A Typ B Du ka ata att variase är lika för båda trådtypera och att datat är approximativt ormalfördelade. a) Beräkade ett 90% kofidesitervall för skillade i vätevärde mella de två trådtypera. (4p) b) Utifrå resultatet i a) vilke slutsats ka ma säga om påståedet att motstådet för trådtyp A är större ä motstådet för trådtyp B. (2p) Fråga 8: (6p) E biltillverkare säger i si reklam att de geomsittliga bräsleförbrukige för e viss modell är liter/mil vid bladad körig. E motororgaisatio misstäker att bräsleförbrukige i själva verket är högre. För att udersöka sake provkörs uder e lägre tid 20 slumpmässigt utvalda bilar av modelle i fråga. Ma fier att medelvärdet av bräsleförbrukige uder testperiode är 0.96 l/mil. Ka motororgaisatioe påstå att de har rätt i si misstake om ma är villig att ta e 1% risk att göra fel? Besvara fråga geom att testa e lämplig ollhypotes mot e likaledes lämplig mothypotes uder atagade att bräsleförbrukige är ormalfördelad med käd stadardavvikelse 0.1 liter/mil. a) Skriv er ollhypotese och mothypotese för problemet ova. (1p) b) Utför hypotestestet vilke slutsats ka ma dra på sigifikasivå (3p) c) Vilke styrka har testet i a-uppgifte då 1. 00? (2p)

5 Fråga 9: (6p) För att udersöka om e viss dimesio y hos e tillverkad artikel beror på iställige x av e viss maski mätte ma y för 7 olika iställigar av maskie, varvid ma fick följade resultat x y Detta ka summeras med följade värde: i=1 x i = 28 i=1 y i = 18.9 i=1 x i y i = 92.3 i=1 x 2 i = 140 SS xx = SS xy = och SS yy = a) Rita upp värdara i ett diagram (spridigsdiagram, xy diagram) och udersök om det är rimligt att ata att y beror lijärt av x (med vissa slumpvariatioer). (1p) b) Skatta regressioslijes parametrar samt rita i lije i diagrammet i (a) (2p) c) Om ma vill ha vätevärdet 2.5 för dimesioe vilke iställig av x ska ma då ha? (1p) d) Bestäm ett 95% kofidesitervall för lutige. Vilke slutsats agåede lutige ka ma dra frå detta itervall? (2p) Fråga 10: (5p) E tärig kastas 180 gåger med följade resultat dvs tärige gav e etta 28 gåger, e två 36 gåger osv Atal ögo Atal gåger, frekvese Är det e rättvis tärig? Aväd ett goodess of fit test på sigifikasivå Skriv äve er hypotese du testar.

6 Formelsamlig för Matematisk Statisk Kotiuerliga Fördeligar Normal f (x) = 1 1 σ 2π e 2 (x μ σ E[X] = μ Var(X) = σ 2 )2, < x < Expoetial f(x) = 1 β e x β, x 0 E[X] = β Var(X) = β 2 Weibull f(x) = c a c xc 1 e (x a )c, x > 0 F(x) = 1 e (x a )c, x > 0 Diskreta Fördeligar Biomial (x) = ( x ) px (1 p) x, = 0,1,, E[X] = p Var(X) = p(1 p) Geometrisk p(x) = p(1 p) x 1, x = 0,1,2, E[X] = 1 p Var(X) = 1 p p 2 Hypergeometrisk p(x) = (k x )(N k x ) ( N ), max (0, (N k) x mi (, k) Poissio Saolikhetslära E[X] = k N Var(X) = k N (1 k N ) (N N 1 ) p(x) = e λ λ x, x = 0,1,. E[X] = λ x! Var(X) = λ P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(B A) = P(A B) P(A) Atalet permutatioer om P(A)>0 P r =! ( r)! Atalet kombiatioer C r = ( r ) =! r!( r)! E[aX + b] = ae[x]+b Var(aX + b) = a 2 Var(X) Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) Var(X) = E[(X μ) 2 ] Cov(X, Y) = E[(X μ X )(Y μ Y )] ρ XY = σ XY σ X σ Y = Cov(X,Y) Var(X) Var(Y),

7 Beskrivade statistik Stickprovsmedel x = i=1 x i Stickprovets stadardavvikelse s = i=1 (x i x ) 2 1 Stickprovets korrelatio = S xy S xx S yy = = x i 2 ( i=1 x i ) 2 i=1 1 i=1(x i x )(y i y ) i=1(x i x ) 2 i=1(y i y ) 2 Kofidesitervall X stokastisk variabel med okät vätevärde μ och käd varias σ 2. Ett 100(1-α)% tvåsidigt kofidesitervall för μ σ x z α/2 μ x + z σ α/2 X ormalfördelad stokastisk variabel med okät vätevärde μ och okäd varias σ 2. Ett 100(1-α)% tvåsidigt kofidesitervall för μ s x tα 2, 1 μ x + s tα 2, 1 X ormalfördelad stokastisk variabel med okät vätevärde μ och okäd varias σ 2. Ett 100(1-α)% tvåsidigt kofidesitervall för σ 2 ( 1)s 2 2 σ 2 χ α 2, 1 ( 1)s2 2 χ α 1 2, 1 X biomialfördelad stokastisk variabel med parametrara och p. Ett 100(1-α)% tvåsidigt kofidesitervall för p om ormalapproximatio ka avädas är följade p ) p zα p (1 2 p ) < p < p + zα p (1 2 Prediktiositervall X ormalfördelad stokastisk variabel med okät vätevärde μ och käd varias σ 2. Ett 100(1- α)% tvåsidigt prediktiositervall för x 0 x z α/2 σ x 0 x + z α/2 σ X ormalfördelad stokastisk variabel med okät vätevärde μ och okäd varias σ 2. Ett 100(1-α)% tvåsidigt prediktiositervall för x 0 x tα 2, 1s x 0 x + tα 2, 1s 1 + 1

8 Test för medel H0 Teststatistika H1 Kritiskt område μ = μ 0 z = x μ 0 är σ käd σ μ < μ 0 μ > μ 0 z < z α z > z α μ μ 0 z < z α/2 eller z < z α/2 μ = μ 0 t = x μ 0 s υ = 1 och σ okäd μ < μ 0 μ > μ 0 μ μ 0 t < t α t > t α t < t α/2 eller t < t α/2 z = (x 1 x 2) d 0 μ 1 μ 2 = d 0 σ σ υ = σ 1 2 och σ 2 2 käda μ 1 μ 2 < d 0 μ 1 μ 2 > d 0 μ 1 μ 2 d 0 z < z α z > z α z < z α/2 eller z < z α/2 μ 1 μ 2 = d 0 t = (x 1 x 2) d 0 s p v = σ 1 = σ 2 me okäda s 2 p = ( 1 1)s ( 2 1)s μ 1 μ 2 < d 0 μ 1 μ 2 > d 0 μ 1 μ 2 d 0 t < t α t > t α t < t α/2 eller t < t α/2 t = (x 1 x 2) d 0 s s μ 1 μ 2 = d 0 σ 1 2 σ 2 2 och okäda ( s s ) v = ( s s 1 ) ( ) μ 1 μ 2 < d 0 μ 1 μ 2 > d 0 μ 1 μ 2 d 0 t < t α t > t α t < tα eller t < t α/2 2 μ D = d 0 Parade observatioer t = d d 0 ; υ = 1 s d μ D < d 0 μ D > d 0 μ D d 0 t < t α t > t α t < t α/2 eller t < t α/2

9 Goodess-of-fit test χ 2 k = (o i e i ) 2 i=1 approximativt χ 2 fördelad med ν = k 1 frihetsgrader Regressio e i Mista kvadrat skattigara av regressioskoefficietera i = β 0 + β 1 x b 1 = i=1 y ix i ( i=1 y i )( i=1 x i ) 2 i=1 x i ( i=1 x i ) 2 = 1=1 (x i x )(y i y ) 1=1 (x i x ) 2 b o = y b 1 x = SS xy SS xx Variaser för B 1 och B 0 σ 2 B1 = σ 2 i=1(x i x ) 2 respektive σ B0 2 = i=1 x i 2 i=1(x i x ) 2 σ 2 s 2 = SSE 2 Kofidesitervall för μ Y x0 y 0 tα s (x 0 x ) 2 < μ S Y x0 < y 0 + tα s 1 2 xx + (x 0 x ) 2 S xx Prediktiositervall för för y 0 y 0 tα s (x 0 x ) 2 < y S 0 < y 0 + tα s xx + (x 0 x ) 2 S xx Determiatioskoefficiet R 2 = 1 SSE SST

10 Areas uder the Normal Curve

11 (cotiued) Areas uder the Normal Curve

12 Critical Values of the t-distributio

13 (cotiued) Critical Values of the t-distributio

14 Critical Values of the Chi-Squared Distributio

15 (cotiued) Critical Values of the Chi-Squared Distributio

16 Critical Values of the F-distributio, f 0.05 (v 1, v 2 )

17 (cotiued) Critical Values of the F-distributio, f 0.05 (v 1, v 2 )

18 (cotiued) Critical Values of the F-distributio, f 0.01 (v 1, v 2 )

19 (cotiued) Critical Values of the F-distributio, f 0.01 (v 1, v 2 )