Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...

Transkript

1 Iehåll Grafräkare och diskret matematik...1 Vad hadlar diskret matematik om?...1 Permutatioer och kombiatioer...3 Något om heltalsräkig...4 Modulusoperator...4 Faktoriserig i primfaktorer...5 Talföljder...7 Talföljder som ges av rekursiosformler...7 Fiboaccital och adra likade tal...8 Summor...10 Algoritmer och programmerig...11 Uppgift Uppgift 2404, logiska val...11 Upprepigar...12

2 Grafräkare och diskret matematik I Natur och Kulturs lärobok Matematik 3000 diskret matematik fis då och då e grafräkarsymbol i margiale. De markerar att du kaske ka behöva hjälp med hur räkare ska avädas. Här fis hjälp och tips till dessa uppgifter. Här fis förslag till hur du ka aväda di räkare också till e del adra uppgifter, ite mist i avsitte om programmerig. Hjälpe är framför allt apassad till modellera CFX-9850GB+ och fx- 9750G. De övriga grafräkara i Casios utbud är såpass lika i uppbyggad och logik, att du kappast ska ha ågra problem att följa istruktioera som ges på hjälpsidora, äve om du t ex har e CASIO FX-2.0. När du köpte di Casio grafräkare, ska du ha fått e cd-skiva, som heter Upptäck Matematike. De är gjord som e kompletterig till di matematikbok, för att du ska få maximal glädje av di grafräkare, och för att du ska lära dig matematik så effektivt som möjligt med grafräkares hjälp. Upptäck Matematike iehåller över femtio aimerade filmer om matematik och grafräkare, som täcker i det mesta iom samtliga gymasiets matematikkurser. Filmera ka spelas upp på sveska eller på egelska, så skiva är också avädbar om du vill lära dig matematik på egelska. Till cd-skiva fis e Aktivitetsbok med e hel del laborativa matematikuppgifter. Boke, liksom cd-skiva, ka di lärare beställa kostadsfritt frå: Sese Office AB, De fis också som pdf-fil, som ka hämtas frå Seses hemsida eller frå Broma Plaetariums hemsida, Därifrå ka du också titta på filmera i Upptäck Matematike. På Sese hemsida fis ytterligare material speciellt för lärare. Där fis bl a ett femtiosidigt kompedium som beskriver grafräkare i udervisige och bilder som uderlag till t ex OH-bilder av de olika räkara. Där fis också ett kompedium som beskriver de olika versioera av de tekiska räkare CASIO fx-82, och hur de ka yttjas i matematikudervisige. När vi beskriver hur du ska trycka på di räkare, skriver vi alltid med fet, kursiv stil, t ex: 2 ( ) EXE. Ord iom hakpareteser, t ex [Solve], refererar till meyer, där du väljer med ågo av kappara F1... F6. Om du trycker på OPTN, så får du e mey, där det sista meyvalet är e högerpil. De ager att det fis mera. Kappe F6 bläddrar då mella de sidomeyer som fis. Vad hadlar diskret matematik om? På s 7 i läroboke fis e ruta lite allmät om diskret matematik. E uppgift som fis där lyder: Visa att alla tal på forme är delbara med 16. Att kua lösa e såda uppgift hadlar ofta om att kua fia ågot slags möster. Om du skapar e tabell över tal på forme 5 4 1, så är ett möster svårt att fia. Me om du tittar på tal av forme 5, så utkristalliseras sart ett: 1

3 Öppa RUN-föstret och skriv: 5 EXE 5 EXE EXE EXE... Alla tal med mist fyra siffror slutar på 3125, 5625, 8125 eller 0625, och dea svit av slutsiffror upprepas gåg på gåg. Talet är delbart med 16. (Kotrollera detta!) Om därför de sista fyra siffrora i ett tal är delbara med 16, så är hela talet delbart med 16. Vi kotrollerar delbarhete i de fyra tale ova miskade med ett: Talet 3124 är ite delbart med 16, me 3120 är det. Lägg u märke till att ursprugliga formel hade vi = = 5. I de 5624 behöver på motsvarade sätt miskas med 8 för att bli delbart med 16, och 8124 behöver miskas med 12. Tal vars fyra sista siffror är 0624 är delbara med 16. I ästa sekves får vi osv. Bevisgåge går att formalisera mera med hjälp av modulusoperator, som beskrivs lägre fram i boke. Exemplet här är ett exempel på de ytta ma ka ha av räkare, är ma experimeterar med ett uttryck som ma vill bevisa ågot om. 2

4 Permutatioer och kombiatioer Öppa RUN-föstret och välj OPTN. I första sidomey fis valet [PROB]. Där fis de fuktioer du behöver för att beräka atalet permutatioer och atalet kombiatioer. Där fis också e slumptalsgeerator, som gör det möjligt att experimetera med saolikheter. Att ur e föreig med 4 medlemmar välja e ordförade, e sekreterare och e kassör ka göras på P(4, 3) olika sätt. På räkare ka du skriva 4 [Pr] 3 EXE. Atalet sätt att placera 30 elever i 30 bäkar ka bestämmas geom P(30, 30), me det är ju faktiskt detsamma som 30!. Skriv 3 0 [x!] EXE. Om tre persoer ur föreige med fyra medlemmar ska åka på e koferes, så beräkas 4 atalet kombiatioer med eller C(4, 3). Motsvarade fuktio på räkare heter [Cr], 3 och du ka skriva 4 [Cr] 3 EXE. Atalet pokerhäder med 5 kort ur e kortlek med 52 kort beräkar vi också med [Cr]. 3

5 Något om heltalsräkig Här arbetar vi uteslutade i RUN-föstret om iget aat sägs. Talteori hadlar om egeskaper hos framför allt heltal. Det går att ställa i räkare för just heltalsräkig. Uder SHIFT SET UP fis alla olika iställigar du ka göra på di räkare. De översta iställige hadlar just om decimalräkig eller heltalsräkig. [Comp] är iställige för valig räkig, meda de övriga ger heltalsräkig i basera 10 (decimala tal), 16 (hexadesimala tal), 2 (biära tal) resp 8 (oktala tal). Vi har i bilde ställt i räkare för räkig i base 10. När du gjort omställige och tryckt på EXIT, så får du e mey med vale [d~o] och [LOG]. Det första meyvalet låter dig skriva i tal i e aa bas ä de som just u är aktuell. För att räka om talet 1234 åtta till ett tal i base tio, så skriver du [o] EXE, där alltså [o] ager att det iskriva talet är oktalt. För att skriva 769 tio i base åtta, så ställer du först i Mode: [Oct] uder SHIFT SET UP, och skriver seda [d] EXE. Modulusoperator Heltalsdivisio, m, på räkare ger som resultat det största heltal som är midre ä eller lika med motsvarade operatio i [Comp]-läge. Egetlige är 27 3 = 2, vilket vi ofta uttrycker som 2 med reste 3. Det vi egetlige beräkar, är vi beräkar 27 (mod 12) är reste i divisioe Det ka vi göra på räkare med följade beräkig: EXE. 4

6 I heltalsaritmetike på räkare är = = = 3. Visserlige har divisio och multiplikatio lika prioritet (me högre ä subtraktio), me de beräkas i de ordige de står. Faktoriserig i primfaktorer Som du kaske reda märkt, eller åtmistoe sart kommer att märka, så har ma stor ytta av att dela upp tal i primfaktorer. Hadlar det om små tal, är det gaska lätt att göra i huvudet, me stora tal blir strax svårare. Är det t ex så självklart att talet är ett primtal? Det ka vara bra att ha ett program för faktoriserig på räkare. När du vill skriva ett program på räkare, så börjar du med att gå i i PRGM-föstret. Där fis e lista över de program som reda fis i räkares programmie samt e mey. När du ska skriva ett ytt program, så trycker du på [NEW], vilket ger ett föster där du ger ditt ya program ett am. Avsluta med EXE, så får du ett föster, där du ka skriva programmet. På ästa sida fis hela programmet listat och kommeterat. När du skrivit programmet, gått ur programmerigsläget med EXIT, och vill köra det, så är det eklast att markera programmet och välja [EXE]. Vi provar med att faktoruppdela 15732: Om du direkt trycker på EXE, så körs programmet e gåg till, och vi ka prova med talet

7 [? ] X Räkare skriver ut ett frågetecke och vätar på ett tal, som lagras i mie X. Det är det talet som ska faktoriseras. [? ] fis uder SHIFT PRGM. 2 P Talet två, som är det mista primtalet, lagras i mie P. [While] P X X P Y [If] Y = [It] Y Om X ite är ett primtal, så är mista faktor högst X. Vi behöver aldrig testa lägre ä så. Kommadot [While] fis uder SHIFT PRGM [COM] i e sidomey. Om villkoret i satse ite är uppfyllt, så sker hopp till rade efter [WhileEd]. Vi testar om Y är ett heltal, för i så fall är X delbart med P. I aat fall ska P få ästa udda tal som värde. [If] fis uder SHIFT PRGM [COM]. [The] P [ ] Satse skriver ut P och vätar tills ma trycker på EXE. De s k stoppbocke fis uder SHIFT PRGM Y X [Else] [If] P = 2 [The] 1 P [IfEd] P + 2 P [IfEd] X får ett värde där faktor P divideras bort. Sker detta, så hoppar programmet till [WhileEd], varifrå hopp sker tillbaks till [While], och samma faktor testas e gåg till. Hit hoppar programmet om villkoret i [If]- satse är falsk. När X ite lägre är delbart med 2, så ska ästa primtal vara tre. Därför ger vi P värdet 1 iför uppräkig. Hit hoppar programmet om P ite är två. I mey uder SHIFT PRGM [COM] står det [I-Ed]. P får ästa udda värde. Om det ursprugliga värdet på X vore delbart med t ex 9, så har programmet reda givit två treor som faktorer. Alla faktorer som programmet ger är primtal. [WhileEd] X Hopp sker tillbaks till [While]-satse. I mey står det [Wed]. Om iga villkor lägre är uppfyllda, så är X ett primtal, och skrivs ut som sista faktor. 6

8 Talföljder Casio-räkaras RECUR-föster iehåller de verktyg du behöver för att kua studera talföljder och rekursiosformler. Välj [TYPE], så får du upp följade föster: a ger talföljder där varje tal ges av talet, t ex a = Vi vill skapa e tabell med de tio första tale i talföljde. Välj därför [a]. Nu ka du skriva formel [] EXE. Välj u [RANG] för att age vilka tal i talföljde du vill se. Tryck slutlige på EXIT och välj [TABL]. Du ka bläddra i talföljde med uppåt- och edåtpilara. E beräkad tabell ka exporteras till e lista. Det går till så, att med ågot tal markerat i de kolum du vill exportera, trycker på OPTN [LIST] [LMEM][List1]. Om du växlar till STATeller LIST-föstret, så fis talföljde där. Talföljder som ges av rekursiosformler Öppa RECUR-föstret och välj [TYPE]. Här ager [a+1] rekursiosformler där varje tal i talföljde ka beräkas ur det föregåede talet. [a+2] ager rekursiosformler där varje tal ges av de två föregåede tale. Vi tittar på exemple på s 60. Exempel 1. f ( 1) = 4, f ( + 1) = f ( ) + 3. Talföljde ka också beskrivas lite mer räkarmässigt : a = a + ; a 1 =. Välj [TYPE] [a+1] och skriv i formel. Observera att [a] fis uder [a]. 7

9 Startvärde och omfåg ställs i uder [RANG]. Observera att startvärdet i det här fallet ska vara av type [a1]. Tryck slutlige på EXIT och [TABL]. Exempel 2.! ka defiieras rekursivt med formel a + 1 = ( + 1) a; a0 = 1. Formel och iställig uder [RANG] ser då ut så här: I det här fallet aväder vi startvärde [ao]. Fiboaccital och adra likade tal Talföljde 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., där varje tal ges av summa av de två föregåede tale, kallas Fiboaccis talföljd efter de italieska 1200-talsmatematiker Fiboacci eller Leoardo frå Pisa. Talföljde ges av rekursiosformel a + 2 = a + a+ 1; a1 = a2 = 1. Välj [TYPE] [a+2], så ka du skriva formel och rage så här: Tryck på EXIT och välj [TABL], så får du e tabell över de första 20 Fiboaccitale. Vi låter u talföljde b + 2 = a a+ 1, dvs kvote mella två ärliggade Fiboaccital. Vi ka u observera att skillade mella tale i talföljde b miskar för allt större, och ma ka visa att talföljde går mot det tal som kallas för det gyllee sittet. Udersök talföljde b för adra startvärde ä a 1 = 1 och a 2 = 1, gära olika, gära egativa och gära irratioella som π eller si(43 ). Vad upptäcker du? Ma ka visa att om m och är två godtyckliga positiva heltal sådaa att m >, så utgör a = m, b = 2m och c = m + tre heltal sådaa att a + b = c. Det är alltså e geerator för rätvikliga triaglar med heltalssidor, s k Pytagoreiska taltripplar. 8

10 Om ma väljer och m som två på varadra följade tal i talföljde a + 2 = a + 2 a + 1, så kommer motsvarade tal a och b att vara två ärliggade tal, dvs skillade mella a och b är 1. Om du vill udersöka dea egeskap ärmare, så är det praktiskt att exportera tabelle över talföljde till LIST-föstret. Då går det hyggligt ekelt att räka med tale i talföljde äve i RUN-föstret. Vi visar som exempel där det sjude och åttode tale i talföljde aväds. Först sparar vi det sjude talet i mie N och det åttode talet i mie M. Hakparetesera fis ovaför tagetera + och -. Nu beräkar vi lätt m och m Två ärliggade heltal som ka utgöra mätetale till katetera i e rätviklig triagel med heltalssidor kallas för Pytagoreiska tvilligar. Ma ka visa att alla tal geererade med rekursiosformel ova i si tur geererar Pythagoreiska tvilligar. Bevismetode är ett s k iduktiosbevis, de bevismetod som beskrivs på sidora 65 67: Visa att = 1 och m = 2 geererar triagel 3, 4, Atag att m 2m = 1 (iduktiosatagade). 2 2 Visa att ( + 2m) m 2( + 2m) m = 1. 9

11 Summor Exempel Beräka exakt k och. k = 1 = Räkare har e summerigsfuktio, som fis i e sidomey uder OPTN [CALC]. För att 5 beräka k k = 1 4, ka du skriva: [Σ( ] ALPHA K ^ 4, ALPHA K, 1, 5 ) EXE 6 2 För att få summa = i bråkform, måste du mata i formel som ett bråk. Resultatet är

12 Algoritmer och programmerig I fotote s 68 påpekas att ma ka välja ågra uppgifter och programmera dem på e dator. Me CASIO grafräkare har ett BASIC-likade programmerigsspråk, som väl lämpar sig till uppgiftera i läroboke. Vi visar med ågra exempel hur språket fugerar. Uppgift 2401 Ett tal ska multipliceras med 6, subtraheras med 12, divideras med 3 och adderas med 4. När du gått i i PRGM-föstret, så välj [NEW] för att skapa ett ytt program. I ästa föster ska du ge programmet ett am, t ex EX241. Du skriver med bokstävera ovaför kappara, me ia du skriver siffrora i amet, så tryck på ALPHA. Avsluta med EXE. Här följer e tabell, där västerkolume ger e listig av programmet, och högerkolume ger kommetarer. SKRIV ETT TAL? X X 6 X X X X 3 X X + 4 X Citatiostecke gör att texte skrivs ut på skärme. När du skriver texte, så tryck först på SHIFT ALPHA. Då fis citatiostecket som val på F2.? X iebär att räkare vätar på att ett tal följt av EXE skrivs i. Det talet lagras i mie X. Retursymbole får du geom att trycka på EXE. Här görs de första räkeoperatioe. Resultatet av operatioe sparas i mie X, me skriv ite ut på skärme. Resultatet av de sista beräkige skrivs alltid ut på skärme. Avsluta programmerige geom att trycka på EXIT kaske ett par gåger, så att du får det första PRGM-föstret på skärme. När du kör ett program, så sker det alltid i RUN-föstret. Me det är eklast att starta det geom att markera det i PRGM-föstret och trycka på EXE eller att välja [EXE] i mey. Uppgift 2404, logiska val Programmet ska ta i vikt V och lägd L på e perso och beräka Body Mass Idex, BMI 2 eligt formel BMI = V / L. Vikte ages i kg och lägde i m. Vi ska dock göra programmet förlåtade i de meige att om lägde matas i i cm, så ska programmet räka om till m. Om BMI > 25, så ska programmet svara OEVERVIKTIG, aars, om BMI < 18 ska programmet svara UNDERVIKTIG, aars OK. 11

13 Logiska val åstadkommes på räkare uder SHIFT PRGM [COM] med kommadoa [If], [The], [Else] och [I-Ed]. Det sista kommadot skrivs ut som IfEd på skärme, och avslutar de del av ett program där logiska val görs. Program BMI VIKT? V LAENGD? L If L > 10 The L L IfEd V L x 2 B If B > 2 5 The OERVIKTIG Else If B < 1 8 The UNDERVIKTIG Else OK IfEd IfEd Lägger vikte i mie V Lägger lägde i mie L Här kollas om lägde är imatad i meter eller i cm; ige mäiska är lägre ä tio meter. Olikhetstecke fis uder SHIFT PRGM [REL] (som fis i e sidomey). L räkas om till meter. Slut på hela If-satse. BMI beräkas och lagras i mie B Detta är e y IF-sats, där vi udersöker BMI. Vi ästlar e IF-sats iuti de If-sats vi skriver. Detta är slutpukte för de ästlade ifsatse. Slut på if-satse som börjar på de sjude rade, också slut på programmet. Om du har kört programmet e gåg och fått ett resultat, så ka du köra programmet e gåg till geom att trycka på EXE. Om du i stället trycker på AC eller utför ågo aa beräkig, så avslutas programmet. Hur reagerar programmet om Tia väger 50 kg och är 174 cm låg? Upprepigar Öppa RUN-föstret och skriv 2 EXE 2 EXE EXE EXE. Varje gåg du trycker på EXE, så multipliceras det sist uträkade resultatet med två. Samma beräkig, me med ya igågsvärde, upprepas gåg på gåg. I ästa all programmerig förekommer upprepigar, atige ett givet atal gåger eller, vilket är valigare, tills dess att ett givet villkor är uppfyllt. Titta på sidomeyera uder SHIFT PRGM [COM]. Det går bra att göra i RUN-föstret också. 12

14 [For] [To] [Step] [Next] är de svit av kommado som aväds är ma vill göra ågot ett givet atal gåger. Typiskt ser det ut så här. Vi väljer uppgifte 2409: Program EX X Lägg märke till att boke, liksom måga programmerigsspråk, skriver x:=10. Räkare aväder tilldeligspile i stället. [For] 1 N [To] 4 X + 2 X [Next] Här är miet N e räkare, som första gåge atar värdet 1, adra gåge värdet 2 osv. Hade jag velat aväda N i mia beräkigar, och att N bara skulle ata jäma värde, så hade jag kuat skriva: [For] 2 N [To] 8 [Step] 2 Här görs de upprepade beräkige. Här sker hopp tillbaks till adra rade så läge N < 4. Aars avslutas programmet, och det sist uträkade resultatet skrivs ut. [While] [WEd] [Do] [Lp-W] är två typer av upprepigar. De ser ut så här: Program EX2410A 5 X [While] X < 100 X + 1 X 2 X X [WEd] [While] står alltid tillsammas med ett villkor, som också testas i dea rad. Är villkoret ite uppfyllt sker hopp till rade efter [WEd], eller, som i det här fallet, programmet avslutas och resultatet av de sista uträkige skrivs ut. Olikhetstecket fis uder SHIFT PRGM [REL] (som fis i e sidomey). På skärme står det WhileEd, och markerar slutet på e While-loop. Program EX2410B 1 X [Do] Så läge villkoret i rad 5 är uppfyllt, så sker hopp tillbaks till dea rad. 13

15 3 X X X + 5 X [Lp-W] X 9 0 Stoppbocke, som fis uder SHIFT PRGM, ager att det beräkade värdet ska skrivas ut. Programmet vätar seda tills dess att du trycker på EXE. Så läge villkoret X 90 så sker hopp tillbaks till rade [Do]. Aars avslutas programmet, och resultatet av de sista uträkige skrivs ut (e gåg till). 14