(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

Transkript

1 Lösigar Grudläggade Diskret matematik Tid: Telefo: , Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt ka vi utrusta ett akvarium med 0 st fiskar a) om vi ka välja helt fritt? b) om vi vill ha mist e fisk av varje art? c) om vi vill ha precis 3 olika arter? 1p) 1p) p) Två fiskar av samma art betraktas som idetiska) Lösig: a) = som också är atalet ickeegativa heltalslösigar 0 0 till ekvatioe x 1 + +x 15 = 0. b) Vi väljer e fisk av) varje art och ) då återstår att välja 5 fiskar blad 15 arter vilket ka göras på = olika sätt. 5 5 ) 15 c) Om vi har 3 arter så skall vi välja först vilka 3 arter blad de 15 och det ger 3 olika val. För varje sådat val måste vi seda bestämma hur måga fiskar av varje art som skall väljas, dvs. vi söker då atalet heltalslösigar till ekvatioe x 1 +x +x 3 = 0, x 1,x,x 3 1 som är samma som atalet lösigar till ekvatioe x 1 +x +x 3 = 17, x 1,x,x Detta atal är =. Multiplikatiospriicipe ger slutlige svaret = Låt vårt uiversum U vara alla studeter i årskurs 1 vid JTH och betrakta de öppa utsa- p) gora px) : x bor ite hos sia föräldrar qx) : x äger e mikrovågsug Formulera med ormalt talspråk egatioe till utsaga Lösig: x[px) qx)] x[px) qx)] x [px) qx)] x [ px) qx)] x[px) qx)] dvs. e formulerig med talspråk skulle vara: Det fis mist e studet i årskurs 1 vid JTH som ite bor hos si föräldrar och som ite äger e mikrovågsug. 3. Är det möjligt i e grupp av 37 persoer att varje perso käer precis 5 adra persoer? p) Motivera ditt svar. Lösig: Represetera gruppe med e graf G = V, E) där höre är persoera och det går e kat mella de persoer som käer varadra. Om varje perso käer 5 adra persoer så är grafe 5-reguljär och eligt hadskakssatse är då E = v V degv) = V 5 = Eftersom högerledet är ett udda tal så är det omöjligt att varje perso käer precis 5 adra persoer. 4. Betrakta argumetet 3p)

2 Grudläggade diskret matematik sida av 5 Om spise fugerar så ka vi laga mat själva. Om spise är söder får vi äta ute. Om vi äter ute så måste vi beställa bord. Alltså, om vi ite lagar mat själva så måste vi beställa bord. Formalisera argumetet eligt regler för symbolisk logik, och visa med hjälp av iferesregler att argumetet är giltigt. Lösig:Låt s: spise fugerar m: vi lagar mat själva u : vi äter ute b : vi beställer bord Argumetet ka då formuleras [ s m) s u) u b) ] m b) Argumet för giltighete: 1) s m premiss ) s u premiss 3) u b premiss 4) m s 1)+E 11 5) m u )+4)+L 3 6) m b 3)+5)+L 3 5. Rita alla ickeisomorfa grafer som är oriktade, öglefria, har 5 hör, kompoeter samt p) sakar cykler. Lösig: Om de ea kompoete har 1 hör och de adra 4 hör så fis det två variater; Om de ea kompoete har hör och de adra 3 hör så fis det bara e variat; 6. För ett RSA-krypterigssystem väljs primtale p = 17, q = 3. Kostruera e krypterigs- p) yckel och e dekrypterigsyckel baserat på dessa primtal. Lösig: Vi beräkar = pq = 391 samt r = p 1)q 1) = 16 = 35. Vi väljer e ehet e Z 35 t.ex. e = 7. Krypterigsyckel ges då av Ex) = x e mod 391. Dekrypterigsyckel är Dy) = y d mod 391 där d = e 1 Z 35. För att beräka d så aväder vi Euklides algoritm;

3 Grudläggade diskret matematik sida 3 av 5 35 = = 3 +1 så att 1 = 7 3 = ) = mod 35. Alltså är d = e 1 = 151 och Dy) = y 151 mod Kostader för att koppla samma 6 fastigheter A,B,C,D,E,F) med e fiberkabel ages i p) tabelle eda. Aväd Prims algoritm för att bestämma ett miimalt uppspäade träd för detta ätverk. Beskriv oga di kostruktio av trädet. B C D E F A B C - 56 D E - 4 Lösig: E graf som represeterar tabelle ges eda; A 5 B C D E 4 F Vi aväder Prims algoritm och startar i höret A. Vi lägger seda till kater i ordige A-B 5 A-D D-C B-E 37 F-C A 5 B C D E 4 F

4 Grudläggade diskret matematik sida 4 av 5 8. Hur måga permutatioer av 1,...,6 fis det där iget av möstre 1, 34 eller 56 fis p) med? Lösig: Låt A, B och C vara mägdera av alla permutatioer där 1A), 34B) resp 56 C) fis med. Totalt är det 6! permutatioer så svaret vi söker är då 6! A B C = 6! A + B + C A B A C B C + A B C ) = 6! 5!+5!+5! 4! 4! 4!+3!) = 6! 3 5!+3 4! 3! = Visa att 7 1 är delbart med 6 för alla 1. 3p) Lösig: Låt S) vara påståedet att 7 1 är delbart med 6. Startsteg: S1) sa eftersom då är = 6 som är delbart med 6. Iduktiossteg: Atag u att utsaga är sa för ågot heltal k 1, dvs. atag att 7 k 1 är delbart med 6. Då är 7 k 1 = 6m för ågot heltal m och 7 k = 6m+1. Me då följer att 7 k+1 1 = 7 7 k 1 = 76m+1) 1 = 4m+7 1 = 4m+6 = 67m+1) dvs. då följer att 7 k+1 1 också är delbart med 6. Vi har visat att Sk) Sk + 1) och eligt iduktiospricipe följer då att S) är sa för alla 1,. ) Om G = V,E) är e oriktad öglefri graf med V = 3 och E > visa att G 3p) måste vara sammahägade. Lösig: Låt v 0 V vara det hör eller ett av dem) som har störst grad i grafe G och låt k vara atalet hör i G som ligger i samma kompoet som v 0. Hadskakssatse ger då att E = v V degv) degv 0 ). Me E > 1 så att degv 0 ) E > 1) ) vilket ger ) = 1) ) degv 0 ) > 1) ) Alltså är k 1+degv 0 ) > 1+ 1) ) = +. De kompoet som v 0 tillhör måste därmed iehålla) åtmistoe 1 hör. Me om de 1 iehåller precis 1 hör så måste E vilket är omöjligt. Alltså iehåller dea kompoet grafes samtliga hör vilket betyder att G är sammahägade. Alterativ lösig 1: Atag att G ite är sammahägade så att κg). Vi ka uta iskräkig ataga att κg) = med k resp. k hör i de bägge kompoetera med 1 k om κg) > så lägger ) vi bara till ett atal bågar så att vi får två m kompoeter). Eftersom K m har bågar så får vi att k k kk 1) k) k 1) E + = + = k k + 1 ) = k ) ) 1 + ) [ kvadrate k blir som störst då k = 1] ) 1 ) ) 1 + ) = ) = 1) ) ) 1 =.

5 Grudläggade diskret matematik sida 5 av 5 ) Alterativ lösig : Iduktio över atalet hör. Om = 3 så är E > = 1 dvs. E och då är det klart att G måste vara sammahägade ty G fick ite ha öglor. Atag u att påståedet är sat för alla grafer som uppfyller villkore och som har ) högst hör. Låt G = V,E) vara e graf med V = + 1 och atag att E >. Om G = K +1 så är påståedet trivialt sat. Om G K +1 så fis mist ett hör v 0 V med degv 0 ) 1. Tag bort v 0 frå G. Då fås e graf G = V,E ) med V = och ) 1 E = E degv 0 ) > degv 0 ) 1) =. Av iduktiosatagadet följer att G är sammahägade och då blir äve G sammahägade om vi ka visa att degv 0 ) > 0. Me om degv 0 ) = 0 så följer av hadskakssatse att E 1) så att E 1 ) 1) = vilket är e motsägelse.