TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

Transkript

1 TNA00- Matematisk grudkurs Tetame Lösigsskiss. a) Svar: x ], [ [, [. 4x x + 4x 4x (x + ) 0 0 x x + x + x + 0 //Teckeschema// x ], [ [, [ b) I : x I : x I : x x x + = 4 = 4 Lösig sakas x + x + = 4 x = x = I x + x = 4 x = x = I Svar: x =, x =.a) Lijes ekvatio isatt i plaets ger ( + s) ( + s) + (4 s) = 0 s = vilket ger skärigspukte ( +, +, 4 ) = (, 5, ). b) Origo, O, ligger i plaet. Vi ritar e figur. u u = ( ) P O Q Det kortaste avstådet mella pukte P och plaet ges av u. Vi bildar vektor u = OP = ( ). 6 Projektiosformel ger ( ) ( ) u = 6 ( ) = ( ) som ger avstådet u =. Svar: Det kortaste avstådet mella pukte och plaet är l.e.

2 .a) Vi får si x 5 si x + = 0 [t = si x] t 5t + = 0... t =, t = vilket ger si x = si x = si π 6 x = π 6 + π eller x = 5π 6 samt si x = som sakar lösig ty V si = [,]. + π Svar: x = π 6 + π eller x = 5π 6 + π, Z. b) Trigoometriska etta ger cos v + si v = cos v = ± si v och då π < v < π fås vilket ger samt ta v = cos v = ( ) = si v = si v cos v = ( ) = 4 si v cos v = si v cos v si v = 4 ( ) ( ) = 4 7 = 4 7. Svar: si v = 4 4, ta v =. 7 4.a) z = + i ger arg z = π (+ π) samt z = ( ) + ( ) =. Svar: arg z = π (+ π), z =. b) Vi får z = + i = e iπ vilket ger z = (e iπ ) = e iπ = e i(8π +4π ) = e i4π Svar: z = 0 0 i. = (cos 4π + i si 4π ) = ( i ) = 0 0 i. c) Vi får med z = x + iy z + 4 = z + x + iy + 4 = x + iy + (x + 4) + iy = (x + ) + iy (x + 4) + y = (x + ) + y (x + 4) + y = 4((x + ) + y ) x + 8x y = 4x + 8x y x + y = x + y = 4 = vilket ger alla pukter på e cirkel med medelpukt i origo och radie. Svar: Alla pukter på e cirkel med medelpukt i origo och radie.

3 5.a) Vi får e x + e x 0e x + 8 = 0 [t = e x, t > 0] t + t 0t + 8 = 0 och prövig ger att t = är e rot till ekvatioe. Faktorsatse ger då att t är e faktor till polyomet i västerledet. Polyomdivisio och faktoriserig ger då Med t = e x, t > 0 fås då t + t 0t + 8 = 0 (t )(t + t 8) = 0... (t )(t )(t + 4) = 0. samt e x = 4 som sakar lösig ty e x > 0. Svar: x = 0, x = l. t =, t =, t = 4. e x = x = l = 0, e x = x = l b) Eftersom fuktioe f(x) = e x, där D f = R, är strägt växade och därmed har ivers fås dvs f (x) = l(x+). y = e x e x = y + x = l(y + ) x = l(y + ) Då D f = R ger detta att V f (x) = R. Och vi ser också ur f (x) = l(x+) att D f (x) = ], [ ty x + > 0 x >. Svar: f (x) = l(x+), D f (x) = ], [, V f (x) = R. 6.a) Defiitiosmägde för l ger () x 4 > 0 (x )(x + ) > 0 [Teckeschema] x ], [ ], [ () x > 0 vilket ger D olikhet = (], [ ], [) ]0, [ = ], [. Vi får då l(x 4) l + l x, x ], [ l(x 4) l x, x ], [ [lfuktioe strägt växade] x 4 x, x ], [ x x 4 0, x ], [ (x + )(x 4) 0, x ], [ [Teckeschema] x [,4] ], [ = ], 4]. Svar: Olikhete har lösigsmägde x ], 4]. b) Vi tar e pukt i respektive pla och bildar e vektor frå det ea plaet till det adra. Vi får 0 8 u = ( 0 ) ( 0) = ( 0) Vi projicerar dea vektor på ormalvektor = ( ), och får

4 8 ( 0) ( ) u = 0 ( ) = 8 ( ). Det kortaste avstådet ges då av u = 8. Svar: Det kortaste avstådet mella plae är 8 l.e. 7. Vi udersöker påståedet med iduktio. Steg. För = fås ger VL() = HL() om t VL() = k + k k= = t och HL() = t + t t = t + t t ( + t) t = 0 t ( + t) t = 0 t + t t = 0 t(t + t ) = 0... t =, t = 0, t =. Nu udersöker vilka av dessa som stämmer. t = ger 4 k + k k= = Där vi direkt ser att detta påståede ej stämmer för alla Z + ty högerledet är ej defiierat för = och för > är dessutom högerledet egativt, vilket är omöjligt då västra ledet edast iehåller e summa av positiva termer. t = 0 ger som är sat. t = ger 0 = 0 k= k + k k= = + Steg. För = fås (reda visat) dvs VL() = HL(). VL() = k + k k= = + = och HL() = + =.

5 Steg. Atag att påståedet är sat för ågot p Z +, dvs Detta medför och vi har p+ p k= = p. k+k p+ VL(p + ) = k + k = k + k + (p + ) + (p + ) = el. atagadet = dvs VL(p + ) = HL(p + ). k= p k= p p + + (p + ) + (p + ) = p p + + p + + p + p + = p p + + p + p + = p p + + (p + )(p + ) p(p + ) + (p + )(p + ) = p + p + (p + )(p + ) = (p + )(p + ) (p + )(p + ) = p + p + HL(p + ) = p + (p + ) + = p + p + Därmed har vi visat att om sambadet gäller för = p så gäller det för = p +. Steg. Sambadet gäller eligt Steg för =. Eligt Steg gäller det då äve för = + =. Då gäller det äve för = + = och = + = 4 o.s.v. Alltså gäller sambadet för alla Z +, VSV. Svar: Se ova.