Multiplikationsprincipen

Transkript

1 Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter att välja mella, tre huvudrätter samt fyra efterrätter, så har vi totalt 4 ÿ 3 ÿ 4 = 48 styce måltider att proväta. PUH! Nedaståede figurer avser att övertyga läsare om ritighete i alyle. EXEMPEL Hur måga tresiffriga tal fis det i tio-systemet, om vi ite tillåter dem att börja på 0, och ite sluta på 0 eller 5? LÖSNING Ett tresiffrigt tal a "opereras fram" med tre operatioer i följd på tex följade sätt: Välj de första siffra (blad 9 st), seda de adra (blad 0 st), och till sist de tredje (blad 8 st). Atalet tresiffriga tal blir (eligt multipliatiospricipe) 9 ÿ 0 ÿ 8 = 70. EXEMPEL Betrata alla tecesträgar av lägd som saar föreomst av två lia tece i följd. (Tex är abba förbjude.) Hur måga tillåta strägar fis det om varje tece väljs frå ett alfabet med olia tece? LÖSNING Det första tecet a väljas på sätt, det adra på - sätt. (Det gäller ju bara att udvia det tece som valdes på föregåede positio.) Samma sa gäller för de återståede positioera. Det söta atalet strägar blir därför ÿ H - L -. Kombiatori EXEMPEL 3 Betrata alla tecesträgar av lägd som saar föreomst av två lia tece. (Tex är abca förbjude.) Hur måga tillåta strägar fis det om tece tas (på samma sätt som i förra exemplet) frå ett alfabet med olia tece? LÖSNING Det första tecet a väljas på sätt. Det adra på - sätt. (Det gäller ju bara att udvia det tece som valdes på föregåede positio.) Det tredje a väljas på - sätt. (Vi måste udvia de två tece som valdes på de första två platsera.) Osv Det sista tecet a väljas på - H - L sätt. Söta atalet blir ÿ H - L ÿ H - L ÿ ÿ H - H - LL. Kallas fallade produt. MULTIPLIKATIONSPRINCIPEN Om operatioera F, F,, F m a utföras på,,, m sätt, så a de sammasatta operatioe F följd av F följd av följd av F m utföras på ÿ ÿ ÿ m sätt. Amärig Eftersom e tecesträg är e lista av tece, så a ma formulera det seaste problemet på följade sätt uta att lösige förädras. "Hur måga listor av lägd a ma bilda med hjälp ebart av elemete i 8,,, < då iget elemet får avädas två gåger?"

2 3 Kombiatori Kombiatori 4 Permutatioer DEFINITION E permutatio av e ädlig mägd X är e uppräig av mägdes elemet i e viss ordigföljd. EXEMPEL 4 Här är alla (sex) permutatioer av 8,, 3<! H,, 3L, H, 3, L, H,, 3L, H, 3, L, H3,, L, H3,, L Om X =, så är atalet permutatioer av X lia med ÿ H - L ÿ ÿ. ANM ÿ H - L ÿ ÿ betecas "!" och uttalas "-faultet". BEVIS: Varje permutatio a "opereras fram" geom att ma gör styce operatioer i följd:. Välj permutatioes första elemet. Här har vi alla elemet att välja blad.. Välj permutatioes adra elemet. Nu fis det - elemet var att välja blad.. Välj permutatioes tredje elemet. Nu fis det - elemet var att välja blad. ª. Välj permutatioes :te elemet. Nu fis det bara elemet var att välja. Multipliatiospricipe ger reste EXEMPEL 5 HULK Hur måga olia tecesträgar a ma bilda geom att asta om bostävera i HULK? LÖSNING Betrata bostävera i HULK. De låter sig permuteras på 4! olia sätt. Härav följer att svaret på de giva fråga är 4! = 4 ÿ 3 ÿ ÿ = 4. EXEMPEL 6 HULL Hur måga olia tecesträgar a ma bilda geom att asta om bostävera i HULL? LÖSNING Betrata först bostävera i HUL L. De a permuteras på 4! sätt. Varje såda permutatio har e tvilligpermutatio som siljer sig frå de förra ebart geom att de två L:e är omastade. 4! LÖSNING Betrata först bostävera i HUL L. De a permuteras på 4! sätt. Varje såda permutatio har e tvilligpermutatio som siljer sig frå de förra ebart geom att de två L:e är omastade. Härav följer att svaret på de giva fråga är 4! =. EXEMPEL 7 LULL Hur måga olia tecesträgar a ma bilda geom att asta om bostävera i LULL? LÖSNING Är 4! rätt svar? 3 NEJ!, me 4!. Se här 3! Atag att x olia strägar a bildas av LULL. Varje permutatio av L UL L 3 a då opereras fram med hjälp av två operatioer i följd:. Bilda e sträg med hjälp av LULL. (x sätt). Permutera de tre L:e. (3! sätt). Därför är atalet permutatioer av L UL L 3 lia med x ÿ 3!, me äve (förstås) lia med 4!. Härav följer att x = 4! 3!. EXEMPEL 8 MAHNAHMAHNA Hur måga olia tecesträgar a ma bilda geom att asta om bostävera i MAHNAHMAHNA? Tex är MAHNAHMAHNA och MANNHAHAHAM två olia sådaa strägar. LÖSNING Atag att det fis x styce. Betrata först följade sträg av olia tece M A H N A H M A 3 H 3 N A 4. Atalet permutatioer av desamma är förstås lia med!, me ocså lia med x ÿ! ÿ 4! ÿ 3! ÿ! eftersom varje permutatio a opereras fram med hjälp av följade fem operatioer i följd:. Bilda e sträg med hjälp av MAHNAHMAHNA. (x sätt). Permutera de två M:e. (! sätt). 3. Permutera de fyra A:a. (4! sätt). 4. Permutera de tre H:a. (3! sätt). 5. Permutera de två N:e. (! sätt). Det följer att x =! = !ÿ4!ÿ3!ÿ!

3 5 Kombiatori Kombiatori 6 Biomialtal När ma expaderar ett s.. biom Hz + L får ma biom expaderat biom z + z + Hz + L z + z + Hz + L 3 z z + 3 z + Hz + L 4 z z z + 4 z + Hz + L 5 z z z z + 5 z + Hz + L 6 z z z z z + 6 z + Hz + L 7 z z 6 + z z z 3 + z + 7 z + De expaderade biomes oefficieter allas för biomialtal och iehåller ombiatoris iformatio, vilet avsitte edaför ommer att visa. Pascals triagel Om ma i presetatioe av de expaderade biome ovaför salar bort allt utom biomialtale framträder ett triagulärt möster som allas Pascals triagel (efter Blaise Pascal 63 66) Triageltale Fiboaccitale Ser du dem ite? Summera elemete lägs varje färglagd diagoal i ritig sydväst ordost! Summeras istället elemete lägs varje rad får ma tvåpotesera Tvåpotesera Måga itressata tal och möster dyer upp explicit eller implicit i Pascals triagel Triageltale

4 7 Kombiatori Kombiatori 8 Jäma och udda biomialtal välj Samma tal me flera och u sriva som ollor resp. ettor Kombiatioer Iom ombiatorie aväds ordet ombiatio syoymt med ordet delmägd, och att ombiera elemet ur e mägd med elemet betyder "att bilda e delmägd av storle av e mägd med elemet", ma bruar ocså säga "att välja elemet av styce". Här får du åt att fudera över: Hur måga sätt fis det att välja tre av fem elemet? välj Låt beteca atalet sätt att välja elemet blad elemet. Uttalas välj eller över. ANM Eftersom styce elemet valda ur X = 8,,, < bildar e s.. -delmägd av X, så är lia med atalet -delmägder av X. EXEMPEL 9 Här är samtliga -delmägder av 8,, 3, 4<: 8, <, 8, 3<, 8, 4<, 8, 3<, 8, 4<, 83, 4< De är 6 st. Således är K 4 O = 6. Några ela idetiteter K 0 O = K O = BEVIS Det fis exat e 0-delmägd av X = 8,,, <, ämlige de tomma mägde, och exat e -delmägd, ämlige X själv. = - BEVIS Det fis lia måga -delmägder av X = 8,,, < som det fis H - L-delmägder. Varför? Jo, till varje delmägd (av X) hör exat e omplemetmägd. Så eelt är det! Illustratio: Låt X = 8,, 3, 4, 5, 6<. Till delmägde 8, 5< hör omplemetmägde 8, 3, 4, 6<. Två formler Först de lassisa votformel med två lia låga fallade produter i täljare och i ämare Kvotformel

5 9 Kombiatori Kvotformel BEVIS H-L H-Lÿ ÿh-h-ll = H-L H-L ÿ ÿ Formel följer (eller hur!) om vi a visa att H - L H - L ÿ ÿ H - H - LL. är lia med ÿ H - L H - L ÿ ÿ Me varför besriver () och () samma sa? Jo, därför att båda uttryce besriver atalet listor med elemet valda ur 8,, 3,, <. Att () besriver det ämda atalet listor är e diret oseves av multipliatiospricipe eftersom första elemetet i e såda lista a väljas på sätt, ästa elemet på - sätt, osv Att () besriver samma sa följer ocså av multipliatiospricipe. Ty varje lista av ämt slag a sapas geom att ma (i) först väljer e -delmägd av 8,, 3,, <, (ii) och seda permuterar elemete i de valda -delmägde. Eftersom (i) a utföras på multipliatiospricipe. sätt och (ii) på! sätt, så följer () av () () Då ma sall ompoera e -delmägd A av 8,,,, + < måste ma ta ställig till huruvida elemetet + sall vara med i A eller ite. Fall. + œ A. Här behöver vi bara omplettera sigelmägde 8 + < med ytterligare - elemet för att A sall bli e -delmägd. Eftersom mämda - elemet måste väljas ur 8,,, < a detta göras på - sätt. Fall. + A. Nu måste A:s samtliga elemet tas ur 8,,, <, vilet a göras på sätt. De två falle sammataga bevisar reursiosformel. Med hjälp av K 0 O = K O = och reursiosformel a ma frå K 0 O, K O,, K O beräa K O, K O,, K + O. Gör ma detta för det ea -värdet efter det adra återsapas de ea rade efter de adra i Pascals triagel. K 0 0 O K 0 O K O K 0 O K O K O K 3 0 O K 3 O K 3 O K 3 3 O 4 Kombiatori EXEMPEL 0 K 7 3 O = 7ÿ6ÿ5 3ÿÿ = 35 Biomialsatse Seda reursiosformel BEVIS + = - + Då ma sall ompoera e -delmägd A av 8,,,, + < måste ma ta ställig till huruvida elemetet + sall vara med i A eller ite. Hur a det u omma sig att att dyer upp i Pascals triagel? Med adra ord, vad har "atalet sätt att välja elemet blad elemet" med biomialtale att göra? Svar: Vid expasioe av Hz + L = Hz + L ÿ Hz + L ÿ ÿ Hz + L sall styce paretesuttryc multipliceras ihop. Varje term som uppstår vid dea multipliatio är e produt av styce fatorer e fator frå varje paretesuttryc. Terme z = z ÿ z ÿ ÿ z uppstår då z väljs ur exat st styce av de paretesuttryce (och väljs ur de resterade paretesuttryce). Därför ommer multipliatioe att geerera just

6 Svar: Vid expasioe av Hz + L = Hz + L ÿ Hz + L ÿ ÿ Hz + L sall styce paretesuttryc multipliceras ihop. Varje term som uppstår vid dea multipliatio är e produt av styce fatorer e fator frå varje paretesuttryc. Terme z = z ÿ z ÿ ÿ z uppstår då z väljs ur exat st styce av de paretesuttryce (och väljs ur de resterade Kombiatori paretesuttryce). Därför ommer multipliatioe att geerera just styce z -termer. Vi har just bevisat BINOMIALSATSEN Hz + L = K 0 O z0 + K O z + K O z + + K O z EXEMPEL Expadera Ha + bl LÖSNING Ha + bl = b J a b + N = b KK 0 O + K O a b + K O J a b N + + K O J a b N O = K 0 O b + K O a b- + K O a b K O a EXEMPEL MAHNAHMAHNA ige Hur måga olia tecesträgar a ma bilda geom att asta om bostävera i ordet MAHNAHMAHNA? LÖSNING Det gäller att välja positioer åt två M, fyra A, tre H och två N i e sträg av lägd. Eftersom det fis K O sätt att placera två M, seda K 9 4 O sätt att placera fyra A, och K 5 O sätt att placera tre H, 3 LÖSNING De 5 orte iehåller 3 olia valörer, där varje valör fis i 4 olia "färger", Ï,,. Två "operatioer" i följd sall utföras (i) Välj valörer åt de fem orte! K 3 5 O sätt (ii) Välj färger på de fem orte! 4 5 sätt Av multipliatiospricipe följer svaret K 3 5 O ÿ 45 = EXEMPEL 4 Mera poer Hur måga poerhäder fis det av type "två par" (tex två ettor och två åttor)? LÖSNING Kombiatori (i) Välj valör åt de två pare K 3 O sätt (ii) Välj valör åt det återståede ortet K O sätt (iii) Välj färger åt de två pare K 4 O K 4 O sätt (iv) Välj färger åt det återståede ortet 4 sätt Det söta svaret blir K 3 O K O K 4 O K 4 O 4 = samt K O sätt att placera två N. Det följer att söta atalet strägar är lia med K O K 9 4 O K 5 3 O K O = EXEMPEL 3 Poer, Ï,, E poerhad är e ombiatio av fem ort taga ur e valig ortle med 5 ort. Hur måga poerhäder fis det där iga av de fem orte har samma valör (tex ite två ettor eller tre åttor)? LÖSNING De 5 orte iehåller 3 olia valörer, där varje valör fis i 4 olia "färger", Ï,,. Två "operatioer" i följd sall utföras