TENTAMEN Datum: 11 feb 08

Transkript

1 TENTAMEN Datum: feb 8 Kurs: MATEMATIK OCH MAT. STATISTIK (TEN: Dfferentalekvatoner, komplea tal och Taylors formel ) Kurskod 6H, 6H, 6L Skrvtd: :5-7:5 Hjälpmedel: Bfogat formelblad och mnräknare av vlken typ som helst. Lärare: Armn Hallovc Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstllfället utan lämnas n tllsammans med läsnngar. Poängfördelnng och betygsgränser: Tentamen består av 8 uppgfter á p och ger mamalt poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,,, 6 respektve poäng. Kompletterng: poäng på tentamen ger rätt tll kompletterng (betyg F). Vem som har rätt tll kompletterng framgår av betyget F på MINA SIDOR. Kompletterng sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad. Om kompletterng är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F. Uppgft. ( poäng) a) (p) Bestäm Im w om w b) (p) Bestäm alla lösnngar tll ekvatonen 8 z är z ett komple tal. 8. c) (p) Lös följande ekvaton med avseende på z ( där zy är ett komplet tal) z z 5. d) (p) Skssera det komplea talplanet området som består av alla z som satsferar både z 9 och arg( z ). Uppgft. ( poäng) z är en lösnng tll ekvatonen. Bestäm alla lösnngar z 7z z 6 Var god vänd.

2 Uppgft. ( poäng) a) (p) Bestäm Maclaurnpolynomet (Taylorpolynomet krng ) av grad för funktonen y sn. sn() b) (p) Använd polynomet a ) för att beräkna lm. > sn() c) (p) Beräkna samma gränsvärde lm med hjälp av > L Hosptals regel. Uppgft. ( poäng) Betrakta ekvatonen: a) (p) Bestäm den allmänna lösnngen tll ekvatonen. b) (p) Skrv lösnngen på eplct form d v s på formen y f (). c) (p) Bestäm den lösnng som satsferar begynnelsevllkoret y ( ). Uppgft 5. ( poäng) Lös följande dfferentalekvatoner med avseende på y () a) (p) y ( ) y( ) 9 b) (p) ( ) y( ), > c) (p) ( ) cos y( ) sn cos, Uppgft 6. ( poäng) Lös följande dfferentalekvatoner med avseende på y () a) (p) y 6 8y 8 b) (p) y y c) (p) y e (resonansfall ) Var god vänd.

3 Uppgft 7. ( poäng) Ett mekanskt system med en fjäder och en dämpare kan beskrvas med följande ekvaton med avseende på y(t) ( t) ( t) y( t) 8sn t cost a) (p) Bestäm den allmänna lösnngen för y(t) b) (p) Bestäm den lösnng som satsferar y ( ), y ( ) Uppgft 8. ( poäng) Bestäm strömmen (t) och laddnngen nedanstående LRC krets om L henry, R 5 ohm, C 5 farad och u( t) cost sn t volt då () ampere och q() coulomb. ( Bedömnng för upp6: korrekt ställd ekvaton p; korrekt lösnng för den allmänna ekvatonen p; korrekt lösnng för begynnelsevärdesproblemet p. ) Lycka tll!

4 Fact: Uppgft. ( poäng) a) (p) Bestäm Im w om w b) (p) Bestäm alla lösnngar tll ekvatonen 8 z är z ett komple tal. 8. c) (p) Lös följande ekvaton med avseende på z ( där zy är ett komplet tal) z z 5. d) (p) Skssera det komplea talplanet området som består av alla z som satsferar både z 9 och arg( z ). Lösnng: a) 8 w Im( w) Svar a: Re( w ) ( k ) 8 8 b) z e z e k,,,..., 7 ( k ) 8 Svar b: z e k,,,..., 7 c) V substtuerar zy ekvatonen z z 5 och får ( y) ( y) 5 5 y 5, y Svar c: z d) Svar d:

5 Uppgft. ( poäng) z är en lösnng tll ekvatonen. Bestäm alla lösnngar z 7z z 6 Lösnng: (Ekvatonen har reella koeffcenter och z är en lösnng ) z är också en lösnng tll ekvatonen och därför är ekvatonen delbart med ( z z )( z z ) ( z )( z ) ( z ) z z. Polynomdvsonen ger (z dvs (z 7z z 6) /( z z ) (z ) 7z z 6) ( z z )(z ) Den tredje lösnngen får v ur ( z ) z Svar: z, z, z / Uppgft. ( poäng) a) (p) Bestäm Maclaurnpolynomet (Taylorpolynomet krng ) av grad för funktonen y sn. sn() b) (p) Använd polynomet a ) för att beräkna lm. > sn() c) (p) Beräkna samma gränsvärde lm med hjälp av > L Hosptals regel. Lösnng: a) f ( ) sn, f ( ) f ( ) cos, f ( ) f ( ) sn, f () f ( ) 8cos, f ( ) 8 f () f () f () M ( ) f ()!!! M ( )! 8! b)

6 sn() lm > O( ) lm > ( lm > O( ) c) c ) sn() lm " " > [L Hosptal ] cos() " " lm > [L Hosptal ] sn() " " lm > 6 [L Hosptal ] 8cos() lm > 6 6 Uppgft. ( poäng) Betrakta ekvatonen: a) (p) Bestäm den allmänna lösnngen tll ekvatonen. b) (p) Skrv lösnngen på eplct form d v s på formen y f (). c) (p) Bestäm den lösnng som satsferar begynnelsevllkoret y ( ). Lösnng: a) ( Anmärknng: V delar ekvatonen med om uttrycket är sklt från. Substtutonen y ±, y ekvatonen vsar att de två konstanta funktoner är lösnngar. En sådan lösnng kallas sngulär om den nte kan fås ur den allmänna lösnngen.)

7 d d y arcsn C y Svar a: Den allmänna lösnngen är arcsn C (Ekvatonen har även två sngulära lösnngar y ± ) b) Svar b: y sn( C) c) sn( C) sn( C) c 6 y sn( ) 6 Svar c: y sn( ) 6 Uppgft 5. ( poäng) Lös följande dfferentalekvatoner med avseende på y () a) (p) y ( ) y( ) 9 b) (p) ( ) y( ), > c) (p) ( ) cos y( ) sn cos, Svar a: y( ) Ce C Svar b: y ( ) c) (p) ( ) cos y( ) sn cos, sn Svar c: y( ) Ce sn Uppgft 6. ( poäng) Lös följande dfferentalekvatoner med avseende på y () a) (p) y 6 8y 8 b) (p) y y c) (p) y e (resonansfall ) Svar a: y( ) C e C e Svar b: Svar c: y( ) C e sn Ce cos y ( ) Ce Ce e

8 Uppgft 7. ( poäng) Ett mekanskt system med en fjäder och en dämpare kan beskrvas med följande ekvaton med avseende på y(t) ( t) ( t) y( t) 8sn t cost a) (p) Bestäm den allmänna lösnngen för y(t) b) (p) Bestäm den lösnng som satsferar y ( ), y ( ) Svar a: Svar b: t t y( ) C e Ce cos t t t y( ) e e cost Uppgft 8. ( poäng) Bestäm strömmen (t) och laddnngen nedanstående LRC krets om L henry, R 5 ohm, C 5 farad och u( t) cos t sn t volt då () ampere och q() coulomb. ( Bedömnng för upp6: korrekt ställd ekvaton p; korrekt lösnng för den allmänna ekvatonen p; korrekt lösnng för begynnelsevärdesproblemet p. ) Svar: (t) (t) q (t) q (t)