TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

Transkript

1 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel: Hjälpmedel: Miiräkare av vilke typ som helst och formelsamlig "Formler och tabeller i statistik ". Lärare: Armi Halilovic Dea tetameslapp får ej behållas efter tetamestillfället uta lämas i tillsammas med läsigar. Poägfördelig och betygsgräser: Tetame består av 8 uppgifter á 4p och ger maximalt 3 poäg. Betygsgräser: För betyg A, B, C, D, E krävs 3, 4,, 6 respektive poäg. Kompletterig: poäg på tetame ger rätt till kompletterig (betyg Fx). Vem som har rätt till kompletterig framgår av betyget Fx på MINA SIDOR. Kompletterig sker c:a två veckor efter att tetame är rättad. Om kompletterig är godkäd rapporteras betyg E, aars rapporteras F. Uppgift. (4 poäg) Vi placerar idetiska bollar i 5 stora lådor A, B, C, D och E. (Ett exempel på placerig fis eda.) a) På hur måga olika sätt ka ma göra det? b) I hur måga placerigar fis det exakt e boll i låda B? Uppgift. (4 poäg) I e grupp fis det kviliga och 5 maliga studeter. Ma skall välja ett fotbollslag på persoer. Positioera i laget bestäms vid ett seare tillfälle så vi bryr oss ite om dessa. Ma väljer ett lag på måfå. Bestäm saolikhete att i detta lag fis mist 4 och högst 6 kvior (dvs 4 atalet kvior 6). Du ka svara med hjälp av biomiska koefficieter. Uppgift 3. (4 poäg) Vid e statistisk mottagigskotroll skall ma avvisa eller acceptera ikommade partier om 6 eheter vardera. Ma aväder följade tvåstegsförfärade. Först väljs eheter på måfå ur partiet. Om ågo av dessa är defekt så avvisas partiet. Om ige är defekt väljer ma på måfå ut ytterligare 6 eheter blad de återståede 5. Om mist av dessa är defekta så avvisas partiet, i aat fall accepteras det. Vad är saolikhete att acceptera ett parti som iehåller 5 defekta eheter? Du ka svara med hjälp av biomiska koefficieter.

2 Uppgift 4. (4 poäg) Ett ytt test för att avslöja e sjukdom har tagits fram. Det ger positivt utslag med saolikhete.99 om persoe har sjukdome, och med saolikhete.4 om persoe ite har de. Det är kät frå tidigare att % av patieter lider av sjukdome. Beräka de itressata saolikhete att e patiet har sjukdome ifråga om utslaget är positivt. Uppgift 5. (4 poäg) Ett företag behöver motståd Ma köper för ädamålet i motståd av e viss typ Dessa motståd har e resistas som är N(,). Ma aväder seda ebart de motståd som har resistase mella 9 och ohm. Vad är saolikhete att ma får mist avädbara motståd av de som ma har köpt? Uppgift 6. (4 poäg) E stokastisk variabel ξ har följade frekvesfuktio ( täthetsfuktio) ax x f ( x) =. < x för övrigt Bestäm parameter a och fördeligsfuktioe F(x) för variabel ξ. Uppgift 7. (4 poäg) Varje stokastisk variabel ξ k har följade frekvesfuktio ( täthetsfuktio) cos x f ( x) = π x för övrigt Låt η ξ + ξ + + ξ =. Bestäm saolikhete P ( η 58). Uppgift 8. (4 poäg) Ma vill jämföra två maskier A och B med avseede på e viss kvalitetsvariabel hos de tillverkade ehetera. För båda maskiera ka dea variabel atas vara ormalfördelade med okäd stadardavvikelse. Ma har 4 dagar i rad tillverkat ett atal eheter med maskie A varvid ma fått följade observatioer. A 6 4 Ma har 5 dagar i rad tillverkat eheter med maskie B varvid ma fått följade observatioer. B 4 9 Age ett 98 % kofidesitervall för ma mb där m A och m B är medelvärdea för kvalitetsvariabel hos de båda maskiera. Lycka till!

3 FACIT Uppgift. (4 poäg) Vi placerar idetiska bollar i 5 stora lådor A, B, C och D. (Ett exempel på placerig fis eda.) a) På hur måga olika sätt ka ma göra det? b) I hur måga placerigar fis det exakt e boll i låda B? Lösig a) Vi betraktar ett ekvivalet problem: Permutatioer av 6 bokstäver I och bokstäver O (se bilde). T ex: Permutatioe IOOOIOOOOIIOOIOOOI svarar mot ovaståede exempel. Varje permutatio måste börja och sluta med I (aars hamar ite bolle i ågo låda) Därför permuterar vi fritt 4 bokstäver I och bokstäver O. 6! a) Det fis N = = = 8 sådaa permutatioer. 4!! 4 3 Svar a) 8 b) De här gåge placerar vi idetiska bollar i 4 lådor. 4! 4 3 N = = = 364 3!! 3 Svar b) 364 Uppgift. (4 poäg) I e grupp fis det kviliga och 5 maliga studeter. Ma skall välja ett fotbollslag på persoer. Positioera i laget bestäms vid ett seare tillfälle så vi bryr oss ite om dessa. Ma väljer ett lag på måfå. Bestäm saolikhete att i detta lag fis mist 4 och högst 6 kvior (dvs 4 atalet kvior 6). Du ka svara med hjälp av biomiska koefficieter. Lösig: Uppgift. 35 Vi ka välja N= lag Atalet gysamma fall är G= Saolikhete att i detta lag fis mist 4 och högst 6 är G N =

4 Uppgift 3. (4 poäg) Vid e statistisk mottagigskotroll skall ma avvisa eller acceptera ikommade partier om 6 eheter vardera. Ma aväder följade tvåstegsförfärade. Först väljs eheter på måfå ur partiet. Om ågo av dessa är defekt så avvisas partiet. Om ige är defekt väljer ma på måfå ut ytterligare 6 eheter blad de återståede 5. Om mist av dessa är defekta så avvisas partiet, i aat fall accepteras det. Vad är saolikhete att acceptera ett parti som iehåller 5 defekta eheter? Du ka svara med hjälp av biomiska koefficieter. Lösig: P(acceptera)=P(Test OK)*(Test OK Test OK) = Uppgift 4. (4 poäg) Ett ytt test för att avslöja e sjukdom har tagits fram. Det ger positivt utslag med saolikhete.99 om persoe har sjukdome, och med saolikhete.4 om persoe ite har de. Det är kät frå tidigare att % av patieter lider av sjukdome. Beräka de itressata saolikhete att e patiet har sjukdome ifråga om utslaget är positivt. Lösig: P( sjuk pos)..99 P( sjuk pos) = = = P( total _ positiv) Uppgift 5. (4 poäg) Ett företag behöver motståd Ma köper för ädamålet i motståd av e viss typ Dessa motståd har e resistas som är N(,). Ma aväder seda ebart de motståd som har resistase mella 9 och ohm. Vad är saolikhete att ma får mist avädbara motståd av de som ma har köpt? Uppgift 5. Låt ξ betecka resistase hos e modståd. Då gäller ξ N(,). 9 P ( 9 < ξ < ) = F ( ) F(9) = Φ( ) Φ( ) = Φ() Φ( ) =. 686 Vi beteckar p = 687 och q = p =.373 Saolikhete att ma får mist avädbara motståd av de är lika med p q + p q + p q =.35

5 Uppgift 6. (4 poäg) E stokastisk variabel ξ har följade frekvesfuktio ( täthetsfuktio) ax x f ( x) =. < x för övrigt Bestäm parameter a och fördeligsfuktioe F(x) för variabel ξ. Lösig: a Area= axdx +.dx = +. = a Area= +. = a = x x Därför f ( x) =. < x för övrigt Fördeligsfuktioe defiieras som x x x.6 tdt =.8x x F ( x) = f ( t) dt = x + = + = +.6 tdt.dt.8.x..x.6 x > < x

6 Svar: x <.8x x F ( x) =.x +.6 < x x > Uppgift 7. (4 poäg) Varje stokastisk variabel ξ k har följade frekvesfuktio ( täthetsfuktio) cos x f ( x) = π x för övrigt Låt η ξ + ξ + + ξ =. Bestäm saolikhete P ( η 58). Lösig: π / a) Först beräkar vi medelvärdet m ξ = x cos x dx. Eftersom x xdx = x si x + cos x får vi m ξ cos +C ( partiell itegratio) π / = x cos x dx = π / [ x si x + cos x] = π

7 För variase aväder vi formel V π / ξ = x cos x dx mξ. Eftersom x cos xdx = x si x + x cos x si x + C har vi Vξ = π och stadard avvikelse s ξ = variase Eligt cetrala gräsvärdessatse gäller: η är approximativt N ( mξ, sξ ) = N( 57.8, 3.76) P ( η 58) = F(58) = φ( ) = φ(.4) Svar: P ( η 58) 6% Uppgift 8. (4 poäg) Ma vill jämföra två maskier A och B med avseede på e viss kvalitetsvariabel hos de tillverkade ehetera. För båda maskiera ka dea variabel atas vara ormalfördelade med okäd stadardavvikelse. Ma har 4 dagar i rad tillverkat ett atal eheter med maskie A varvid ma fått följade observatioer. A 6 4 Ma har 5 dagar i rad tillverkat eheter med maskie B varvid ma fått följade observatioer. B 4 9 Age ett 98 % kofidesitervall för ma mb där m A och m B är medelvärdea för kvalitetsvariabel hos de båda maskiera. Lösig: m = 3.5 s = m =. s = * ( ) s + ( ) s σ = = α / = % r = atal frihets grader= + =7 Kofidesiterval: m m tα / ( + * ) σ +, m m + t α / ( + * ) σ +

8 Eftersom =4, =5 * σ = m m =.5 α / = % α / =.99 Närmast i tabelle är.995 och t α / (7) 3.5 ( Amärkig: Maple värdet som svarar mot α / =. 99 är t α / (7) =.99795) * får vi t α / (7) σ + = Härav får vi för ξ η följade kofidesitervall: [.8, 6.9] Svar Kofidesitervall: [.8, 6.9] Amärkig: ( Beräkig med MAPLE ger kofidesitervallet [., 6.])