Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL

Transkript

1 Fourierserie fortsättig Ortogoalitetsrelatioera och Parsevals formel Med hjälp av ortogoalitetsrelatioera Y  m W t,  W t ] =, m ¹, m = () där Xf, g\ = Ÿ T f HtL g HtL, där W ã p, ka ma bevisa följade itressata formel BEVIS PARSEVALS FORMEL T f HtL c I vårt bevis täker vi oss att Fourierserie kovergerar mot f HtL i varje pukt och att beloppet i kvadrat ka itegreras termvis. I själva verket ka formel bevisas uder svagare villkor. T f HtL = Xf, f \ = [ m c  m W t, c  W t _ = Yc m  m W t, c  W t ] m, = m, T c m  m W t c - W t

2 Fourierserie.b = c m c m, T Â m W t -Â W t = c m c Y Â m W t, Â W t ] m, HL = c c ÿ = c. Parsevals formel och eergispektrum När f represeterar e sigal, är f reellvärd, och då är c - = c, varför c + c - = c Så för reellvärda f ka Parsevals formel skrivas f T HtL = c + c = K a H*L O + = = Ia + b M () (*) c = a - Â b ï c =Ia + b M/ E fysikalisk tolkig av () är att västerledet beskriver eergi i sigale f och att högerledet beskriver hur samma eergi fördelar sig på sigales olika frekveser. Därför kallas följde för f :s eergispektrum. I c, c, c, M Eergispektrum

3 3 Fourierserie.b Parsevals formel och Pythagoras sats För e vektor i plaet u = c e + c e där e, e är e ortoomerad bas u c e c e gäller som bekat Pythagoras sats u c + c För f HtL = +c - - W t + c - - W t + c + c  W t + c  W t + ser Parsevals formel ut som e oädligtdimesioell Pythagoras sats f = + c - + c - + c + c + c + ANM. Beteckige f avser Ÿ T f HtL. EXEMPEL Beräka med hjälp av Parsevals 49 formel för fuktioe edaför - - Lösig EXEMPEL 8 - Â, udda c = p, jäm

4 Fourierserie.b 4 Parsevals formel säger att = - Det följer (Kotrollera det!) att Derivera e Fourierserie = =- udda p = p 8. E Fourierseries termer ka deriveras hur måga gåger som helst, eftersom t # Â W t är oädligt måga gåger deriverbar. Det torde ite komma som ågo större överaskig för läsare att om e fuktios Fourierserie deriveras termvis så blir resultatet lika med Fourierserie för de deriverade fuktioe - givet att de periodiska utvidgige av fuktioe är deriverbar. f HtL ~ Â W c Hf L Â W t (3) Kostatterme i (3) är lika med oll. Varför? E ekvivalet formulerig av (3) är c Hf L Â W c Hf L (3) följer om ma partialitegrerar Ÿ T f HtL ÿ -Â W t och utyttjar att f HtL ÿ -Â W t är -periodisk. Ë ANM. Om f är flera gåger deriverbar får ma f HtL ~ HÂ WL c Hf L Â W t osv. EXEMPEL Fi e p-periodisk lösig y till differetialekvatioe.

5 5 Fourierserie.b Lösig y HtL + b y HtL + a yhtl dhtl. Spektraltrasformerig av differetialekvatioe resulterar i Härav, Dvs. - c HyL +  b c HyL + a c HyL c HyL yhtl ~ - +  b + a - +  b + a  t - - H L t -.4  -. -p p EXEMPEL Beräka Fourierseriera till f, f, f och f H3L, då f HtL = Jt - 4 N, t œ B-, F. Lösig f är jäm. Så f :s Fourierserie blir e cosiusserie. f HtL ~ c Hf L + a Hf L cosh p tl Deriverig termvis ger

6 Fourierserie.b 6 f HtL ~ -a Hf L p sih p tl f HtL ~ -a Hf L H p L cosh p tl f H3L HtL ~ a Hf L H p L 3 sih p tl Det återstår u bara att beräka f :s Fourierkoefficieter. Kom ihåg att a = ReHc L, där c H f L = t c H f L = t = t t3 6 + t -Â p t 6 - partiella itegratioerd = - 3 H-L p 4 4 Således är a Hf L = - 3 H-L p 4 4. Det följer att = 3 f HtL ~ H-L p 4 4 f 6 H-L HtL ~ p 3 3 f H-L HtL ~ p cosh p tl sih p tl cosh p tl f H3L -4 H-L HtL ~ sih p tl p Notera att termera i de fyra seriera har olika storleksordigar: 4, 3, respektive. Detta gör att seriera kovergerar olika sabbt. Variera (i figure

7 7 Fourierserie.b Detta gör att seriera kovergerar olika sabbt. Variera (i figure edaför) atalet termer, och otera hur få termer som behövs i de första falle för att få hyggliga approximatioer av fuktioera (som för jämförelse skull fis iritade med blått tillsammas med seriera). Atal termer 6 Fourierkoefficieteras storleksordig Exemplet ovaför tycks idikera att ju mjukare de periodiska utvidgige av e fuktio och dess derivator böjer sig, ju sabbare kovergerar fuktios Fourierserie. Följade tumregel formaliserar dea observatio.

8 Fourierserie.b 8 f HkL Hme ite lägre derivatorl har språgdiskotiuitet c är av storleksordig k+ (4) Förmodlige vill du förstå (4). Så läs vidare. Betrakta först fallet k =, dvs. fallet att f själv gör ett språg i origo. T.ex. som -T T T Då gäller f H -L ¹ f H +L, och därmed f H -L ¹ f H +L p.g.a. periodicitet. Det följer att c får e ollskild term (se första terme i högerledet edaför) av storleksordig. c = f HtL -Â W t = f HtL -Â t W -Â W f HtL -Â W t -Â W = Â W f H -L - f H +L - f HtL -Â W t -Â W Betrakta seda fallet k =, dvs. att f ite har ett språg i origo, me att f har det. Således (jfr. med resoemaget ovaför) är f H - L = f I + M, me f H - L ¹ f I + M.

9 9 Fourierserie.b Det följer att c ite iehåller ågo term av storleksordig, me däremot e av storleksordig : c = f HtL -Â W t ovad = Â p f H -L - f H +L - f HtL -Â W t -Â W = - f HtL -Â W t -Â W = - f HtL -Â t W H-Â WL f HtL -Â W t H-Â WL = f H -L - f H +L W + f HtL -Â W t H-Â WL Med hjälp av flera partiella itegratioer bevisas (4) för högre värde på k. Itegrera e Fourierserie I föregåede avsitt har vi sett att är Fourierserie till e fuktio deriveras termvis (ågot som alltid går att göra), får ma Fourierserie till de deriverade fuktioe om de seare går att derivera. Nu ska vi se att ett motsvarade resultat gäller för baklägesderiverig (itegratio uta bestämda gräser):

10 Fourierserie.b c Hf L f HtL ~ c Hf L t + kostat +  W  W t ¹ (5) Ifall c Hf L =, så har vi c H f L f HtL ~ kostat +  W  W t ¹ (6) Försök själv härleda dessa resultat. EXEMPEL 3 Beräka (äu e gåg) Fourierseriera till f, f, f och f H3L, då f HtL = Jt - 4 N, t œ B-, F. Lösig Tre deriverigar av f HtL = Jt - 4 N ger f H3L HtL = 4 t, vilke är udda. Så f H3L :s Fourierserie är e siusserie. f H3L HtL ~ b If H3L M sih p tl Av (6) följer att f HtL ~ b If H3L M kostat + - cosh p tl p Kostate ovaför visar sig bli oll fastä f är jäm! Därför ka (6) tillämpas e gåg till: f HtL ~ kostat + - b If H3L M sih p tl H p L Me eftersom f är udda, måste dess Fourierserie vara e siusserie (kostatterme är oll således). Alltså är (6) tillämplig ytterligare e gåg:

11 Fourierserie.b f HtL ~ 3 + där värdet på kostatterme följer av att - f HtL 3. b If H3L M cosh p tl H p L3 Nu återstår bara att beräka b If H3L M = - ImIc If H3L MM. c If H3L M = 4 t -Â p partiell itegratiod - Således är b If H3L M = - Det följer att 4 H-L p. Â H-L p. f H3L -4 H-L HtL ~ p sih p tl f H-L HtL ~ p f 6 H-L HtL ~ p 3 3 f HtL ~ H-L p 4 4 cosh p tl sih p tl cosh p tl