F4 Matematikrep. Summatecken. Summatecken, forts. Summatecken, forts. Summatecknet. Potensräkning. Logaritmer. Kombinatorik

Transkript

1 0-0-5 F Matematrep Summateet Potesräg Logartmer Kombator Summatee Säg att v har ste tal,, Summa av dessa tal (alltså + + ) srvs ortfattat med hälp av summatee: summa då går fr.o.m. t.o.m. Summatee, forts. Vad betder fölade? gåger ) ( ) ( Summatee, forts. E. Atag att =, = -, = 5, = Beräa: Medelvärde: Varas: Stadardavvelse: 0 ; ; ; ; s s s

2 0-0-5 Summatee, forts. Lösg: 7 [frå ova] [frå ova] 7 5 ) ( 9 5 ) ( 0 0 Atag att = Atag att = 0 fs te så atag att 0 = 0 Summatee, forts. Medelvärde: Varas (del av formel):,5 9 [frå sda a] 6, [frå sda a] [frå ova] Summatee, forts. Övg: Utvela (dvs. lsta termera)... Fotot: Ma a vsa att (++ +) = (+)/ ) ( Potesräg a b = a a a a b a = a (b+) (a b ) = a (b) a b = / a b a 0 = a /b = b ggr b a

3 0-0-5 E omboövg Logartmer Beräa fölade för = 0,,, 0 Obs! a,b > 0 oh a Atag att v har fölade: a b = V vet a oh oh söer b Svar: = 0; 0 = = ; 0 + = + = = ; = + + = 7 = ; = ¹⁹ b = log a E. 0 = 0000 = log = log0000 = lg0000 = Det tal som v upphöer a tll för att få Några ola betegar för 0-logartme E. e = 80 = l80 = log e 80 =,807 Naturlga logartme Logartmer, forts. Logartmer, forts. e = base för de aturlga logartme =, Räeregler: l( ) = l + l l(/) = l l l = l l = 0 l e = Obs!, > 0 Det tal som v upphöer e tll för att få är l e l = l(e ) = E. Bevsa första räeregel: V deferar a, b oh. e a = a = l. e b = b = l. e = ( ) = l( ) el. deftoe av logartmfutoe. V har alltså = e a e b = e a+b l( ) = a + b = l + l Elgt deftoe för logartmfutoe Elgt regel för poteser Elgt deftoe ova

4 0-0-5 Logartmer, forts. Kombator Övgar: l = l + l l 0,5 = l(/) = l l = l l 6 = l 6 = 6 l l(/9) = l l9 = l 5 l = 5l l Att räa ut hur måga sätt ågot a göras. E. Matsedel med tre förrätter, fra huvudrätter oh två efterrätter. På hur måga ola sätt a e trerätters måltd ompoeras? Svar: Illustrato: Träddagram Kombator, forts. Kombator, forts. Multplatosprpe Ett epermet har m mölga utfall Ett aat efterfölade epermet har m mölga utfall V gör först det ea seda det adra epermetet Totalt fs det m m mölga utfall. Eempel Påse med umrerade ulor,, V drar e ula slumpmässgt oh oterar dess ummer Hur måga mölga utfall? V drar e ula tll slumpmässgt oh oterar dess ummer Hur måga mölga utfall?

5 0-0-5 Kombator, forts. Kombator, forts. Eempel, forts Samma påse med ulor,, V har de totala hädelse (ula s ummer, ula s ummer) Hur måga mölga utfall? Dragg uta återläggg V drar e ula slumpmässgt oh oterar dess ummer oh lägger te tllbas de för ästa dragg V a bara få ett ummer e gåg Uta återläggg: Med återläggg: Dragg med återläggg V drar e ula slumpmässgt oh oterar dess ummer oh lägger tllbas de för ästa dragg V a dra samma ummer flera gåger e seves av draggar Kombator, forts. Kombator, forts. Eempel, forts Spelar ordge ågo roll? Dvs. sler v t.e. på (,) oh (,) eller betratar v det som samma sa? Två fall som uppstår: Ordge spelar roll Ordge spelar ge roll Ordad V drar ett atal ulor slumpmässgt oh oterar deras ummer Ordge spelar roll, dvs. v sler t.e. på (,,5), (,5,), (,,5), (,5,), (5,,) oh (5,,) E ordad V drar ett atal ulor slumpmässgt oh oterar deras ummer Ordge spelar ge roll, utfalle ova betratas som samma utfall Om v har dragt ola ummer av mölga, hur måga sätt a de ordas på? 5

6 0-0-5 Kombator, forts. Kombator, forts. Permutatoer Ett arragemag av ola obet e bestämd ordg allas för e permutato av obete. Hur måga ola permutatoer a ma blda av ola obet? Atalet ola permutatoer av ola obet är:! = (-) Permutatoer E. På hur måga ola sätt a v permutera de tre obete A, B, C? Svar:! = = 6 ola sätt, ämlge ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. OBS! V deferar 0! = -faultet; (eg. fatoral) Kombator, forts. Kombator, forts. På hur måga sätt a v väla ut obet frå obet ( ), fall v brr oss om ordge? Oh uta återläggg? Svar:! (- )! Tä multplatosprpe Ordat med återläggg Dra ste ur mölga. :a ula mölgheter, :a ula mölgheter, osv. Multplatosprpe ger E. = 5, = 5! (5-)! Tä multplatosprpe 6

7 0-0-5 Kombator, forts. Kombator, forts. Ordat uta återläggg Dra ste ur mölga. :a ula mölgheter, :a ula (-) mölgheter, osv. Multplatosprpe ger ( ) ( ) ( ) ste fatorer ( ) ( ) ( )! ( - )! Tä multplatosprpe Atag att v har = 5 obet A, B, C, D, E oh att v slumpmässgt väler =. V a få!/(-)! = 5! / (5-)! = 60 ola utfall om v tar häs tll ordge. Av alla dessa 60 utfall, hur måga ehåller obete A, B oh C? Svar: V a lsta dem: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA; 6 utfall Eller se att de valda obete a ordas på! =! = 6 sätt Kombator, forts. Kombator, forts. E ordat uta återläggg Dra ste ur mölga. :a ula mölgheter, :a ula (-) mölgheter, osv. Ger! ( - )! Justera seda för att ordge te spelar roll geom att dela med atal mölga permutatoer av obet!!( - )! Kombatoer Väla ut obet frå obet där, oh struta ordge!! (- )! - över, bomaloeffet Pasals tragel :te oeffeete (a+b) 7

8 0-0-5 Kombator, forts. Kombator, forts. Kombatoer Några särslda resultat:!! 0!( - )!!0! 0 0 0! 0!0! E. På hur måga sätt a ma dra fem ort ur e valg ortle? 5 5 5! 5!7! Sammafattg: fra fall Med återläggg Ordad Uta! återläggg ( - )! Itressat sambad? e 0! 0!! E ordad - ( -)!!( -)!!! E vtgt u!!( )!! 6 Eempel Hur måga ola urval av storle = a v dra frå = 0 persoer? Med återl. Uta återl. Med återl. Uta återl. Ordad ! 500 (0- )! E ordad