Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1

Transkript

1 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL x + y, där x, y R (rektagulär form r(cosθ + sθ (polär form r (cos θ + s θ De Movres formel y O x + x y re θ (potesform eller expoetell form θ e cosθ + sθ Eulers formel För talet som kallas för magär ehet gäller Poteser av ka beräkas elgt följade: 0,,,, ( ( För att beräka högre poteser där >, aväder v resultatet V skrver på forme k+r ( där r är reste är delas med, r ka vara 0,, eller Då gäller + r r r (eftersom ( Exempel Beräka a 8 b Lösg: a (eftersom ( 0 b Om a + b och a, b R då gäller: a kallas realdele av och beteckas Re( b kallas magärdele av och beteckas Im( a b kallas kojugatet tll och beteckas a + b kallas absolutbeloppet av och beteckas Följade relatoer aväds vd olka beräkgar: ( a + b( a b a b a + b Med adra ord: Exempel Låt 5 Bestäm Re(, Im(,, och Lösg: Re( 5, Im(, 5+, ( 5 + (, Sda av

2 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR ( 5 ( RÄKNEOPERATIONER med komplexa tal rektagulär form (dvs a+b form Addto, multplkato och dvso av komplexa tal (på rektagulär form Addto: Låt x y och x y Då gäller x + y + x + y x + x + ( y y ( + Multplkato: ( x + y( x + y xx + x y + x y + y y x x y y + ( x y x y ( + Dvso: Låt a + b och c + d a + b a + b c d ac + bc ad bd Då gäller (otera att c + d c + d c d c + d ( ac + bd + ( bc ad ac + bd bc ad + c + d c + d c + d Exempel Låt Lösg: a och + Beräka a + b och c + ( + ( + b ( ( c Räkelagar för komplexkojugerg ( + w + w, ( w w, w w Räkelagar för absolutbelopp w w (w 0 w w ± w + w (tragelolkhete Sda av

3 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR ( + ( + Exempel Låt Beräka + Lösg: V ka först beräka och seda bestämma me det är mycket eklare att aväda räkelagar för absolutbelopp Elgt ovaståede räkelagar har v ( + ( + + Det komplexa talplaet ( ( 5 ka v framställa som pukter det komplexa talplaet som ehåller e reell och e magär axel y O x + x y Rade r och vkel θ för komplexa tal polär form och potesform: För att skrva ett komplext tal på polär form r(cosθ + sθ θ eller på potesform re måste v först bestämma rade r (avstådet frå talet tll org och vkel θ ( vkel mella rade och postva dele av x-axel Om a + b då gäller: r a + b Om 0 då gäller: a r cosθ (* b r sθ E vkel θ som uppfyller (* kallas för argumet av och beteckas arg( Argumet av är te etydgt bestämd Om θär ett argumet av talet då är också θ + k, talets argumet för varje k 0 ±, ±, Talet 0 tlldelas get argumet Låt x + y Ett värde av arg ( ka bestämmas elgt följade: Sda av

4 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR y arcta arg( θ x + arcta y x då då x > 0 x < 0 Om x0 lgger 0 + y y på y-axel och arg ( ka bestämmas drekt frå grafe (geom att prcka det komplexa talplaet eller elgt följade: om x 0, y > 0 arg om x 0, y < 0 ej deferad om x 0, y 0 Exempel 5 Skrv talet + på a polär form b potesform Lösg: Rade: r a + b + arg( θ {eftersom x y < 0 } + arcta x 5 + arcta arcta 6 6 a Polär form: 5 5 (cos + s 6 6 b Potesform: 5 6 e RÄKNEOPERATIONER med komplexa tal polär form Låt r (cosθ + sθ och r (cosθ + sθ Följade gäller : Multplkato: r r (cos( θ + θ + s( θ + θ (bevsas med addtosformel r Dvso (cos( θ θ + s( θ θ r Poteser polärform beräkas på ekelt sätt med De Movres formel: Låt r(cosθ + sθ, då gäller r (cos θ + s θ Exempel 6 Låt (cos + s Beräka 6 6 Lösg: (cos + s (cos + s p p p p (cos(p + + s(p + (perodska egeskaper (cos( + s( Sda av

5 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR ( + Frå ovaståede räkelagar följer följade räkelagar för arg ( Notera att argumet är te etdgt bestämt Räkelagar för arg( Om och w är två komplexa tal då gäller: arg( w arg( + arg( w ( + k arg( arg( arg( w ( + k w arg( arg( ( + k RÄKNEOPERATIONER med komplexa tal potesform Låt θ θ r e och r e Multplkato, dvso och beräkg av poteser gör v elgt valga poteslagar: Multplkato: ( θ + θ r r e r ( θ θ Dvso e r Poteser potesform: θ Låt re, då gäller θ ( re θ r e 6 Exempel 7 Beräka Svara på rektagulär form (dvs a+b form Lösg: Först ager v base på potesform: r y + Vkel θ arcta +80 (otera +80 eftersom x <0 x θ arcta rad Nu beräkar v 0 6 θ 6 r e e e V skrver resultatet på polärform och därefter på rektagulär form (geom att beräka sus och cosus 0 0 cos + s cos( + + s( + (perodska egeskaper: cos( k + v cos( v och s( k + v s( v Sda 5 av

6 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR cos( + s( + 6 Svar: + Geometrsk tolkg av operatoer med komplexa tal Addto Låt x + y och x + y vara två komplexa tal Då är + ( x + x + ( y + y Om v tolkar komplexa tal som rktade sträckor (vektorer då får v summa + elgt regel för vektoraddto x + y + x + x + ( y y ( + x + y Geometrsk tolkg av multplkato, dvso och potes Låt α re och β r e Då gäller ( α +β r r e Alltså gäller r r och αrg( αrg( + αrg( α + β som v aväder för att rta det komplexa talplaet rr e ( α + β α + β β r e β α re α Sda 6 av

7 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR r ( α β För dvsoe gäller e dvs r αrg( αrg( αrg( α β α Om re då är α r e dvs r r och r och arg( arg( Exempel 8 Låt och vara komplexa tal edaståede fgur Ata vdare att Rta följade komplexa tal det komplexa talplaet a b c d ( y d e O x Lösg a Betecka w V bestämmer polära koordater tll w dvs w och arg(w och därefter rtar det komplexa talplaet V har w och, frå grafe, arg( w arg( + arg( + Alltså är w lka med och arg(w Därmed har v följade graf: O x Svar: b Notera att och att arg( Sda 7 av

8 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR y O x På lkade sätt löser ma c, d och e Avstådet mella två pukter det komplexa talplaet x + y x + y d O Låt P och P vara två pukter det komplexa talplaet som represeteras av komplexa tale x y och x y För avstådet mella puktera gäller + + d( P, P ( x x + ( y y Crkels ekvato det komplexa talplaet: Crkel med rade r och cetrum pukte 0 a + b har ekvatoe (på komplex form 0 r dvs ( a + b r eller a b r Sda 8 av

9 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR b r a + b 0 x + y O a Exempel 9 Rta det komplexa talplaet mägde av alla pukter som bestäms av a, b c Lösg: a Frå (geom att bryta ut har v ( + Detta är ekvatoe för crkel med cetrum pukte + och rade x + y O 0 + r b satsferas av de pukter som lgger ut och på själva crkels lje x + y O 0 + r c satsferas av de pukter som lgger utaför och på själva crkels lje x + y O 0 + r Sda 9 av

10 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR BINOMISKA EKVATIONER a + b Bomska ekvatoe med avseede på a + b (* har lösgar Eklast sätt att lösa ekvatoe är att age högerledet på potesform Steg V bestämer rade r a + b och ett argumet arg( a + b θ + k k och skrver a + b re ( θ + Amärkg V ager perod för att få alla ( lösgar tll bomska ekvatoe (* Steg V skrver ekvatoe (* på potesforme k re ( θ + (** Härav får v följade lösgar: ( θ + k k r e där k 0,,,,(, V får lösgar geom att substtuera k 0,,,,( θ ( θ + ( θ + r 0 e, r e, r e,, r ( θ + r e, e ( θ + ( Amärkg: Om v fortsätter och substtuerar k, +, då upprepar v reda bestämda lösgar Därför staar v vd k Steg : Om detta krävs uppgfte, skrver v lösgar på rektagulär form Exempel 0 Lös ekvatoe med två decmaler Lösg: Steg V skrver högerledet dvs + Age alla tre lösgar på rektagulär form + på potesform / Rade r + 8 ( eller r 8 / y Ett argumet: θ arcta +80 (v adderar +80 eftersom x <0, se formelblad x θ arcta + 80 arcta( rad ( + k Alltså + 8e och därmed blr ekvatoe Steg (V löser ekvatoe Frå ekvatoe ( + k 8e har v 8e ( + k Sda 0 av

11 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR k / + k 8k k / ( + ( + ( ( 8 8e e e + 8k ( Alltså är k e där k0,, de sökta (tre lösgar (på potesform Steg Lösgar på rektagulär form Först polär form: + 8k ( + 8k + 8k k e cos( + s( där k0,, För att få rektagulärform substtuerar v k 0, och och beräkar sus och cosus k0 ger 0 cos( + s( cos( + s( ( + + k ger cos( + s( cos( + s( cos( + s( cos( + s( Svar: ÖVNINGSUPPGIFTER Uppgft a Bestäm Re(w om + w b Rta det komplexa tal plaet mägde av alla komplexa tal som satsferar ( beteckar - kojugat Lösg: a Sda av

12 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR w Re( w Svar a Re( w b Eftersom skrver v ( x + y( x y x + y som Ssta relatoe är uppfylld om pukte lgger mella (och på två crklar och Svar b Uppgft a Bestäm w om + w b I ekvatoe u + u 6 är u ett komplext tal och u talets kojugat Lös ekvatoe med avseede på u c (p Ekvatoe beskrver e rät lje det komplexa tal plaet Sätt x + y och skrv ekvatoe på forme y kx + m Lösg: a + 5 w 5 b Sda av

13 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR ( + y + ( x y 6 + y + ( x + y 6 x x x + y 6 x + y 0 x, y u c x + y x + y x + ( y x + y x + x + + ( y ( x y (V kvadrerar båda lede ekvatoe + ( y ( x y x + y y + x x + + y y x y x Svar: a w b u c y x Uppgft a Bestäm det reella talet a så att + a 5 blr reellt b Bestäm absolutbeloppet av w då w 9 9 ( e ( + 8 c Bestäm ur ekvatoe + 0 Lösg: a + a + a + 5 ( 5a + (a Om detta tal skall vara reellt måste magärdele vara 0, vlket ger a d v s a 5 / b w e ( Sda av

14 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR c V substtuerar a + b, a b ekvatoe + 0 och får ( a + b + ( a b 0 5a b 0 Re : 5a 0 a Im : b b 8 Svar: a a 5 b 0976 c + Uppgft a Bestäm magärdele av 89 + ( + 8 ( e ( + b Bestäm absolutbeloppet av w då w 0 c Rta det komplexa tal plaet de pukter som satsferar och arg( Lösg: 89 a + + ( Svar a Im( ( ( e ( + b w 0 Svar b w 8 Svar c 8 0 e + 8 ( Sda av

15 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Uppgft 5 a Bestäm magärdele av ( e b Bestäm argumetet av w då ( + w 9 c Ekvatoe beskrver e rät lje det komplexa talplaet Sätt x + y och skrv ekvatoe på forme y kx + m Lösg: a Svar a Im( 5 Im( 5 6 b arg( w + ( + k Svar b arg( w 0 ( + k c Substtutoe x + y ekvatoe ger x + y x + y x + ( y ( x + ( y ( efter kvadrerg ( x + y ( ( ( + ( x x x + + y y + x 6x y 6y + 9 y x + 6 y x + Svar c y x + y Uppgft 6 a Bestäm Re(w om w + 0 ( + Sda 5 av

16 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR b I ekvatoe u + u 8 + är u ett komplex tal Lös ekvatoe med avseede på u c Bestäm och arg ( (som e reell fukto av parameter s då + ( s + Lösg a ( + + w + Re( w e e + + b ( x + y + ( x y 8 + x + y + x + y 8 + ( x + y + (x + y 8 + x + y 8 x + y 8 x + y 9x y 6 8x x / y x y + y x /, y / u + c + ( s + + ( s ( s + s + s + + s + s arg( arg( arg( + ( + s 0 arcta( arcta( Svar: a Re( w b + s u + c arcta( Uppgft 7 a Skssera det komplexa talplaet området som består av alla som satsferar både och arg( Sda 6 av

17 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR b Bestäm och arg ( (som e reell fukto av parameter s 5 då, där s år ett reellt tal + ( s + Lösg: a Svar: 5 b + ( s ( s + arg( arg(5 arg( + ( + s [eftersom Re( + ( + s > 0] + s (0 arcta( + s arcta( + s Svar: b arcta( 5 + ( s + s + 6s + Uppgft 8 Det komplexa talet + är e lösg tll ekvatoe Bestäm alla lösgar Lösg: (Ekvatoe har reella koeffceter och + är e lösg är också e lösg tll ekvatoe och därför är ekvatoe delbart med ( ( ( ( + ( 5 + Polyomdvsoe ger Sda 7 av

18 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR ( /( + 5 ( + dvs ( ( + 5( + De tredje lösge får v ur ( + 0 Svar: +, / Uppgft 9 Det komplexa talet + är e lösg tll ekvatoe Bestäm alla lösgar Lösg: (Ekvatoe har reella koeffceter och e komplex lösg + är också e lösg tll ekvatoe Därför är ekvatoe delbart med ( ( ( ( + ( + + ( /( + De tredje rote får v ur 0 Svar: +,, Uppgft 0 Bestäm alla (fyra lösgar tll ekvatoe Svara exakt på forme a + b Lösg: e Sda 8 av

19 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR ( + k 6 e, k 0,,, 0 e + + (cos + s ( e + + (cos + s ( 5 e 5 5 (cos + s ( e (cos + s ( Uppgft Betrakta ekvatoe a Lös ekvatoe och age alla lösgar( st på forme b Age alla lösgar på forme a + b c Prcka lösgara det komplexa talplaet ϕ re Lösg: a ( k e 8e + k, k 0,,, Svar a k ( + k e, k 0,,, b (cos s 0 e + (cos s e Sda 9 av

20 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR (cos s e (cos s e 7 + Svar b ± ± Svar c Uppgft + a (p Bestäm w om w b (p Bestäm alla lösgar med avseede på tll ekvatoe 00 +, där är ett komplex tal c (p Lös följade ekvato med avseede på ( där x+y är ett komplext tal + + d (p Skssera det komplexa talplaet området som består av alla som satsferar ( + Lösg: + + a w + Svar a: w Sda 0 av

21 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR ( + k b e e k 0,,,, 99 ( + k 00 Svar b: e k 0,,,, 99 c V substtuerar x+y ekvatoe + + och får ( x + y + ( x y + x + y + x, Svar c: d Svar d: y + Uppgft är e lösg tll ekvatoe Bestäm alla lösgar Lösg: (Ekvatoe har reella koeffceter och är e lösg är också e lösg tll ekvatoe och därför är ekvatoe delbart med ( ( ( ( + + Polyomdvsoe ger ( /( Två lösgar tll får v ur Svar: + + 0,,,, Sda av